डेटा संरचना और एल्गोरिदम: क्रैम पैक

सूत्र-पत्रक, हर विषय के मुख्य विधि-चरण और 6 अभ्यास प्रश्न, पूरे हल पीछे दिए गए हैं।

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1सूत्र और विधियाँ

ग्राफ़ सिद्धांत

हैंडशेक लेमा
Σ deg(v) = 2|E|
पूर्ण ग्राफ़
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
नियमित ग्राफ़
|E| = n·k/2
वृक्ष और वन
|E| = n − 1, |E| = n − c
वृक्ष के पत्ते
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
यूलर
परिपथ: सभी घात सम; पथ: ठीक 2 घात विषम
Kn में हैमिल्टन परिपथ
(n − 1)!/2
डाइक्स्ट्रा अद्यतन
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
लंबाई L की वॉक
(Mᴸ)ij

विधि

  1. हर शीर्ष की घात लिखें; घातों का योग कोरों की संख्या का दोगुना होता है।
  2. यूलर के प्रश्नों में जाँचें कि ग्राफ़ संबद्ध है और विषम घात वाले शीर्षों को गिनें।
  3. वृक्षों के लिए n − 1 कोरों और हैंडशेक लेमा का उपयोग करें।
  4. डाइक्स्ट्रा के लिए अस्थायी दूरियों की सारणी रखें और हर चक्र में सबसे छोटी दूरी वाले अनिर्धारित शीर्ष को निर्धारित करें।
  5. न्यूनतम स्पैनिंग ट्री के लिए कोरों को भार के अनुसार क्रमबद्ध करें और चक्र बनाने वाली हर कोर छोड़ दें (क्रुस्कल), या किसी प्रारंभिक शीर्ष से एक वृक्ष बढ़ाएँ (प्रिम)।

2अभ्यास प्रश्न

1.एल्गोरिदम और जटिलतामध्यम

for i = 1 to n: (j = 1; while j < n: j = j × 2) — इसकी टाइम कॉम्प्लेक्सिटी क्या है?

  1. AO(n log n)
  2. BO(n²)
  3. CO(n)
  4. DO(log n)
2.एल्गोरिदम और जटिलताकठिन

कोई समस्या NP-complete होती है यदि वह:

  1. ANP में है और हर NP समस्या बहुपद समय में उसमें रिड्यूस होती है
  2. Bबहुपद समय में हल की जा सकती है
  3. CNP से बाहर है लेकिन सभी NP समस्याओं से कठिन है, जैसे हॉल्टिंग समस्या
  4. Dहल करना असंभव है
3.डेटा संरचनाएँमध्यम

एक एप्लिकेशन को तेज़ खोज चाहिए और कुंजियों को सॉर्टेड क्रम में सूचीबद्ध करना तथा रेंज प्रश्नों के उत्तर देना भी चाहिए। कौन-सी संरचना सबसे उपयुक्त है?

  1. Aस्टैक
  2. Bअनसॉर्टेड लिंक्ड लिस्ट
  3. Cसंतुलित बाइनरी सर्च ट्री
  4. Dहैश टेबल
4.डेटा संरचनाएँकठिन

रूट 50, बाएँ सबट्री 30 (चाइल्ड 20, 40) और दाएँ सबट्री 70 (चाइल्ड 60, 80) वाले BST में रूट को इन-ऑर्डर उत्तराधिकारी का उपयोग करके हटाया जाता है। कौन-सी कुंजी नया रूट बनती है?

  1. A60
  2. B40
  3. C70
  4. D80
5.ग्राफ़ सिद्धांतमध्यम

एक वृक्ष में घात 5 वाले 3 शीर्ष, घात 2 वाले 2 शीर्ष है, और उसके बाकी सभी शीर्ष पत्ते (घात 1) हैं। उसमें कितने पत्ते L हैं?

3 × deg 52 × deg 2
L =
6.ग्राफ़ सिद्धांतकठिन
1191368311113ABCDEF

भारित ग्राफ़ में A से F तक के सबसे छोटे पथ की लंबाई d(F) डाइक्स्ट्रा के एल्गोरिथ्म से ज्ञात करें।

प्रारंभ: Aअंत: F
d(F) =

3विलयन

1.एल्गोरिदम और जटिलता

उत्तर: A · O(n log n)

यह उत्तर क्यों है

n बाहरी इटरेशन में से हर एक के लिए भीतरी लूप लगभग log₂ n बार चलता है, जिससे O(n log n) मिलता है।

उत्तर

A · O(n log n)
2.एल्गोरिदम और जटिलता

उत्तर: A · NP में है और हर NP समस्या बहुपद समय में उसमें रिड्यूस होती है

यह उत्तर क्यों है

NP-complete समस्याएँ NP में सबसे कठिन हैं; इनमें से किसी एक के लिए बहुपद एल्गोरिदम पूरे NP के लिए एक एल्गोरिदम दे देगा।

उत्तर

A · NP में है और हर NP समस्या बहुपद समय में उसमें रिड्यूस होती है
3.डेटा संरचनाएँ

उत्तर: C · संतुलित बाइनरी सर्च ट्री

यह उत्तर क्यों है

संतुलित BST, O(log n) खोज देता है और कुंजियों को क्रम में रखता है, इसलिए इन-ऑर्डर ट्रैवर्सल और रेंज प्रश्न आसान हैं; हैश टेबल कुंजियों को बिखेर देती है।

उत्तर

C · संतुलित बाइनरी सर्च ट्री
4.डेटा संरचनाएँ

उत्तर: A · 60

यह उत्तर क्यों है

दाएँ सबट्री का सबसे बायाँ नोड 60 है, इसलिए 60, 50 का स्थान लेता है और उसकी पुरानी स्थिति हटा दी जाती है; पूर्ववर्ती (predecessor) के उपयोग से 40 मिलता।

उत्तर

A · 60
5.ग्राफ़ सिद्धांत

उत्तर: L = 11

यूलर, हैमिल्टन और वृक्ष: संबद्ध ग्राफ़ में यूलर परिपथ (हर कोर एक बार, शुरुआत पर वापसी) तब होता है जब हर शीर्ष की घात सम हो, और परिपथ न होने वाला यूलर पथ तब जब ठीक दो शीर्षों की घात विषम हो; तब पथ एक विषम शीर्ष से दूसरे तक चलता है। हैमिल्टन परिपथ हर शीर्ष पर एक बार जाता है; Kn में ऐसे (n − 1)!/2 होते हैं। n शीर्षों वाले वृक्ष में n − 1 कोरें होती हैं, और m कोरों वाला संबद्ध ग्राफ़ m − n + 1 कोरें हटाने के बाद स्पैनिंग ट्री रखता है।

वृक्ष के लिए हैंडशेक लेमा

L + 19 = 2(L + 5) − 2
L = 11

उत्तर

L = 11

शॉर्टकट: L = 2 + Σ (d − 2), घात d ≥ 3 वाले शीर्षों पर।

6.ग्राफ़ सिद्धांत

उत्तर: d(F) = 18

सबसे छोटे पथ और स्पैनिंग ट्री: डाइक्स्ट्रा का एल्गोरिथ्म हर चक्र में एक शीर्ष निर्धारित करता है: सबसे छोटी अस्थायी दूरी वाला अनिर्धारित शीर्ष। तब उसकी दूरी अंतिम होती है, और हर पड़ोसी v को d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)) मिलता है। क्रुस्कल का एल्गोरिथ्म कोरों को हल्की से भारी की ओर लेकर और चक्र बनाने वाली हर कोर छोड़कर न्यूनतम स्पैनिंग ट्री बनाता है; प्रिम का एल्गोरिथ्म प्रारंभिक शीर्ष से एक वृक्ष बढ़ाता है और हमेशा उससे बाहर जाने वाली सबसे हल्की कोर जोड़ता है। n शीर्षों के स्पैनिंग ट्री में n − 1 कोरें होती हैं।

डाइक्स्ट्रा चक्र-दर-चक्र

हर पंक्ति: निर्धारित शीर्ष, उसकी अंतिम दूरी, और वे पड़ोसी जिनकी दूरी सुधरती है।

A (0): B: 11, C: 9
C (9): E: 17
B (11): D: 17
D (17): F: 18
E (17)
F (18)

सबसे छोटा पथ

A → B → D → F
d(F) = 18

उत्तर

d(F) = 18

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