डेटा संरचना और एल्गोरिदम: क्रैम पैक

सूत्र-पत्रक, हर विषय के मुख्य विधि-चरण और 6 अभ्यास प्रश्न, पूरे हल पीछे दिए गए हैं।

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1सूत्र और विधियाँ

ग्राफ़ सिद्धांत

हैंडशेक लेमा
Σ deg(v) = 2|E|
पूर्ण ग्राफ़
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
नियमित ग्राफ़
|E| = n·k/2
वृक्ष और वन
|E| = n − 1, |E| = n − c
वृक्ष के पत्ते
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
यूलर
परिपथ: सभी घात सम; पथ: ठीक 2 घात विषम
Kn में हैमिल्टन परिपथ
(n − 1)!/2
डाइक्स्ट्रा अद्यतन
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
लंबाई L की वॉक
(Mᴸ)ij

विधि

  1. हर शीर्ष की घात लिखें; घातों का योग कोरों की संख्या का दोगुना होता है।
  2. यूलर के प्रश्नों में जाँचें कि ग्राफ़ संबद्ध है और विषम घात वाले शीर्षों को गिनें।
  3. वृक्षों के लिए n − 1 कोरों और हैंडशेक लेमा का उपयोग करें।
  4. डाइक्स्ट्रा के लिए अस्थायी दूरियों की सारणी रखें और हर चक्र में सबसे छोटी दूरी वाले अनिर्धारित शीर्ष को निर्धारित करें।
  5. न्यूनतम स्पैनिंग ट्री के लिए कोरों को भार के अनुसार क्रमबद्ध करें और चक्र बनाने वाली हर कोर छोड़ दें (क्रुस्कल), या किसी प्रारंभिक शीर्ष से एक वृक्ष बढ़ाएँ (प्रिम)।

2अभ्यास प्रश्न

1.एल्गोरिदम और जटिलतामध्यम

आधार k में d अंकों वाले n पूर्णांकों पर LSD रेडिक्स सॉर्ट का रनिंग टाइम क्या है?

  1. AO(dn log k)
  2. BO(d(n + k))
  3. CO(n log n)
  4. DO(n²)
2.एल्गोरिदम और जटिलताकठिन

P और NP के बारे में कौन-सा कथन सही है?

  1. Aयह सिद्ध हो चुका है कि P ≠ NP
  2. BP की हर समस्या NP में भी है
  3. CNP समस्याओं को जल्दी सत्यापित नहीं किया जा सकता
  4. DNP का अर्थ है "not polynomial"
3.डेटा संरचनाएँमध्यम

एक बाइनरी ट्री का रूट 1 है, जिसका बायाँ चाइल्ड 2 और दायाँ चाइल्ड 3 है; नोड 2 के चाइल्ड 4 (बायाँ) और 5 (दायाँ) हैं। पोस्टऑर्डर ट्रैवर्सल क्या है?

  1. A4 2 5 1 3
  2. B5 4 3 2 1
  3. C4 5 2 3 1
  4. D1 2 4 5 3
4.डेटा संरचनाएँकठिन

हैश टेबल के सही काम करने के लिए हैश और समानता (equality) को कौन-सा नियम मानना चाहिए?

  1. Aसमान कुंजियों के हैश मान समान होने चाहिए
  2. Bसमान हैश मानों का अर्थ है समान कुंजियाँ
  3. Cअलग कुंजियों के हैश मान अलग होने चाहिए
  4. Dहैश मान अभाज्य संख्याएँ होने चाहिए
5.ग्राफ़ सिद्धांतमध्यम

पूर्ण ग्राफ़ K4 में कितने भिन्न हैमिल्टन परिपथ H हैं? जो परिपथ केवल प्रारंभिक शीर्ष या दिशा में भिन्न हों, उन्हें एक ही गिना जाता है।

K4
H =
6.ग्राफ़ सिद्धांतकठिन
9157515151410ABCDEFG

डाइक्स्ट्रा का एल्गोरिथ्म A से चलता है। उस शीर्ष पर क्लिक करें जो चक्र 3 में निर्धारित (स्थायी) होता है; A स्वयं चक्र 1 है।

प्रारंभ: Aचक्र 3
  1. 1A
  2. 2B
  3. 3C
  4. 4D
  5. 5E
  6. 6F
  7. 7G

3विलयन

1.एल्गोरिदम और जटिलता

उत्तर: B · O(d(n + k))

यह उत्तर क्यों है

d पासों में से हर एक O(n + k) लागत वाला काउंटिंग सॉर्ट है, इसलिए निश्चित d और k के लिए कुल n में रैखिक है।

उत्तर

B · O(d(n + k))
2.एल्गोरिदम और जटिलता

उत्तर: B · P की हर समस्या NP में भी है

यह उत्तर क्यों है

P ⊆ NP: यदि आप किसी समस्या को जल्दी हल कर सकते हैं, तो आप समाधान को भी जल्दी सत्यापित कर सकते हैं। P = NP है या नहीं, यह अभी भी खुला प्रश्न है।

उत्तर

B · P की हर समस्या NP में भी है
3.डेटा संरचनाएँ

उत्तर: C · 4 5 2 3 1

यह उत्तर क्यों है

पोस्टऑर्डर 2 से पहले 4 और 5, फिर 3, और अंत में रूट 1 को संसाधित करता है।

उत्तर

C · 4 5 2 3 1
4.डेटा संरचनाएँ

उत्तर: A · समान कुंजियों के हैश मान समान होने चाहिए

यह उत्तर क्यों है

यदि दो समान कुंजियों के हैश अलग हों, तो वे अलग बकेटों में संग्रहीत होंगी और खोज विफल होगी; असमान कुंजियाँ फिर भी एक हैश साझा कर सकती हैं।

उत्तर

A · समान कुंजियों के हैश मान समान होने चाहिए
5.ग्राफ़ सिद्धांत

उत्तर: H = 3

यूलर, हैमिल्टन और वृक्ष: संबद्ध ग्राफ़ में यूलर परिपथ (हर कोर एक बार, शुरुआत पर वापसी) तब होता है जब हर शीर्ष की घात सम हो, और परिपथ न होने वाला यूलर पथ तब जब ठीक दो शीर्षों की घात विषम हो; तब पथ एक विषम शीर्ष से दूसरे तक चलता है। हैमिल्टन परिपथ हर शीर्ष पर एक बार जाता है; Kn में ऐसे (n − 1)!/2 होते हैं। n शीर्षों वाले वृक्ष में n − 1 कोरें होती हैं, और m कोरों वाला संबद्ध ग्राफ़ m − n + 1 कोरें हटाने के बाद स्पैनिंग ट्री रखता है।

गिनें

H = (4 − 1)!/2 = 6/2 = 3

उत्तर

H = 3
6.ग्राफ़ सिद्धांत

उत्तर: D

सबसे छोटे पथ और स्पैनिंग ट्री: डाइक्स्ट्रा का एल्गोरिथ्म हर चक्र में एक शीर्ष निर्धारित करता है: सबसे छोटी अस्थायी दूरी वाला अनिर्धारित शीर्ष। तब उसकी दूरी अंतिम होती है, और हर पड़ोसी v को d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)) मिलता है। क्रुस्कल का एल्गोरिथ्म कोरों को हल्की से भारी की ओर लेकर और चक्र बनाने वाली हर कोर छोड़कर न्यूनतम स्पैनिंग ट्री बनाता है; प्रिम का एल्गोरिथ्म प्रारंभिक शीर्ष से एक वृक्ष बढ़ाता है और हमेशा उससे बाहर जाने वाली सबसे हल्की कोर जोड़ता है। n शीर्षों के स्पैनिंग ट्री में n − 1 कोरें होती हैं।

डाइक्स्ट्रा चक्र-दर-चक्र

1. A (0): B: 9
2. B (9): C: 24, D: 16
3. D (16): E: 31, F: 17, G: 26
4. F (17): E: 22
5. E (22)
6. C (24)
7. G (26)

चक्र 3

D

उत्तर

D

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