डेटा संरचना और एल्गोरिदम: क्रैम पैक

सूत्र-पत्रक, हर विषय के मुख्य विधि-चरण और 6 अभ्यास प्रश्न, पूरे हल पीछे दिए गए हैं।

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1सूत्र और विधियाँ

ग्राफ़ सिद्धांत

हैंडशेक लेमा
Σ deg(v) = 2|E|
पूर्ण ग्राफ़
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
नियमित ग्राफ़
|E| = n·k/2
वृक्ष और वन
|E| = n − 1, |E| = n − c
वृक्ष के पत्ते
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
यूलर
परिपथ: सभी घात सम; पथ: ठीक 2 घात विषम
Kn में हैमिल्टन परिपथ
(n − 1)!/2
डाइक्स्ट्रा अद्यतन
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
लंबाई L की वॉक
(Mᴸ)ij

विधि

  1. हर शीर्ष की घात लिखें; घातों का योग कोरों की संख्या का दोगुना होता है।
  2. यूलर के प्रश्नों में जाँचें कि ग्राफ़ संबद्ध है और विषम घात वाले शीर्षों को गिनें।
  3. वृक्षों के लिए n − 1 कोरों और हैंडशेक लेमा का उपयोग करें।
  4. डाइक्स्ट्रा के लिए अस्थायी दूरियों की सारणी रखें और हर चक्र में सबसे छोटी दूरी वाले अनिर्धारित शीर्ष को निर्धारित करें।
  5. न्यूनतम स्पैनिंग ट्री के लिए कोरों को भार के अनुसार क्रमबद्ध करें और चक्र बनाने वाली हर कोर छोड़ दें (क्रुस्कल), या किसी प्रारंभिक शीर्ष से एक वृक्ष बढ़ाएँ (प्रिम)।

2अभ्यास प्रश्न

1.एल्गोरिदम और जटिलतामध्यम

आधार k में d अंकों वाले n पूर्णांकों पर LSD रेडिक्स सॉर्ट का रनिंग टाइम क्या है?

  1. AO(n²)
  2. BO(n log n)
  3. CO(d(n + k))
  4. DO(dn log k)
2.एल्गोरिदम और जटिलताकठिन

सबसे छोटे सरल पथ बहुपदी समय में खोजे जा सकते हैं। सामान्य ग्राफ़ में दो शीर्षों के बीच सबसे लंबा सरल पथ खोजने के बारे में क्या ज्ञात है?

  1. Aयह अनिर्णेय है
  2. Bयह हमेशा O(V + E) में हल होता है
  3. Cइसे ऋणात्मक भारों के साथ डाइकस्ट्रा के एल्गोरिदम से हल किया जा सकता है
  4. Dयह NP-hard है
3.डेटा संरचनाएँमध्यम

डेप्थ-फ़र्स्ट सर्च (पुनरावृत्त संस्करण) किस डेटा संरचना का उपयोग करती है?

  1. Aस्टैक
  2. Bक्यू
  3. Cकेवल हैश टेबल
  4. Dहीप
4.डेटा संरचनाएँकठिन

ब्लूम फ़िल्टर "क्या यह तत्व सेट में है?" का उत्तर किस प्रकार देता है?

  1. Aसंभावित फ़ॉल्स नेगेटिव के साथ, लेकिन कोई फ़ॉल्स पॉज़िटिव नहीं
  2. Bहमेशा सटीक उत्तर
  3. Cकेवल संख्याओं के लिए उत्तर
  4. Dसंभावित फ़ॉल्स पॉज़िटिव के साथ, लेकिन कोई फ़ॉल्स नेगेटिव नहीं
5.ग्राफ़ सिद्धांतमध्यम
ABCDEFयूलर परिपथयूलर पथ, परिपथ नहींदोनों में से कुछ नहीं

क्या संबद्ध ग्राफ़ में यूलर परिपथ है, परिपथ न होने वाला यूलर पथ है, या दोनों में से कुछ नहीं? अपना उत्तर क्लिक करें।

|V| = 6|E| = 7
  1. 1यूलर परिपथ
  2. 2यूलर पथ, परिपथ नहीं
  3. 3दोनों में से कुछ नहीं
6.ग्राफ़ सिद्धांतकठिन
891491151155ABCDEFG

डाइक्स्ट्रा का एल्गोरिथ्म A से चलता है। उस शीर्ष पर क्लिक करें जो चक्र 3 में निर्धारित (स्थायी) होता है; A स्वयं चक्र 1 है।

प्रारंभ: Aचक्र 3
  1. 1A
  2. 2B
  3. 3C
  4. 4D
  5. 5E
  6. 6F
  7. 7G

3विलयन

1.एल्गोरिदम और जटिलता

उत्तर: C · O(d(n + k))

यह उत्तर क्यों है

d पासों में से हर एक O(n + k) लागत वाला काउंटिंग सॉर्ट है, इसलिए निश्चित d और k के लिए कुल n में रैखिक है।

उत्तर

C · O(d(n + k))
2.एल्गोरिदम और जटिलता

उत्तर: D · यह NP-hard है

यह उत्तर क्यों है

V − 1 लंबाई का सबसे लंबा सरल पथ एक हैमिल्टोनियन पथ है, जो NP-complete समस्या है; परंतु डायरेक्टेड एसाइक्लिक ग्राफ़ पर यह रैखिक समय में हल होता है।

उत्तर

D · यह NP-hard है
3.डेटा संरचनाएँ

उत्तर: A · स्टैक

यह उत्तर क्यों है

DFS जितना संभव हो उतना गहराई तक जाती है, इसलिए स्वाभाविक रूप से स्टैक (या रिकर्शन का कॉल स्टैक) का उपयोग करती है; BFS क्यू का उपयोग करती है।

उत्तर

A · स्टैक
4.डेटा संरचनाएँ

उत्तर: D · संभावित फ़ॉल्स पॉज़िटिव के साथ, लेकिन कोई फ़ॉल्स नेगेटिव नहीं

यह उत्तर क्यों है

यदि किसी तत्व का कोई भी बिट 0 है, तो वह निश्चित रूप से अनुपस्थित है; यदि सभी 1 हैं, तो वह संभवतः मौजूद है। ब्लूम फ़िल्टर बहुत कम मेमोरी के बदले सटीकता का त्याग करते हैं।

उत्तर

D · संभावित फ़ॉल्स पॉज़िटिव के साथ, लेकिन कोई फ़ॉल्स नेगेटिव नहीं
5.ग्राफ़ सिद्धांत

उत्तर: दोनों में से कुछ नहीं

यूलर, हैमिल्टन और वृक्ष: संबद्ध ग्राफ़ में यूलर परिपथ (हर कोर एक बार, शुरुआत पर वापसी) तब होता है जब हर शीर्ष की घात सम हो, और परिपथ न होने वाला यूलर पथ तब जब ठीक दो शीर्षों की घात विषम हो; तब पथ एक विषम शीर्ष से दूसरे तक चलता है। हैमिल्टन परिपथ हर शीर्ष पर एक बार जाता है; Kn में ऐसे (n − 1)!/2 होते हैं। n शीर्षों वाले वृक्ष में n − 1 कोरें होती हैं, और m कोरों वाला संबद्ध ग्राफ़ m − n + 1 कोरें हटाने के बाद स्पैनिंग ट्री रखता है।

घात

deg(A) = 1, deg(B) = 2, deg(C) = 3, deg(D) = 3, deg(E) = 3, deg(F) = 2

विषम शीर्ष

A, C, D, E → 4
दोनों में से कुछ नहीं

उत्तर

दोनों में से कुछ नहीं
6.ग्राफ़ सिद्धांत

उत्तर: C

सबसे छोटे पथ और स्पैनिंग ट्री: डाइक्स्ट्रा का एल्गोरिथ्म हर चक्र में एक शीर्ष निर्धारित करता है: सबसे छोटी अस्थायी दूरी वाला अनिर्धारित शीर्ष। तब उसकी दूरी अंतिम होती है, और हर पड़ोसी v को d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)) मिलता है। क्रुस्कल का एल्गोरिथ्म कोरों को हल्की से भारी की ओर लेकर और चक्र बनाने वाली हर कोर छोड़कर न्यूनतम स्पैनिंग ट्री बनाता है; प्रिम का एल्गोरिथ्म प्रारंभिक शीर्ष से एक वृक्ष बढ़ाता है और हमेशा उससे बाहर जाने वाली सबसे हल्की कोर जोड़ता है। n शीर्षों के स्पैनिंग ट्री में n − 1 कोरें होती हैं।

डाइक्स्ट्रा चक्र-दर-चक्र

1. A (0): B: 8, C: 9
2. B (8): D: 22, G: 23
3. C (9): G: 20
4. G (20): E: 25
5. D (22)
6. E (25): F: 26
7. F (26)

चक्र 3

C

उत्तर

C

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