डेटा संरचना और एल्गोरिदम: क्रैम पैक

सूत्र-पत्रक, हर विषय के मुख्य विधि-चरण और 6 अभ्यास प्रश्न, पूरे हल पीछे दिए गए हैं।

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1सूत्र और विधियाँ

ग्राफ़ सिद्धांत

हैंडशेक लेमा
Σ deg(v) = 2|E|
पूर्ण ग्राफ़
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
नियमित ग्राफ़
|E| = n·k/2
वृक्ष और वन
|E| = n − 1, |E| = n − c
वृक्ष के पत्ते
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
यूलर
परिपथ: सभी घात सम; पथ: ठीक 2 घात विषम
Kn में हैमिल्टन परिपथ
(n − 1)!/2
डाइक्स्ट्रा अद्यतन
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
लंबाई L की वॉक
(Mᴸ)ij

विधि

  1. हर शीर्ष की घात लिखें; घातों का योग कोरों की संख्या का दोगुना होता है।
  2. यूलर के प्रश्नों में जाँचें कि ग्राफ़ संबद्ध है और विषम घात वाले शीर्षों को गिनें।
  3. वृक्षों के लिए n − 1 कोरों और हैंडशेक लेमा का उपयोग करें।
  4. डाइक्स्ट्रा के लिए अस्थायी दूरियों की सारणी रखें और हर चक्र में सबसे छोटी दूरी वाले अनिर्धारित शीर्ष को निर्धारित करें।
  5. न्यूनतम स्पैनिंग ट्री के लिए कोरों को भार के अनुसार क्रमबद्ध करें और चक्र बनाने वाली हर कोर छोड़ दें (क्रुस्कल), या किसी प्रारंभिक शीर्ष से एक वृक्ष बढ़ाएँ (प्रिम)।

2अभ्यास प्रश्न

1.एल्गोरिदम और जटिलतामध्यम

कौन-सा सॉर्टिंग एल्गोरिदम स्थिर (stable) है?

  1. Aहीप सॉर्ट
  2. Bसेलेक्शन सॉर्ट (सामान्य संस्करण)
  3. Cमर्ज सॉर्ट
  4. Dक्विकसॉर्ट (सामान्य इन-प्लेस संस्करण)
2.एल्गोरिदम और जटिलताकठिन

बॉटम-अप विधि से n अनसॉर्टेड तत्वों से बाइनरी हीप बनाने की टाइम कॉम्प्लेक्सिटी क्या है?

  1. AO(n)
  2. BO(log n)
  3. CO(n log n)
  4. DO(n²)
3.डेटा संरचनाएँमध्यम

एक क्यू दो स्टैक से बनाई गई है: "in" स्टैक पर push करें, और "out" स्टैक से pop करें, ख़ाली होने पर उसे "in" से फिर भरें। प्रति ऑपरेशन एमॉर्टाइज़्ड लागत क्या है?

  1. AO(n)
  2. BO(n²)
  3. CO(log n)
  4. DO(1)
4.डेटा संरचनाएँकठिन

कौन-सी संरचना ऐरे में आकार k की हर विंडो का अधिकतम कुल O(n) में निकालने देती है?

  1. Aमान के घटते क्रम में इंडेक्स रखने वाला डीक
  2. Bखिसकाकर अपडेट किया जाने वाला सॉर्टेड ऐरे
  3. Cविंडो के तत्वों की सिंगली लिंक्ड लिस्ट
  4. Dहर विंडो के लिए फिर से बनाया गया मिन-हीप
5.ग्राफ़ सिद्धांतमध्यम

पूर्ण ग्राफ़ K7 में कितने भिन्न हैमिल्टन परिपथ H हैं? जो परिपथ केवल प्रारंभिक शीर्ष या दिशा में भिन्न हों, उन्हें एक ही गिना जाता है।

K7
H =
6.ग्राफ़ सिद्धांतकठिन
11161481316ABCDE

क्रुस्कल का एल्गोरिथ्म न्यूनतम स्पैनिंग ट्री बनाता है। उस कोर पर क्लिक करें जिसे वह कोर संख्या 4 के रूप में जोड़ता है; छोड़ी गई कोरें नहीं गिनी जातीं।

k = 4
  1. 1कोर AB
  2. 2कोर AC
  3. 3कोर BC
  4. 4कोर BD
  5. 5कोर CE
  6. 6कोर DE
  7. 7कोर BE

3विलयन

1.एल्गोरिदम और जटिलता

उत्तर: C · मर्ज सॉर्ट

यह उत्तर क्यों है

मर्ज सॉर्ट स्थिर होता है जब बराबरी की स्थिति में मर्ज करते समय पहले बाएँ आधे से तत्व लिया जाए। इन-प्लेस क्विकसॉर्ट, हीप सॉर्ट और सेलेक्शन सॉर्ट आमतौर पर स्थिर नहीं होते।

उत्तर

C · मर्ज सॉर्ट
2.एल्गोरिदम और जटिलता

उत्तर: A · O(n)

यह उत्तर क्यों है

सभी स्तरों पर sift-down लागतों का योग एक अभिसारी श्रेणी देता है, इसलिए heapify रैखिक समय में चलता है।

उत्तर

A · O(n)
3.डेटा संरचनाएँ

उत्तर: D · O(1)

यह उत्तर क्यों है

हर तत्व कुल मिलाकर अधिकतम दो बार push और pop होता है, इसलिए भले ही एक बार फिर से भरने में O(n) लगे, अनुक्रम पर औसत O(1) है।

उत्तर

D · O(1)
4.डेटा संरचनाएँ

उत्तर: A · मान के घटते क्रम में इंडेक्स रखने वाला डीक

यह उत्तर क्यों है

डीक का आगे वाला तत्व हमेशा विंडो का अधिकतम होता है; हर इंडेक्स डीक में एक बार आता और जाता है, इसलिए कार्य रैखिक है।

उत्तर

A · मान के घटते क्रम में इंडेक्स रखने वाला डीक
5.ग्राफ़ सिद्धांत

उत्तर: H = 360

यूलर, हैमिल्टन और वृक्ष: संबद्ध ग्राफ़ में यूलर परिपथ (हर कोर एक बार, शुरुआत पर वापसी) तब होता है जब हर शीर्ष की घात सम हो, और परिपथ न होने वाला यूलर पथ तब जब ठीक दो शीर्षों की घात विषम हो; तब पथ एक विषम शीर्ष से दूसरे तक चलता है। हैमिल्टन परिपथ हर शीर्ष पर एक बार जाता है; Kn में ऐसे (n − 1)!/2 होते हैं। n शीर्षों वाले वृक्ष में n − 1 कोरें होती हैं, और m कोरों वाला संबद्ध ग्राफ़ m − n + 1 कोरें हटाने के बाद स्पैनिंग ट्री रखता है।

गिनें

H = (7 − 1)!/2 = 720/2 = 360

उत्तर

H = 360
6.ग्राफ़ सिद्धांत

उत्तर: कोर CE

सबसे छोटे पथ और स्पैनिंग ट्री: डाइक्स्ट्रा का एल्गोरिथ्म हर चक्र में एक शीर्ष निर्धारित करता है: सबसे छोटी अस्थायी दूरी वाला अनिर्धारित शीर्ष। तब उसकी दूरी अंतिम होती है, और हर पड़ोसी v को d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)) मिलता है। क्रुस्कल का एल्गोरिथ्म कोरों को हल्की से भारी की ओर लेकर और चक्र बनाने वाली हर कोर छोड़कर न्यूनतम स्पैनिंग ट्री बनाता है; प्रिम का एल्गोरिथ्म प्रारंभिक शीर्ष से एक वृक्ष बढ़ाता है और हमेशा उससे बाहर जाने वाली सबसे हल्की कोर जोड़ता है। n शीर्षों के स्पैनिंग ट्री में n − 1 कोरें होती हैं।

क्रुस्कल का एल्गोरिथ्म

1. DE (1)
2. BE (6)
3. AB (11)
4. CE (13)

कोर संख्या 4

CE

उत्तर

कोर CE

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