डेटा संरचना और एल्गोरिदम: क्रैम पैक

सूत्र-पत्रक, हर विषय के मुख्य विधि-चरण और 6 अभ्यास प्रश्न, पूरे हल पीछे दिए गए हैं।

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1सूत्र और विधियाँ

ग्राफ़ सिद्धांत

हैंडशेक लेमा
Σ deg(v) = 2|E|
पूर्ण ग्राफ़
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
नियमित ग्राफ़
|E| = n·k/2
वृक्ष और वन
|E| = n − 1, |E| = n − c
वृक्ष के पत्ते
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
यूलर
परिपथ: सभी घात सम; पथ: ठीक 2 घात विषम
Kn में हैमिल्टन परिपथ
(n − 1)!/2
डाइक्स्ट्रा अद्यतन
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
लंबाई L की वॉक
(Mᴸ)ij

विधि

  1. हर शीर्ष की घात लिखें; घातों का योग कोरों की संख्या का दोगुना होता है।
  2. यूलर के प्रश्नों में जाँचें कि ग्राफ़ संबद्ध है और विषम घात वाले शीर्षों को गिनें।
  3. वृक्षों के लिए n − 1 कोरों और हैंडशेक लेमा का उपयोग करें।
  4. डाइक्स्ट्रा के लिए अस्थायी दूरियों की सारणी रखें और हर चक्र में सबसे छोटी दूरी वाले अनिर्धारित शीर्ष को निर्धारित करें।
  5. न्यूनतम स्पैनिंग ट्री के लिए कोरों को भार के अनुसार क्रमबद्ध करें और चक्र बनाने वाली हर कोर छोड़ दें (क्रुस्कल), या किसी प्रारंभिक शीर्ष से एक वृक्ष बढ़ाएँ (प्रिम)।

2अभ्यास प्रश्न

1.एल्गोरिदम और जटिलतामध्यम

एक सरल रिकर्सिव फ़ैक्टोरियल फ़ंक्शन fact(n) = n × fact(n − 1) कितना स्टैक स्पेस उपयोग करता है?

  1. AO(n)
  2. BO(log n)
  3. CO(1)
  4. DO(n²)
2.एल्गोरिदम और जटिलताकठिन

P और NP के बारे में कौन-सा कथन सही है?

  1. ANP समस्याओं को जल्दी सत्यापित नहीं किया जा सकता
  2. BNP का अर्थ है "not polynomial"
  3. Cयह सिद्ध हो चुका है कि P ≠ NP
  4. DP की हर समस्या NP में भी है
3.डेटा संरचनाएँमध्यम

AVL ट्री और रेड-ब्लैक ट्री किस बात की गारंटी देते हैं?

  1. Aपुनर्संतुलन द्वारा O(log n) ऊँचाई
  2. Bकिसी भी नोड के दो चाइल्ड नहीं होते
  3. Cकुंजियाँ इंसर्शन के क्रम में संग्रहीत होती हैं
  4. Dहर स्थिति में स्थिर समय में खोज
4.डेटा संरचनाएँकठिन

एक ऑब्जेक्ट हैश मैप में कुंजी के रूप में संग्रहीत है, और फिर उसके हैश फ़ंक्शन में प्रयुक्त एक फ़ील्ड बदल दिया जाता है। संभावित परिणाम क्या है?

  1. Aऑब्जेक्ट को खोजना विफल हो सकता है क्योंकि वह अपने पुराने हैश वाले बकेट में है
  2. Bकुछ नहीं बदलता, क्योंकि कुंजी का हैश केवल प्रोग्राम शुरू होने पर एक बार निकाला जाता है
  3. Cमैप अपने आप कुंजी को उसके नए बकेट में ले जाता है
  4. Dफ़ील्ड बदलते ही मैप त्रुटि फेंकता है
5.ग्राफ़ सिद्धांतमध्यम
ABCDEFयूलर परिपथयूलर पथ, परिपथ नहींदोनों में से कुछ नहीं

क्या संबद्ध ग्राफ़ में यूलर परिपथ है, परिपथ न होने वाला यूलर पथ है, या दोनों में से कुछ नहीं? अपना उत्तर क्लिक करें।

|V| = 6|E| = 6
  1. 1यूलर परिपथ
  2. 2यूलर पथ, परिपथ नहीं
  3. 3दोनों में से कुछ नहीं
6.ग्राफ़ सिद्धांतकठिन
ABCDEF

लंबाई 3 की कितनी वॉक A से C तक जाती हैं? वॉक में शीर्ष और कोरें दोहराई जा सकती हैं। संख्या को N कहें।

M = संलग्नता आव्यूहL = 3
N =

3विलयन

1.एल्गोरिदम और जटिलता

उत्तर: A · O(n)

यह उत्तर क्यों है

कोई भी कॉल लौटने से पहले रिकर्शन n कॉल गहरा होता है, और हर कॉल को एक स्टैक फ़्रेम चाहिए, इसलिए यह O(n) स्पेस लेता है।

उत्तर

A · O(n)
2.एल्गोरिदम और जटिलता

उत्तर: D · P की हर समस्या NP में भी है

यह उत्तर क्यों है

P ⊆ NP: यदि आप किसी समस्या को जल्दी हल कर सकते हैं, तो आप समाधान को भी जल्दी सत्यापित कर सकते हैं। P = NP है या नहीं, यह अभी भी खुला प्रश्न है।

उत्तर

D · P की हर समस्या NP में भी है
3.डेटा संरचनाएँ

उत्तर: A · पुनर्संतुलन द्वारा O(log n) ऊँचाई

यह उत्तर क्यों है

स्व-संतुलित ट्री ऊँचाई को लघुगणकीय बनाए रखते हैं, इसलिए खोज, इंसर्ट और डिलीट सबसे खराब स्थिति में O(log n) होते हैं।

उत्तर

A · पुनर्संतुलन द्वारा O(log n) ऊँचाई
4.डेटा संरचनाएँ

उत्तर: A · ऑब्जेक्ट को खोजना विफल हो सकता है क्योंकि वह अपने पुराने हैश वाले बकेट में है

यह उत्तर क्यों है

कुंजी का स्थान उसके पुराने हैश से चुना गया था; नए हैश से खोज ग़लत बकेट में होती है, इसलिए कुंजियाँ अपरिवर्तनीय (immutable) होनी चाहिए।

उत्तर

A · ऑब्जेक्ट को खोजना विफल हो सकता है क्योंकि वह अपने पुराने हैश वाले बकेट में है
5.ग्राफ़ सिद्धांत

उत्तर: यूलर परिपथ

यूलर, हैमिल्टन और वृक्ष: संबद्ध ग्राफ़ में यूलर परिपथ (हर कोर एक बार, शुरुआत पर वापसी) तब होता है जब हर शीर्ष की घात सम हो, और परिपथ न होने वाला यूलर पथ तब जब ठीक दो शीर्षों की घात विषम हो; तब पथ एक विषम शीर्ष से दूसरे तक चलता है। हैमिल्टन परिपथ हर शीर्ष पर एक बार जाता है; Kn में ऐसे (n − 1)!/2 होते हैं। n शीर्षों वाले वृक्ष में n − 1 कोरें होती हैं, और m कोरों वाला संबद्ध ग्राफ़ m − n + 1 कोरें हटाने के बाद स्पैनिंग ट्री रखता है।

घात

deg(A) = 2, deg(B) = 2, deg(C) = 2, deg(D) = 2, deg(E) = 2, deg(F) = 2

विषम शीर्ष

0
यूलर परिपथ

उत्तर

यूलर परिपथ
6.ग्राफ़ सिद्धांत

उत्तर: N = 3

घात: किसी शीर्ष की घात उससे मिलने वाली कोरों की संख्या है। हर कोर के दो सिरे होते हैं, इसलिए घातों का योग कोरों की संख्या का दोगुना होता है: Σ deg(v) = 2|E| (हैंडशेक लेमा)। अतः विषम घात वाले शीर्षों की संख्या सम होती है। Kn में n(n − 1)/2 कोरें होती हैं, n शीर्षों पर k-नियमित ग्राफ़ में nk/2, और n शीर्षों वाले वृक्ष में n − 1 कोरें।

संलग्नता आव्यूह

A: 0 0 1 0 0 0
B: 0 0 1 0 1 0
C: 1 1 0 0 1 0
D: 0 0 0 0 1 1
E: 0 1 1 1 0 1
F: 0 0 0 1 1 0

एक कदम और

(M³)AC = 1·1 + 1·1 + 0·0 + 0·0 + 1·1 + 0·0 = 3

उत्तर

N = 3

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