डेटा संरचना और एल्गोरिदम: क्रैम पैक

सूत्र-पत्रक, हर विषय के मुख्य विधि-चरण और 6 अभ्यास प्रश्न, पूरे हल पीछे दिए गए हैं।

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1सूत्र और विधियाँ

ग्राफ़ सिद्धांत

हैंडशेक लेमा
Σ deg(v) = 2|E|
पूर्ण ग्राफ़
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
नियमित ग्राफ़
|E| = n·k/2
वृक्ष और वन
|E| = n − 1, |E| = n − c
वृक्ष के पत्ते
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
यूलर
परिपथ: सभी घात सम; पथ: ठीक 2 घात विषम
Kn में हैमिल्टन परिपथ
(n − 1)!/2
डाइक्स्ट्रा अद्यतन
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
लंबाई L की वॉक
(Mᴸ)ij

विधि

  1. हर शीर्ष की घात लिखें; घातों का योग कोरों की संख्या का दोगुना होता है।
  2. यूलर के प्रश्नों में जाँचें कि ग्राफ़ संबद्ध है और विषम घात वाले शीर्षों को गिनें।
  3. वृक्षों के लिए n − 1 कोरों और हैंडशेक लेमा का उपयोग करें।
  4. डाइक्स्ट्रा के लिए अस्थायी दूरियों की सारणी रखें और हर चक्र में सबसे छोटी दूरी वाले अनिर्धारित शीर्ष को निर्धारित करें।
  5. न्यूनतम स्पैनिंग ट्री के लिए कोरों को भार के अनुसार क्रमबद्ध करें और चक्र बनाने वाली हर कोर छोड़ दें (क्रुस्कल), या किसी प्रारंभिक शीर्ष से एक वृक्ष बढ़ाएँ (प्रिम)।

2अभ्यास प्रश्न

1.एल्गोरिदम और जटिलतामध्यम

V शीर्षों और E किनारों वाले ग्राफ़ पर बेलमैन–फ़ोर्ड एल्गोरिदम की टाइम कॉम्प्लेक्सिटी क्या है?

  1. AO(V³ × E)
  2. BO(V × E)
  3. CO(E log V)
  4. DO(V + E)
2.एल्गोरिदम और जटिलताकठिन

यदि कोई किसी एक NP-complete समस्या के लिए बहुपदी-समय एल्गोरिदम खोज ले, तो क्या निष्कर्ष निकलेगा?

  1. Aहॉल्टिंग समस्या निर्णेय हो जाएगी
  2. Bकेवल वही एक समस्या P में चली जाएगी
  3. CNP की हर समस्या बहुपदी समय में हल हो सकेगी, इसलिए P = NP
  4. Dसभी घातांकी-समय एल्गोरिदम तुरंत रैखिक समय में चलने लगेंगे
3.डेटा संरचनाएँमध्यम

एक क्यू दो स्टैक से बनाई गई है: "in" स्टैक पर push करें, और "out" स्टैक से pop करें, ख़ाली होने पर उसे "in" से फिर भरें। प्रति ऑपरेशन एमॉर्टाइज़्ड लागत क्या है?

  1. AO(n)
  2. BO(n²)
  3. CO(log n)
  4. DO(1)
4.डेटा संरचनाएँकठिन

सेगमेंट ट्री का उपयोग आमतौर पर किसके लिए किया जाता है?

  1. Aस्टैक लागू करने के लिए
  2. Bग्राफ़ के किनारे संग्रहीत करने के लिए
  3. Cरेंज क्वेरी (जैसे रेंज योग) और अपडेट का O(log n) में उत्तर देने के लिए
  4. Dहर प्रीफ़िक्स को अलग ट्री नोड में संग्रहीत करके स्ट्रिंग्स को वर्णानुक्रम में क्रमबद्ध करने के लिए
5.ग्राफ़ सिद्धांतमध्यम

पूर्ण ग्राफ़ K4 में कितने भिन्न हैमिल्टन परिपथ H हैं? जो परिपथ केवल प्रारंभिक शीर्ष या दिशा में भिन्न हों, उन्हें एक ही गिना जाता है।

K4
H =
6.ग्राफ़ सिद्धांतकठिन
1119325144ABCDE

प्रिम का एल्गोरिथ्म शीर्ष B से शुरू करके न्यूनतम स्पैनिंग ट्री बनाता है। उस कोर पर क्लिक करें जिसे वह कोर संख्या 2 के रूप में जोड़ता है।

प्रारंभ: Bk = 2
  1. 1कोर AB
  2. 2कोर AC
  3. 3कोर BC
  4. 4कोर BD
  5. 5कोर CE
  6. 6कोर DE
  7. 7कोर BE

3विलयन

1.एल्गोरिदम और जटिलता

उत्तर: B · O(V × E)

यह उत्तर क्यों है

V − 1 दौरों में से हर एक सभी E किनारों को रिलैक्स करता है, जिससे O(VE) मिलता है; बदले में यह ऋणात्मक किनारा भार सँभालता है।

उत्तर

B · O(V × E)
2.एल्गोरिदम और जटिलता

उत्तर: C · NP की हर समस्या बहुपदी समय में हल हो सकेगी, इसलिए P = NP

यह उत्तर क्यों है

चूँकि पूरा NP किसी भी NP-complete समस्या में बहुपदी समय में रिड्यूस होता है, एक के लिए तेज़ एल्गोरिदम सबके लिए तेज़ एल्गोरिदम देता है।

उत्तर

C · NP की हर समस्या बहुपदी समय में हल हो सकेगी, इसलिए P = NP
3.डेटा संरचनाएँ

उत्तर: D · O(1)

यह उत्तर क्यों है

हर तत्व कुल मिलाकर अधिकतम दो बार push और pop होता है, इसलिए भले ही एक बार फिर से भरने में O(n) लगे, अनुक्रम पर औसत O(1) है।

उत्तर

D · O(1)
4.डेटा संरचनाएँ

उत्तर: C · रेंज क्वेरी (जैसे रेंज योग) और अपडेट का O(log n) में उत्तर देने के लिए

यह उत्तर क्यों है

सेगमेंट ट्री अंतरालों के समुच्चय मान संग्रहीत करता है, जिससे रेंज क्वेरी और पॉइंट अपडेट O(log n) समय में होते हैं।

उत्तर

C · रेंज क्वेरी (जैसे रेंज योग) और अपडेट का O(log n) में उत्तर देने के लिए
5.ग्राफ़ सिद्धांत

उत्तर: H = 3

यूलर, हैमिल्टन और वृक्ष: संबद्ध ग्राफ़ में यूलर परिपथ (हर कोर एक बार, शुरुआत पर वापसी) तब होता है जब हर शीर्ष की घात सम हो, और परिपथ न होने वाला यूलर पथ तब जब ठीक दो शीर्षों की घात विषम हो; तब पथ एक विषम शीर्ष से दूसरे तक चलता है। हैमिल्टन परिपथ हर शीर्ष पर एक बार जाता है; Kn में ऐसे (n − 1)!/2 होते हैं। n शीर्षों वाले वृक्ष में n − 1 कोरें होती हैं, और m कोरों वाला संबद्ध ग्राफ़ m − n + 1 कोरें हटाने के बाद स्पैनिंग ट्री रखता है।

गिनें

H = (4 − 1)!/2 = 6/2 = 3

उत्तर

H = 3
6.ग्राफ़ सिद्धांत

उत्तर: कोर BC

सबसे छोटे पथ और स्पैनिंग ट्री: डाइक्स्ट्रा का एल्गोरिथ्म हर चक्र में एक शीर्ष निर्धारित करता है: सबसे छोटी अस्थायी दूरी वाला अनिर्धारित शीर्ष। तब उसकी दूरी अंतिम होती है, और हर पड़ोसी v को d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)) मिलता है। क्रुस्कल का एल्गोरिथ्म कोरों को हल्की से भारी की ओर लेकर और चक्र बनाने वाली हर कोर छोड़कर न्यूनतम स्पैनिंग ट्री बनाता है; प्रिम का एल्गोरिथ्म प्रारंभिक शीर्ष से एक वृक्ष बढ़ाता है और हमेशा उससे बाहर जाने वाली सबसे हल्की कोर जोड़ता है। n शीर्षों के स्पैनिंग ट्री में n − 1 कोरें होती हैं।

प्रिम का एल्गोरिथ्म

1. BD (2)
2. BC (3)
3. BE (4)
4. AB (11)

कोर संख्या 2

BC

उत्तर

कोर BC

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