डेटा संरचना और एल्गोरिदम: क्रैम पैक

सूत्र-पत्रक, हर विषय के मुख्य विधि-चरण और 6 अभ्यास प्रश्न, पूरे हल पीछे दिए गए हैं।

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1सूत्र और विधियाँ

ग्राफ़ सिद्धांत

हैंडशेक लेमा
Σ deg(v) = 2|E|
पूर्ण ग्राफ़
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
नियमित ग्राफ़
|E| = n·k/2
वृक्ष और वन
|E| = n − 1, |E| = n − c
वृक्ष के पत्ते
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
यूलर
परिपथ: सभी घात सम; पथ: ठीक 2 घात विषम
Kn में हैमिल्टन परिपथ
(n − 1)!/2
डाइक्स्ट्रा अद्यतन
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
लंबाई L की वॉक
(Mᴸ)ij

विधि

  1. हर शीर्ष की घात लिखें; घातों का योग कोरों की संख्या का दोगुना होता है।
  2. यूलर के प्रश्नों में जाँचें कि ग्राफ़ संबद्ध है और विषम घात वाले शीर्षों को गिनें।
  3. वृक्षों के लिए n − 1 कोरों और हैंडशेक लेमा का उपयोग करें।
  4. डाइक्स्ट्रा के लिए अस्थायी दूरियों की सारणी रखें और हर चक्र में सबसे छोटी दूरी वाले अनिर्धारित शीर्ष को निर्धारित करें।
  5. न्यूनतम स्पैनिंग ट्री के लिए कोरों को भार के अनुसार क्रमबद्ध करें और चक्र बनाने वाली हर कोर छोड़ दें (क्रुस्कल), या किसी प्रारंभिक शीर्ष से एक वृक्ष बढ़ाएँ (प्रिम)।

2अभ्यास प्रश्न

1.एल्गोरिदम और जटिलतामध्यम

बॉटम-अप तालिका से n-वीं फ़िबोनाची संख्या की गणना की टाइम कॉम्प्लेक्सिटी क्या है?

  1. AO(2ⁿ)
  2. BO(n²)
  3. CO(n)
  4. DO(log n)
2.एल्गोरिदम और जटिलताकठिन

सबसे छोटे सरल पथ बहुपदी समय में खोजे जा सकते हैं। सामान्य ग्राफ़ में दो शीर्षों के बीच सबसे लंबा सरल पथ खोजने के बारे में क्या ज्ञात है?

  1. Aयह हमेशा O(V + E) में हल होता है
  2. Bइसे ऋणात्मक भारों के साथ डाइकस्ट्रा के एल्गोरिदम से हल किया जा सकता है
  3. Cयह NP-hard है
  4. Dयह अनिर्णेय है
3.डेटा संरचनाएँमध्यम

बाइनरी सर्च ट्री के एक नोड का दायाँ सबट्री है। उसका इन-ऑर्डर उत्तराधिकारी (successor) कहाँ है?

  1. Aहमेशा उसका पैरेंट
  2. Bउसके बाएँ सबट्री का सबसे दायाँ नोड
  3. Cउसके दाएँ सबट्री का सबसे बायाँ नोड
  4. Dहमेशा उसका दायाँ चाइल्ड
4.डेटा संरचनाएँकठिन

एक डायनेमिक ऐरे भर जाने पर दोगुना होता है। कई कार्यान्वयन उसे आधा भरा होने के बजाय केवल एक-चौथाई भरा होने पर ही क्यों छोटा करते हैं?

  1. Aक्योंकि मेमोरी आवंटक मेमोरी को केवल ब्लॉक के चौथाई भागों में मुक्त कर सकता है
  2. Bऐरे को सॉर्टेड रखने के लिए
  3. Cसीमा के पास push और pop बारी-बारी से होने पर बार-बार आकार बदलने से बचने के लिए
  4. Dक्योंकि आधे पर आधा करने से तत्व खो जाएँगे
5.ग्राफ़ सिद्धांतमध्यम
ABCDEFGयूलर परिपथयूलर पथ, परिपथ नहींदोनों में से कुछ नहीं

क्या संबद्ध ग्राफ़ में यूलर परिपथ है, परिपथ न होने वाला यूलर पथ है, या दोनों में से कुछ नहीं? अपना उत्तर क्लिक करें।

|V| = 7|E| = 10
  1. 1यूलर परिपथ
  2. 2यूलर पथ, परिपथ नहीं
  3. 3दोनों में से कुछ नहीं
6.ग्राफ़ सिद्धांतकठिन
12621010141014ABCDEF

भारित ग्राफ़ में A से F तक के सबसे छोटे पथ की लंबाई d(F) डाइक्स्ट्रा के एल्गोरिथ्म से ज्ञात करें।

प्रारंभ: Aअंत: F
d(F) =

3विलयन

1.एल्गोरिदम और जटिलता

उत्तर: C · O(n)

यह उत्तर क्यों है

0 से n तक तालिका भरने में प्रति प्रविष्टि एक जोड़ लगता है, इसलिए कार्य घातांकी के बजाय रैखिक है।

उत्तर

C · O(n)
2.एल्गोरिदम और जटिलता

उत्तर: C · यह NP-hard है

यह उत्तर क्यों है

V − 1 लंबाई का सबसे लंबा सरल पथ एक हैमिल्टोनियन पथ है, जो NP-complete समस्या है; परंतु डायरेक्टेड एसाइक्लिक ग्राफ़ पर यह रैखिक समय में हल होता है।

उत्तर

C · यह NP-hard है
3.डेटा संरचनाएँ

उत्तर: C · उसके दाएँ सबट्री का सबसे बायाँ नोड

यह उत्तर क्यों है

नोड के निकट की सभी बड़ी कुंजियाँ उसके दाएँ सबट्री में हैं, और उनमें सबसे छोटी वहाँ का सबसे बायाँ नोड है।

उत्तर

C · उसके दाएँ सबट्री का सबसे बायाँ नोड
4.डेटा संरचनाएँ

उत्तर: C · सीमा के पास push और pop बारी-बारी से होने पर बार-बार आकार बदलने से बचने के लिए

यह उत्तर क्यों है

आधे पर छोटा करने से ऐसे अनुक्रम में हर ऑपरेशन पर आकार बदल सकता है; 1/4 और पूर्ण के बीच का अंतर एमॉर्टाइज़्ड लागत को O(1) रखता है।

उत्तर

C · सीमा के पास push और pop बारी-बारी से होने पर बार-बार आकार बदलने से बचने के लिए
5.ग्राफ़ सिद्धांत

उत्तर: दोनों में से कुछ नहीं

यूलर, हैमिल्टन और वृक्ष: संबद्ध ग्राफ़ में यूलर परिपथ (हर कोर एक बार, शुरुआत पर वापसी) तब होता है जब हर शीर्ष की घात सम हो, और परिपथ न होने वाला यूलर पथ तब जब ठीक दो शीर्षों की घात विषम हो; तब पथ एक विषम शीर्ष से दूसरे तक चलता है। हैमिल्टन परिपथ हर शीर्ष पर एक बार जाता है; Kn में ऐसे (n − 1)!/2 होते हैं। n शीर्षों वाले वृक्ष में n − 1 कोरें होती हैं, और m कोरों वाला संबद्ध ग्राफ़ m − n + 1 कोरें हटाने के बाद स्पैनिंग ट्री रखता है।

घात

deg(A) = 2, deg(B) = 4, deg(C) = 3, deg(D) = 3, deg(E) = 3, deg(F) = 2, deg(G) = 3

विषम शीर्ष

C, D, E, G → 4
दोनों में से कुछ नहीं

उत्तर

दोनों में से कुछ नहीं
6.ग्राफ़ सिद्धांत

उत्तर: d(F) = 32

सबसे छोटे पथ और स्पैनिंग ट्री: डाइक्स्ट्रा का एल्गोरिथ्म हर चक्र में एक शीर्ष निर्धारित करता है: सबसे छोटी अस्थायी दूरी वाला अनिर्धारित शीर्ष। तब उसकी दूरी अंतिम होती है, और हर पड़ोसी v को d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)) मिलता है। क्रुस्कल का एल्गोरिथ्म कोरों को हल्की से भारी की ओर लेकर और चक्र बनाने वाली हर कोर छोड़कर न्यूनतम स्पैनिंग ट्री बनाता है; प्रिम का एल्गोरिथ्म प्रारंभिक शीर्ष से एक वृक्ष बढ़ाता है और हमेशा उससे बाहर जाने वाली सबसे हल्की कोर जोड़ता है। n शीर्षों के स्पैनिंग ट्री में n − 1 कोरें होती हैं।

डाइक्स्ट्रा चक्र-दर-चक्र

हर पंक्ति: निर्धारित शीर्ष, उसकी अंतिम दूरी, और वे पड़ोसी जिनकी दूरी सुधरती है।

A (0): B: 12, C: 6
C (6): B: 8
B (8): D: 18, E: 22
D (18): F: 32
E (22)
F (32)

सबसे छोटा पथ

A → C → B → D → F
d(F) = 32

उत्तर

d(F) = 32

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