डेटा संरचना और एल्गोरिदम: क्रैम पैक

सूत्र-पत्रक, हर विषय के मुख्य विधि-चरण और 6 अभ्यास प्रश्न, पूरे हल पीछे दिए गए हैं।

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1सूत्र और विधियाँ

ग्राफ़ सिद्धांत

हैंडशेक लेमा
Σ deg(v) = 2|E|
पूर्ण ग्राफ़
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
नियमित ग्राफ़
|E| = n·k/2
वृक्ष और वन
|E| = n − 1, |E| = n − c
वृक्ष के पत्ते
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
यूलर
परिपथ: सभी घात सम; पथ: ठीक 2 घात विषम
Kn में हैमिल्टन परिपथ
(n − 1)!/2
डाइक्स्ट्रा अद्यतन
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
लंबाई L की वॉक
(Mᴸ)ij

विधि

  1. हर शीर्ष की घात लिखें; घातों का योग कोरों की संख्या का दोगुना होता है।
  2. यूलर के प्रश्नों में जाँचें कि ग्राफ़ संबद्ध है और विषम घात वाले शीर्षों को गिनें।
  3. वृक्षों के लिए n − 1 कोरों और हैंडशेक लेमा का उपयोग करें।
  4. डाइक्स्ट्रा के लिए अस्थायी दूरियों की सारणी रखें और हर चक्र में सबसे छोटी दूरी वाले अनिर्धारित शीर्ष को निर्धारित करें।
  5. न्यूनतम स्पैनिंग ट्री के लिए कोरों को भार के अनुसार क्रमबद्ध करें और चक्र बनाने वाली हर कोर छोड़ दें (क्रुस्कल), या किसी प्रारंभिक शीर्ष से एक वृक्ष बढ़ाएँ (प्रिम)।

2अभ्यास प्रश्न

1.एल्गोरिदम और जटिलतामध्यम

डायनेमिक प्रोग्रामिंग (dynamic programming) तब उपयोगी है जब किसी समस्या में हों:

  1. Aकेवल यादृच्छिक इनपुट
  2. Bकेवल एक लूप
  3. Cओवरलैपिंग उप-समस्याएँ और इष्टतम उप-संरचना (optimal substructure)
  4. Dकोई उप-समस्या बिल्कुल न हो, ताकि उसे एक ही चरण में हल किया जा सके
2.एल्गोरिदम और जटिलताकठिन

अनसॉर्टेड ऐरे का k-वाँ सबसे छोटा तत्व चुनने के बारे में कौन-सा कथन सही है?

  1. Aसिलेक्शन को हमेशा Ω(n log n) चाहिए क्योंकि उसे सॉर्टिंग चाहिए
  2. Bक्विकसिलेक्ट अपेक्षित O(n) में चलता है, और मीडियन-ऑफ़-मीडियन्स वर्स्ट केस में O(n) की गारंटी देता है
  3. Cसिलेक्शन केवल O(n²) में संभव है
  4. Dक्विकसिलेक्ट वर्स्ट केस में O(log n) में चलता है क्योंकि वह पिवट के केवल एक ओर रिकर्स करता है
3.डेटा संरचनाएँमध्यम

किनारों में गिनी गई ऊँचाई h वाले पर्फ़ेक्ट बाइनरी ट्री में कितने नोड होते हैं?

  1. A2h+1 − 1
  2. Bh2
  3. C2h + 1
  4. D2h
4.डेटा संरचनाएँकठिन

AVL ट्री में एक कुंजी डालने से किसी नोड का बायाँ सबट्री बहुत ऊँचा हो जाता है, और नई कुंजी उसके बाएँ चाइल्ड के बाएँ सबट्री में गई (left-left स्थिति)। कौन-सा सुधार लागू होता है?

  1. Aअसंतुलित नोड पर एक एकल बायाँ रोटेशन
  2. Bनोड और उसके चाइल्ड का रंग बदलना
  3. Cचाइल्ड पर बायाँ रोटेशन, फिर नोड पर दायाँ रोटेशन
  4. Dअसंतुलित नोड पर एक एकल दायाँ रोटेशन
5.ग्राफ़ सिद्धांतमध्यम

एक संबद्ध ग्राफ़ में 14 शीर्ष और 22 कोरें हैं। स्पैनिंग ट्री बचाने के लिए कितनी कोरें k हटानी होंगी?

|V| = 14|E| = 22
k =
6.ग्राफ़ सिद्धांतकठिन
18112061215174ABCDEFG

प्रिम का एल्गोरिथ्म शीर्ष F से शुरू करके न्यूनतम स्पैनिंग ट्री बनाता है। उस कोर पर क्लिक करें जिसे वह कोर संख्या 4 के रूप में जोड़ता है।

प्रारंभ: Fk = 4
  1. 1कोर AB
  2. 2कोर AC
  3. 3कोर BD
  4. 4कोर DE
  5. 5कोर DF
  6. 6कोर GB
  7. 7कोर GC
  8. 8कोर GD
  9. 9कोर GE

3विलयन

1.एल्गोरिदम और जटिलता

उत्तर: C · ओवरलैपिंग उप-समस्याएँ और इष्टतम उप-संरचना (optimal substructure)

यह उत्तर क्यों है

ओवरलैपिंग उप-समस्याओं के परिणाम संग्रहीत करने (मेमोइज़ेशन या टैबुलेशन) से दोहराया गया काम बचता है, जिससे घातांकी एल्गोरिदम बहुपद एल्गोरिदम में बदल जाते हैं।

उत्तर

C · ओवरलैपिंग उप-समस्याएँ और इष्टतम उप-संरचना (optimal substructure)
2.एल्गोरिदम और जटिलता

उत्तर: B · क्विकसिलेक्ट अपेक्षित O(n) में चलता है, और मीडियन-ऑफ़-मीडियन्स वर्स्ट केस में O(n) की गारंटी देता है

यह उत्तर क्यों है

यादृच्छिक पिवटों के साथ क्विकसिलेक्ट का अपेक्षित कार्य n + n/2 + n/4 + ... = O(n) है; पिवट को मीडियन ऑफ़ मीडियन्स के रूप में चुनने से वर्स्ट केस रैखिक हो जाता है।

उत्तर

B · क्विकसिलेक्ट अपेक्षित O(n) में चलता है, और मीडियन-ऑफ़-मीडियन्स वर्स्ट केस में O(n) की गारंटी देता है
3.डेटा संरचनाएँ

उत्तर: A · 2h+1 − 1

यह उत्तर क्यों है

1 + 2 + 4 + ... + 2h का योग 2h+1 − 1 देता है; उदाहरण के लिए, ऊँचाई 2 से 7 नोड मिलते हैं।

उत्तर

A · 2h+1 − 1
4.डेटा संरचनाएँ

उत्तर: D · असंतुलित नोड पर एक एकल दायाँ रोटेशन

यह उत्तर क्यों है

Left-left स्थिति में एक दायाँ रोटेशन बाएँ चाइल्ड को ऊपर उठाकर संतुलन बहाल करता है; zig-zag स्थितियों में दोहरा रोटेशन चाहिए।

उत्तर

D · असंतुलित नोड पर एक एकल दायाँ रोटेशन
5.ग्राफ़ सिद्धांत

उत्तर: k = 9

यूलर, हैमिल्टन और वृक्ष: संबद्ध ग्राफ़ में यूलर परिपथ (हर कोर एक बार, शुरुआत पर वापसी) तब होता है जब हर शीर्ष की घात सम हो, और परिपथ न होने वाला यूलर पथ तब जब ठीक दो शीर्षों की घात विषम हो; तब पथ एक विषम शीर्ष से दूसरे तक चलता है। हैमिल्टन परिपथ हर शीर्ष पर एक बार जाता है; Kn में ऐसे (n − 1)!/2 होते हैं। n शीर्षों वाले वृक्ष में n − 1 कोरें होती हैं, और m कोरों वाला संबद्ध ग्राफ़ m − n + 1 कोरें हटाने के बाद स्पैनिंग ट्री रखता है।

स्पैनिंग ट्री की कोरें

14 − 1 = 13

हटाई जाने वाली कोरें

k = 22 − 13 = 9

उत्तर

k = 9
6.ग्राफ़ सिद्धांत

उत्तर: कोर GB

सबसे छोटे पथ और स्पैनिंग ट्री: डाइक्स्ट्रा का एल्गोरिथ्म हर चक्र में एक शीर्ष निर्धारित करता है: सबसे छोटी अस्थायी दूरी वाला अनिर्धारित शीर्ष। तब उसकी दूरी अंतिम होती है, और हर पड़ोसी v को d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)) मिलता है। क्रुस्कल का एल्गोरिथ्म कोरों को हल्की से भारी की ओर लेकर और चक्र बनाने वाली हर कोर छोड़कर न्यूनतम स्पैनिंग ट्री बनाता है; प्रिम का एल्गोरिथ्म प्रारंभिक शीर्ष से एक वृक्ष बढ़ाता है और हमेशा उससे बाहर जाने वाली सबसे हल्की कोर जोड़ता है। n शीर्षों के स्पैनिंग ट्री में n − 1 कोरें होती हैं।

प्रिम का एल्गोरिथ्म

1. DF (1)
2. DE (6)
3. GE (4)
4. GB (2)
5. GC (15)
6. AC (11)

कोर संख्या 4

GB

उत्तर

कोर GB

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