डेटा संरचना और एल्गोरिदम: क्रैम पैक

सूत्र-पत्रक, हर विषय के मुख्य विधि-चरण और 6 अभ्यास प्रश्न, पूरे हल पीछे दिए गए हैं।

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1सूत्र और विधियाँ

ग्राफ़ सिद्धांत

हैंडशेक लेमा
Σ deg(v) = 2|E|
पूर्ण ग्राफ़
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
नियमित ग्राफ़
|E| = n·k/2
वृक्ष और वन
|E| = n − 1, |E| = n − c
वृक्ष के पत्ते
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
यूलर
परिपथ: सभी घात सम; पथ: ठीक 2 घात विषम
Kn में हैमिल्टन परिपथ
(n − 1)!/2
डाइक्स्ट्रा अद्यतन
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
लंबाई L की वॉक
(Mᴸ)ij

विधि

  1. हर शीर्ष की घात लिखें; घातों का योग कोरों की संख्या का दोगुना होता है।
  2. यूलर के प्रश्नों में जाँचें कि ग्राफ़ संबद्ध है और विषम घात वाले शीर्षों को गिनें।
  3. वृक्षों के लिए n − 1 कोरों और हैंडशेक लेमा का उपयोग करें।
  4. डाइक्स्ट्रा के लिए अस्थायी दूरियों की सारणी रखें और हर चक्र में सबसे छोटी दूरी वाले अनिर्धारित शीर्ष को निर्धारित करें।
  5. न्यूनतम स्पैनिंग ट्री के लिए कोरों को भार के अनुसार क्रमबद्ध करें और चक्र बनाने वाली हर कोर छोड़ दें (क्रुस्कल), या किसी प्रारंभिक शीर्ष से एक वृक्ष बढ़ाएँ (प्रिम)।

2अभ्यास प्रश्न

1.एल्गोरिदम और जटिलतामध्यम

बॉटम-अप तालिका से n-वीं फ़िबोनाची संख्या की गणना की टाइम कॉम्प्लेक्सिटी क्या है?

  1. AO(n)
  2. BO(n²)
  3. CO(2ⁿ)
  4. DO(log n)
2.एल्गोरिदम और जटिलताकठिन

डायनेमिक प्रोग्रामिंग से हल की गई 0/1 नैपसैक (knapsack) समस्या में O(nW) समय लगता है। इसे स्यूडो-पॉलिनोमियल (pseudo-polynomial) क्यों कहा जाता है?

  1. AW एक संख्या है, इसलिए समय W को लिखने में प्रयुक्त बिट्स की संख्या में घातांकी है
  2. Bक्योंकि एल्गोरिदम यादृच्छिक (randomised) है और उसका रनिंग टाइम हर इनपुट के साथ बदलता है
  3. Cक्योंकि यह केवल W = 0 के लिए काम करता है
  4. Dक्योंकि n हमेशा छोटा होता है
3.डेटा संरचनाएँमध्यम

अनडायरेक्टेड ग्राफ़ के एडजेसेंसी मैट्रिक्स के बारे में क्या सत्य है?

  1. Aयह मुख्य विकर्ण के सापेक्ष सममित है
  2. Bइसके मुख्य विकर्ण में हमेशा 1 होते हैं
  3. Cहर पंक्ति में ठीक एक 1 होता है
  4. Dयह हमेशा ऊपरी त्रिकोणीय होता है
4.डेटा संरचनाएँकठिन

डेटाबेस और फ़ाइल सिस्टम में B-ट्री का उपयोग क्यों किया जाता है?

  1. Aउनका उच्च ब्रांचिंग फ़ैक्टर ट्री को उथला रखता है, जिससे धीमी डिस्क रीड कम होती हैं
  2. Bवे किसी भी ऐरे से कम मेमोरी लेते हैं, इसलिए पूरा इंडेक्स हमेशा मुख्य मेमोरी में समा जाता है
  3. Cवे डेटा को अक्रमबद्ध संग्रहीत करते हैं
  4. Dउन्हें पुनर्संतुलन की आवश्यकता नहीं होती
5.ग्राफ़ सिद्धांतमध्यम

एक संबद्ध ग्राफ़ में 9 शीर्ष और 10 कोरें हैं। स्पैनिंग ट्री बचाने के लिए कितनी कोरें k हटानी होंगी?

|V| = 9|E| = 10
k =
6.ग्राफ़ सिद्धांतकठिन
101012121158747ABCDEFG

भारित ग्राफ़ में A से F तक के सबसे छोटे पथ की लंबाई d(F) डाइक्स्ट्रा के एल्गोरिथ्म से ज्ञात करें।

प्रारंभ: Aअंत: F
d(F) =

3विलयन

1.एल्गोरिदम और जटिलता

उत्तर: A · O(n)

यह उत्तर क्यों है

0 से n तक तालिका भरने में प्रति प्रविष्टि एक जोड़ लगता है, इसलिए कार्य घातांकी के बजाय रैखिक है।

उत्तर

A · O(n)
2.एल्गोरिदम और जटिलता

उत्तर: A · W एक संख्या है, इसलिए समय W को लिखने में प्रयुक्त बिट्स की संख्या में घातांकी है

यह उत्तर क्यों है

रनिंग टाइम W के मान में बहुपद है लेकिन उसकी लंबाई (log W बिट्स) में घातांकी है; 0/1 नैपसैक NP-complete है।

उत्तर

A · W एक संख्या है, इसलिए समय W को लिखने में प्रयुक्त बिट्स की संख्या में घातांकी है
3.डेटा संरचनाएँ

उत्तर: A · यह मुख्य विकर्ण के सापेक्ष सममित है

यह उत्तर क्यों है

अनडायरेक्टेड ग्राफ़ में किनारा {u, v} का अर्थ है कि M[u][v] और M[v][u] दोनों सेट हैं, इसलिए मैट्रिक्स अपने ट्रांसपोज़ के बराबर है।

उत्तर

A · यह मुख्य विकर्ण के सापेक्ष सममित है
4.डेटा संरचनाएँ

उत्तर: A · उनका उच्च ब्रांचिंग फ़ैक्टर ट्री को उथला रखता है, जिससे धीमी डिस्क रीड कम होती हैं

यह उत्तर क्यों है

B-ट्री प्रति नोड कई कुंजियाँ रखते हैं, इसलिए ऊँचाई कम होती है और प्रति लुकअप कम ब्लॉक रीड चाहिए; B+ ट्री रेंज स्कैन के लिए पत्तियों को भी जोड़ते हैं।

उत्तर

A · उनका उच्च ब्रांचिंग फ़ैक्टर ट्री को उथला रखता है, जिससे धीमी डिस्क रीड कम होती हैं
5.ग्राफ़ सिद्धांत

उत्तर: k = 2

यूलर, हैमिल्टन और वृक्ष: संबद्ध ग्राफ़ में यूलर परिपथ (हर कोर एक बार, शुरुआत पर वापसी) तब होता है जब हर शीर्ष की घात सम हो, और परिपथ न होने वाला यूलर पथ तब जब ठीक दो शीर्षों की घात विषम हो; तब पथ एक विषम शीर्ष से दूसरे तक चलता है। हैमिल्टन परिपथ हर शीर्ष पर एक बार जाता है; Kn में ऐसे (n − 1)!/2 होते हैं। n शीर्षों वाले वृक्ष में n − 1 कोरें होती हैं, और m कोरों वाला संबद्ध ग्राफ़ m − n + 1 कोरें हटाने के बाद स्पैनिंग ट्री रखता है।

स्पैनिंग ट्री की कोरें

9 − 1 = 8

हटाई जाने वाली कोरें

k = 10 − 8 = 2

उत्तर

k = 2
6.ग्राफ़ सिद्धांत

उत्तर: d(F) = 36

सबसे छोटे पथ और स्पैनिंग ट्री: डाइक्स्ट्रा का एल्गोरिथ्म हर चक्र में एक शीर्ष निर्धारित करता है: सबसे छोटी अस्थायी दूरी वाला अनिर्धारित शीर्ष। तब उसकी दूरी अंतिम होती है, और हर पड़ोसी v को d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)) मिलता है। क्रुस्कल का एल्गोरिथ्म कोरों को हल्की से भारी की ओर लेकर और चक्र बनाने वाली हर कोर छोड़कर न्यूनतम स्पैनिंग ट्री बनाता है; प्रिम का एल्गोरिथ्म प्रारंभिक शीर्ष से एक वृक्ष बढ़ाता है और हमेशा उससे बाहर जाने वाली सबसे हल्की कोर जोड़ता है। n शीर्षों के स्पैनिंग ट्री में n − 1 कोरें होती हैं।

डाइक्स्ट्रा चक्र-दर-चक्र

हर पंक्ति: निर्धारित शीर्ष, उसकी अंतिम दूरी, और वे पड़ोसी जिनकी दूरी सुधरती है।

A (0): B: 10, C: 10
B (10): D: 22, G: 18
C (10): E: 11, G: 17
E (11)
G (17): D: 21
D (21): F: 36
F (36)

सबसे छोटा पथ

A → C → G → D → F
d(F) = 36

उत्तर

d(F) = 36

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