डेटा संरचना और एल्गोरिदम: क्रैम पैक

सूत्र-पत्रक, हर विषय के मुख्य विधि-चरण और 6 अभ्यास प्रश्न, पूरे हल पीछे दिए गए हैं।

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1सूत्र और विधियाँ

ग्राफ़ सिद्धांत

हैंडशेक लेमा
Σ deg(v) = 2|E|
पूर्ण ग्राफ़
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
नियमित ग्राफ़
|E| = n·k/2
वृक्ष और वन
|E| = n − 1, |E| = n − c
वृक्ष के पत्ते
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
यूलर
परिपथ: सभी घात सम; पथ: ठीक 2 घात विषम
Kn में हैमिल्टन परिपथ
(n − 1)!/2
डाइक्स्ट्रा अद्यतन
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
लंबाई L की वॉक
(Mᴸ)ij

विधि

  1. हर शीर्ष की घात लिखें; घातों का योग कोरों की संख्या का दोगुना होता है।
  2. यूलर के प्रश्नों में जाँचें कि ग्राफ़ संबद्ध है और विषम घात वाले शीर्षों को गिनें।
  3. वृक्षों के लिए n − 1 कोरों और हैंडशेक लेमा का उपयोग करें।
  4. डाइक्स्ट्रा के लिए अस्थायी दूरियों की सारणी रखें और हर चक्र में सबसे छोटी दूरी वाले अनिर्धारित शीर्ष को निर्धारित करें।
  5. न्यूनतम स्पैनिंग ट्री के लिए कोरों को भार के अनुसार क्रमबद्ध करें और चक्र बनाने वाली हर कोर छोड़ दें (क्रुस्कल), या किसी प्रारंभिक शीर्ष से एक वृक्ष बढ़ाएँ (प्रिम)।

2अभ्यास प्रश्न

1.एल्गोरिदम और जटिलतामध्यम

कौन-सा सॉर्टिंग एल्गोरिदम स्थिर (stable) है?

  1. Aसेलेक्शन सॉर्ट (सामान्य संस्करण)
  2. Bहीप सॉर्ट
  3. Cमर्ज सॉर्ट
  4. Dक्विकसॉर्ट (सामान्य इन-प्लेस संस्करण)
2.एल्गोरिदम और जटिलताकठिन

सिंगली लिंक्ड लिस्ट पर बाइनरी सर्च O(log n) समय क्यों नहीं देती?

  1. Aलिंक्ड लिस्ट नोड पर तुलनाएँ धीमी होती हैं
  2. Bबीच के तत्व तक पहुँचने में O(n) चरण लगते हैं, क्योंकि सीधी इंडेक्स पहुँच नहीं है
  3. Cबाइनरी सर्च को कम से कम दोगुनी मेमोरी चाहिए
  4. Dलिंक्ड लिस्ट सॉर्ट नहीं की जा सकतीं
3.डेटा संरचनाएँमध्यम

एडजेसेंसी मैट्रिक्स से यह जाँचने में कितना समय लगता है कि किनारा (u, v) मौजूद है या नहीं?

  1. AO(V)
  2. BO(E)
  3. CO(1)
  4. DO(log V)
4.डेटा संरचनाएँकठिन

टोपोलॉजिकल सॉर्टिंग के लिए कान का एल्गोरिदम बार-बार in-degree 0 वाले शीर्ष हटाता है। उन शीर्षों को कौन-सी संरचना रखती है?

  1. Aसभी देखे गए किनारों का स्टैक
  2. Bout-degree के अनुसार क्रमित मैक्स-हीप
  3. Cएक एडजेसेंसी मैट्रिक्स जो दर्ज करे कि कौन-से शीर्ष पहले ही हटाए जा चुके हैं
  4. Din-degree 0 वाले शीर्षों की एक क्यू (या कोई भी संग्रह)
5.ग्राफ़ सिद्धांतमध्यम

पूर्ण ग्राफ़ K8 में कितने भिन्न हैमिल्टन परिपथ H हैं? जो परिपथ केवल प्रारंभिक शीर्ष या दिशा में भिन्न हों, उन्हें एक ही गिना जाता है।

K8
H =
6.ग्राफ़ सिद्धांतकठिन
ABCDEF

लंबाई 2 की कितनी बंद वॉक C से शुरू और समाप्त होती हैं? वॉक में शीर्ष और कोरें दोहराई जा सकती हैं। संख्या को N कहें।

M = संलग्नता आव्यूहL = 2
N =

3विलयन

1.एल्गोरिदम और जटिलता

उत्तर: C · मर्ज सॉर्ट

यह उत्तर क्यों है

मर्ज सॉर्ट स्थिर होता है जब बराबरी की स्थिति में मर्ज करते समय पहले बाएँ आधे से तत्व लिया जाए। इन-प्लेस क्विकसॉर्ट, हीप सॉर्ट और सेलेक्शन सॉर्ट आमतौर पर स्थिर नहीं होते।

उत्तर

C · मर्ज सॉर्ट
2.एल्गोरिदम और जटिलता

उत्तर: B · बीच के तत्व तक पहुँचने में O(n) चरण लगते हैं, क्योंकि सीधी इंडेक्स पहुँच नहीं है

यह उत्तर क्यों है

बाइनरी सर्च को बीच के तत्व तक O(1) पहुँच चाहिए; लिंक्ड लिस्ट पर वहाँ तक चलने में रैखिक समय लगता है, इसलिए कुल O(n) है।

उत्तर

B · बीच के तत्व तक पहुँचने में O(n) चरण लगते हैं, क्योंकि सीधी इंडेक्स पहुँच नहीं है
3.डेटा संरचनाएँ

उत्तर: C · O(1)

यह उत्तर क्यों है

पंक्ति u, स्तंभ v की मैट्रिक्स प्रविष्टि तुरंत बताती है कि किनारा मौजूद है या नहीं; एडजेसेंसी लिस्ट में u के पड़ोसियों को स्कैन करना पड़ सकता है।

उत्तर

C · O(1)
4.डेटा संरचनाएँ

उत्तर: D · in-degree 0 वाले शीर्षों की एक क्यू (या कोई भी संग्रह)

यह उत्तर क्यों है

तैयार शीर्ष एक क्यू में रखे जाते हैं; एक को हटाने से उसके पड़ोसियों की in-degree घटती है, और जो 0 तक पहुँचें उन्हें जोड़ दिया जाता है, जिससे O(V + E) समय मिलता है।

उत्तर

D · in-degree 0 वाले शीर्षों की एक क्यू (या कोई भी संग्रह)
5.ग्राफ़ सिद्धांत

उत्तर: H = 2520

यूलर, हैमिल्टन और वृक्ष: संबद्ध ग्राफ़ में यूलर परिपथ (हर कोर एक बार, शुरुआत पर वापसी) तब होता है जब हर शीर्ष की घात सम हो, और परिपथ न होने वाला यूलर पथ तब जब ठीक दो शीर्षों की घात विषम हो; तब पथ एक विषम शीर्ष से दूसरे तक चलता है। हैमिल्टन परिपथ हर शीर्ष पर एक बार जाता है; Kn में ऐसे (n − 1)!/2 होते हैं। n शीर्षों वाले वृक्ष में n − 1 कोरें होती हैं, और m कोरों वाला संबद्ध ग्राफ़ m − n + 1 कोरें हटाने के बाद स्पैनिंग ट्री रखता है।

गिनें

H = (8 − 1)!/2 = 5040/2 = 2520

उत्तर

H = 2520
6.ग्राफ़ सिद्धांत

उत्तर: N = 3

घात: किसी शीर्ष की घात उससे मिलने वाली कोरों की संख्या है। हर कोर के दो सिरे होते हैं, इसलिए घातों का योग कोरों की संख्या का दोगुना होता है: Σ deg(v) = 2|E| (हैंडशेक लेमा)। अतः विषम घात वाले शीर्षों की संख्या सम होती है। Kn में n(n − 1)/2 कोरें होती हैं, n शीर्षों पर k-नियमित ग्राफ़ में nk/2, और n शीर्षों वाले वृक्ष में n − 1 कोरें।

संलग्नता आव्यूह

A: 0 1 1 0 0 0
B: 1 0 1 1 1 0
C: 1 1 0 0 1 0
D: 0 1 0 0 0 1
E: 0 1 1 0 0 0
F: 0 0 0 1 0 0

उभयनिष्ठ पड़ोसी

(M²)CC = 1·1 + 1·1 + 0·0 + 0·0 + 1·1 + 0·0 = 3

उत्तर

N = 3

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