डेटा संरचना और एल्गोरिदम: क्रैम पैक

सूत्र-पत्रक, हर विषय के मुख्य विधि-चरण और 6 अभ्यास प्रश्न, पूरे हल पीछे दिए गए हैं।

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1सूत्र और विधियाँ

ग्राफ़ सिद्धांत

हैंडशेक लेमा
Σ deg(v) = 2|E|
पूर्ण ग्राफ़
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
नियमित ग्राफ़
|E| = n·k/2
वृक्ष और वन
|E| = n − 1, |E| = n − c
वृक्ष के पत्ते
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
यूलर
परिपथ: सभी घात सम; पथ: ठीक 2 घात विषम
Kn में हैमिल्टन परिपथ
(n − 1)!/2
डाइक्स्ट्रा अद्यतन
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
लंबाई L की वॉक
(Mᴸ)ij

विधि

  1. हर शीर्ष की घात लिखें; घातों का योग कोरों की संख्या का दोगुना होता है।
  2. यूलर के प्रश्नों में जाँचें कि ग्राफ़ संबद्ध है और विषम घात वाले शीर्षों को गिनें।
  3. वृक्षों के लिए n − 1 कोरों और हैंडशेक लेमा का उपयोग करें।
  4. डाइक्स्ट्रा के लिए अस्थायी दूरियों की सारणी रखें और हर चक्र में सबसे छोटी दूरी वाले अनिर्धारित शीर्ष को निर्धारित करें।
  5. न्यूनतम स्पैनिंग ट्री के लिए कोरों को भार के अनुसार क्रमबद्ध करें और चक्र बनाने वाली हर कोर छोड़ दें (क्रुस्कल), या किसी प्रारंभिक शीर्ष से एक वृक्ष बढ़ाएँ (प्रिम)।

2अभ्यास प्रश्न

1.एल्गोरिदम और जटिलतामध्यम

n तत्वों के ऐरे के लिए मर्ज सॉर्ट के रिकर्शन में कितने स्तर होते हैं?

  1. Aलगभग n / 2
  2. Bलगभग log₂ n
  3. Cलगभग n
  4. Dलगभग √n
2.एल्गोरिदम और जटिलताकठिन

बाइनरी काउंटर को बढ़ाने (increment) की एमॉर्टाइज़्ड लागत क्या है, यह देखते हुए कि एक वृद्धि कई बिट पलट सकती है?

  1. Aप्रति वृद्धि O(log n)
  2. Bप्रति वृद्धि O(1)
  3. Cप्रति वृद्धि O(n)
  4. Dप्रति वृद्धि O(n log n)
3.डेटा संरचनाएँमध्यम

बाइनरी सर्च ट्री का in-order ट्रैवर्सल कुंजियों को किस क्रम में देखता है?

  1. Aस्तर क्रम (level order) में
  2. Bहमेशा अवरोही क्रम में
  3. Cआरोही क्रमबद्ध क्रम में
  4. Dइंसर्शन के क्रम में
4.डेटा संरचनाएँकठिन

सर्कुलर बफ़र में front == rear का अर्थ ख़ाली या भरा दोनों हो सकता है। इन्हें अलग पहचानने का एक सामान्य तरीका क्या है?

  1. Aएक अलग तत्व-गिनती रखें, या हमेशा एक स्लॉट ख़ाली छोड़ें
  2. Bबफ़र का आकार दो की घात रखें
  3. Cजब भी front, rear के बराबर हो बफ़र साफ़ कर दें, ताकि स्थिति ख़ाली रहे
  4. Dfront और rear को एक ही वेरिएबल में संग्रहीत करें
5.ग्राफ़ सिद्धांतमध्यम
ABCDEFGयूलर परिपथयूलर पथ, परिपथ नहींदोनों में से कुछ नहीं

क्या संबद्ध ग्राफ़ में यूलर परिपथ है, परिपथ न होने वाला यूलर पथ है, या दोनों में से कुछ नहीं? अपना उत्तर क्लिक करें।

|V| = 7|E| = 11
  1. 1यूलर परिपथ
  2. 2यूलर पथ, परिपथ नहीं
  3. 3दोनों में से कुछ नहीं
6.ग्राफ़ सिद्धांतकठिन
151715711148ABCDEF

भारित ग्राफ़ में A से F तक के सबसे छोटे पथ की लंबाई d(F) डाइक्स्ट्रा के एल्गोरिथ्म से ज्ञात करें।

प्रारंभ: Aअंत: F
d(F) =

3विलयन

1.एल्गोरिदम और जटिलता

उत्तर: B · लगभग log₂ n

यह उत्तर क्यों है

n से 1 तक आधा करते जाने में लगभग log₂ n स्तर लगते हैं, और हर स्तर O(n) मर्जिंग कार्य करता है, जिससे O(n log n) मिलता है।

उत्तर

B · लगभग log₂ n
2.एल्गोरिदम और जटिलता

उत्तर: B · प्रति वृद्धि O(1)

यह उत्तर क्यों है

n वृद्धियों में बिट i लगभग n / 2ⁱ बार पलटता है, इसलिए कुल 2n से कम पलटाव होते हैं, यानी प्रति वृद्धि औसत O(1)।

उत्तर

B · प्रति वृद्धि O(1)
3.डेटा संरचनाएँ

उत्तर: C · आरोही क्रमबद्ध क्रम में

यह उत्तर क्यों है

पहले बाएँ सबट्री, फिर नोड, फिर दाएँ सबट्री पर जाने से BST की कुंजियाँ क्रमबद्ध क्रम में मिलती हैं।

उत्तर

C · आरोही क्रमबद्ध क्रम में
4.डेटा संरचनाएँ

उत्तर: A · एक अलग तत्व-गिनती रखें, या हमेशा एक स्लॉट ख़ाली छोड़ें

यह उत्तर क्यों है

गिनती के साथ ख़ाली का अर्थ count = 0 और भरा का अर्थ count = capacity है; एक ख़ाली स्लॉट के साथ भरा (rear + 1) mod n == front के रूप में परिभाषित होता है।

उत्तर

A · एक अलग तत्व-गिनती रखें, या हमेशा एक स्लॉट ख़ाली छोड़ें
5.ग्राफ़ सिद्धांत

उत्तर: यूलर पथ, परिपथ नहीं

यूलर, हैमिल्टन और वृक्ष: संबद्ध ग्राफ़ में यूलर परिपथ (हर कोर एक बार, शुरुआत पर वापसी) तब होता है जब हर शीर्ष की घात सम हो, और परिपथ न होने वाला यूलर पथ तब जब ठीक दो शीर्षों की घात विषम हो; तब पथ एक विषम शीर्ष से दूसरे तक चलता है। हैमिल्टन परिपथ हर शीर्ष पर एक बार जाता है; Kn में ऐसे (n − 1)!/2 होते हैं। n शीर्षों वाले वृक्ष में n − 1 कोरें होती हैं, और m कोरों वाला संबद्ध ग्राफ़ m − n + 1 कोरें हटाने के बाद स्पैनिंग ट्री रखता है।

घात

deg(A) = 2, deg(B) = 4, deg(C) = 4, deg(D) = 3, deg(E) = 3, deg(F) = 2, deg(G) = 4

विषम शीर्ष

D, E → 2
यूलर पथ, परिपथ नहीं

उत्तर

यूलर पथ, परिपथ नहीं

यूलर पथ एक विषम शीर्ष से शुरू होता है और दूसरे पर समाप्त होता है।

6.ग्राफ़ सिद्धांत

उत्तर: d(F) = 22

सबसे छोटे पथ और स्पैनिंग ट्री: डाइक्स्ट्रा का एल्गोरिथ्म हर चक्र में एक शीर्ष निर्धारित करता है: सबसे छोटी अस्थायी दूरी वाला अनिर्धारित शीर्ष। तब उसकी दूरी अंतिम होती है, और हर पड़ोसी v को d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)) मिलता है। क्रुस्कल का एल्गोरिथ्म कोरों को हल्की से भारी की ओर लेकर और चक्र बनाने वाली हर कोर छोड़कर न्यूनतम स्पैनिंग ट्री बनाता है; प्रिम का एल्गोरिथ्म प्रारंभिक शीर्ष से एक वृक्ष बढ़ाता है और हमेशा उससे बाहर जाने वाली सबसे हल्की कोर जोड़ता है। n शीर्षों के स्पैनिंग ट्री में n − 1 कोरें होती हैं।

डाइक्स्ट्रा चक्र-दर-चक्र

हर पंक्ति: निर्धारित शीर्ष, उसकी अंतिम दूरी, और वे पड़ोसी जिनकी दूरी सुधरती है।

A (0): B: 15, C: 1
C (1): B: 8, E: 8
B (8): D: 23
E (8): D: 19, F: 22
D (19)
F (22)

सबसे छोटा पथ

A → C → E → F
d(F) = 22

उत्तर

d(F) = 22

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