डेटा संरचना और एल्गोरिदम: क्रैम पैक

सूत्र-पत्रक, हर विषय के मुख्य विधि-चरण और 6 अभ्यास प्रश्न, पूरे हल पीछे दिए गए हैं।

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1सूत्र और विधियाँ

ग्राफ़ सिद्धांत

हैंडशेक लेमा
Σ deg(v) = 2|E|
पूर्ण ग्राफ़
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
नियमित ग्राफ़
|E| = n·k/2
वृक्ष और वन
|E| = n − 1, |E| = n − c
वृक्ष के पत्ते
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
यूलर
परिपथ: सभी घात सम; पथ: ठीक 2 घात विषम
Kn में हैमिल्टन परिपथ
(n − 1)!/2
डाइक्स्ट्रा अद्यतन
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
लंबाई L की वॉक
(Mᴸ)ij

विधि

  1. हर शीर्ष की घात लिखें; घातों का योग कोरों की संख्या का दोगुना होता है।
  2. यूलर के प्रश्नों में जाँचें कि ग्राफ़ संबद्ध है और विषम घात वाले शीर्षों को गिनें।
  3. वृक्षों के लिए n − 1 कोरों और हैंडशेक लेमा का उपयोग करें।
  4. डाइक्स्ट्रा के लिए अस्थायी दूरियों की सारणी रखें और हर चक्र में सबसे छोटी दूरी वाले अनिर्धारित शीर्ष को निर्धारित करें।
  5. न्यूनतम स्पैनिंग ट्री के लिए कोरों को भार के अनुसार क्रमबद्ध करें और चक्र बनाने वाली हर कोर छोड़ दें (क्रुस्कल), या किसी प्रारंभिक शीर्ष से एक वृक्ष बढ़ाएँ (प्रिम)।

2अभ्यास प्रश्न

1.एल्गोरिदम और जटिलतामध्यम

आप n तत्वों का ऐरे एक बार सॉर्ट करते हैं और फिर बाइनरी सर्च से k सदस्यता प्रश्नों के उत्तर देते हैं। कुल लागत क्या है?

  1. AO(k n log n)
  2. BO(n + k)
  3. CO(nk)
  4. DO(n log n + k log n)
2.एल्गोरिदम और जटिलताकठिन

रिकरेंस T(n) = 2T(n/2) + n log n का हल क्या है?

  1. AΘ(n²)
  2. BΘ(n log² n)
  3. CΘ(n)
  4. DΘ(n log n)
3.डेटा संरचनाएँमध्यम

आपके पास एक लिस्ट के बीच के नोड का संदर्भ है। किस लिस्ट में आप उसे O(1) में हटा सकते हैं?

  1. Aडबली लिंक्ड लिस्ट
  2. Bडायनेमिक ऐरे
  3. Cसिंगली लिंक्ड लिस्ट
  4. Dसॉर्टेड ऐरे
4.डेटा संरचनाएँकठिन

एक डायनेमिक ऐरे भर जाने पर दोगुना होता है। कई कार्यान्वयन उसे आधा भरा होने के बजाय केवल एक-चौथाई भरा होने पर ही क्यों छोटा करते हैं?

  1. Aसीमा के पास push और pop बारी-बारी से होने पर बार-बार आकार बदलने से बचने के लिए
  2. Bऐरे को सॉर्टेड रखने के लिए
  3. Cक्योंकि आधे पर आधा करने से तत्व खो जाएँगे
  4. Dक्योंकि मेमोरी आवंटक मेमोरी को केवल ब्लॉक के चौथाई भागों में मुक्त कर सकता है
5.ग्राफ़ सिद्धांतमध्यम

पूर्ण ग्राफ़ K6 में कितने भिन्न हैमिल्टन परिपथ H हैं? जो परिपथ केवल प्रारंभिक शीर्ष या दिशा में भिन्न हों, उन्हें एक ही गिना जाता है।

K6
H =
6.ग्राफ़ सिद्धांतकठिन
1025144257ABCDEF

डाइक्स्ट्रा का एल्गोरिथ्म A से चलता है। उस शीर्ष पर क्लिक करें जो चक्र 3 में निर्धारित (स्थायी) होता है; A स्वयं चक्र 1 है।

प्रारंभ: Aचक्र 3
  1. 1A
  2. 2B
  3. 3C
  4. 4D
  5. 5E
  6. 6F

3विलयन

1.एल्गोरिदम और जटिलता

उत्तर: D · O(n log n + k log n)

यह उत्तर क्यों है

सॉर्टिंग में O(n log n) और हर प्रश्न में O(log n) लगता है; जब k बड़ा हो तो यह k रैखिक स्कैन (O(nk)) से बेहतर है।

उत्तर

D · O(n log n + k log n)
2.एल्गोरिदम और जटिलता

उत्तर: B · Θ(n log² n)

यह उत्तर क्यों है

स्तर k लगभग n log(n / 2ᵏ) कार्य करता है, और log n स्तरों पर योग Θ(n log² n) देता है, जो मास्टर प्रमेय की विस्तारित दूसरी स्थिति है।

उत्तर

B · Θ(n log² n)
3.डेटा संरचनाएँ

उत्तर: A · डबली लिंक्ड लिस्ट

यह उत्तर क्यों है

डबली लिंक्ड नोड अपने पूर्ववर्ती को जानता है, इसलिए आप prev और next को सीधे जोड़ सकते हैं; सिंगली लिंक्ड लिस्ट में पूर्ववर्ती खोजना पड़ता है।

उत्तर

A · डबली लिंक्ड लिस्ट
4.डेटा संरचनाएँ

उत्तर: A · सीमा के पास push और pop बारी-बारी से होने पर बार-बार आकार बदलने से बचने के लिए

यह उत्तर क्यों है

आधे पर छोटा करने से ऐसे अनुक्रम में हर ऑपरेशन पर आकार बदल सकता है; 1/4 और पूर्ण के बीच का अंतर एमॉर्टाइज़्ड लागत को O(1) रखता है।

उत्तर

A · सीमा के पास push और pop बारी-बारी से होने पर बार-बार आकार बदलने से बचने के लिए
5.ग्राफ़ सिद्धांत

उत्तर: H = 60

यूलर, हैमिल्टन और वृक्ष: संबद्ध ग्राफ़ में यूलर परिपथ (हर कोर एक बार, शुरुआत पर वापसी) तब होता है जब हर शीर्ष की घात सम हो, और परिपथ न होने वाला यूलर पथ तब जब ठीक दो शीर्षों की घात विषम हो; तब पथ एक विषम शीर्ष से दूसरे तक चलता है। हैमिल्टन परिपथ हर शीर्ष पर एक बार जाता है; Kn में ऐसे (n − 1)!/2 होते हैं। n शीर्षों वाले वृक्ष में n − 1 कोरें होती हैं, और m कोरों वाला संबद्ध ग्राफ़ m − n + 1 कोरें हटाने के बाद स्पैनिंग ट्री रखता है।

गिनें

H = (6 − 1)!/2 = 120/2 = 60

उत्तर

H = 60
6.ग्राफ़ सिद्धांत

उत्तर: B

सबसे छोटे पथ और स्पैनिंग ट्री: डाइक्स्ट्रा का एल्गोरिथ्म हर चक्र में एक शीर्ष निर्धारित करता है: सबसे छोटी अस्थायी दूरी वाला अनिर्धारित शीर्ष। तब उसकी दूरी अंतिम होती है, और हर पड़ोसी v को d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)) मिलता है। क्रुस्कल का एल्गोरिथ्म कोरों को हल्की से भारी की ओर लेकर और चक्र बनाने वाली हर कोर छोड़कर न्यूनतम स्पैनिंग ट्री बनाता है; प्रिम का एल्गोरिथ्म प्रारंभिक शीर्ष से एक वृक्ष बढ़ाता है और हमेशा उससे बाहर जाने वाली सबसे हल्की कोर जोड़ता है। n शीर्षों के स्पैनिंग ट्री में n − 1 कोरें होती हैं।

डाइक्स्ट्रा चक्र-दर-चक्र

1. A (0): B: 10, C: 2
2. C (2): B: 7
3. B (7): D: 21, E: 14
4. E (14): D: 18, F: 19
5. D (18)
6. F (19)

चक्र 3

B

उत्तर

B

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