डेटा संरचना और एल्गोरिदम: क्रैम पैक

सूत्र-पत्रक, हर विषय के मुख्य विधि-चरण और 6 अभ्यास प्रश्न, पूरे हल पीछे दिए गए हैं।

नए प्रश्नकोर्स पर वापस जाएँ

प्रिंट विंडो में “PDF के रूप में सहेजें” चुनें, ताकि एक प्रति आपके डिवाइस पर रहे।

1सूत्र और विधियाँ

ग्राफ़ सिद्धांत

हैंडशेक लेमा
Σ deg(v) = 2|E|
पूर्ण ग्राफ़
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
नियमित ग्राफ़
|E| = n·k/2
वृक्ष और वन
|E| = n − 1, |E| = n − c
वृक्ष के पत्ते
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
यूलर
परिपथ: सभी घात सम; पथ: ठीक 2 घात विषम
Kn में हैमिल्टन परिपथ
(n − 1)!/2
डाइक्स्ट्रा अद्यतन
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
लंबाई L की वॉक
(Mᴸ)ij

विधि

  1. हर शीर्ष की घात लिखें; घातों का योग कोरों की संख्या का दोगुना होता है।
  2. यूलर के प्रश्नों में जाँचें कि ग्राफ़ संबद्ध है और विषम घात वाले शीर्षों को गिनें।
  3. वृक्षों के लिए n − 1 कोरों और हैंडशेक लेमा का उपयोग करें।
  4. डाइक्स्ट्रा के लिए अस्थायी दूरियों की सारणी रखें और हर चक्र में सबसे छोटी दूरी वाले अनिर्धारित शीर्ष को निर्धारित करें।
  5. न्यूनतम स्पैनिंग ट्री के लिए कोरों को भार के अनुसार क्रमबद्ध करें और चक्र बनाने वाली हर कोर छोड़ दें (क्रुस्कल), या किसी प्रारंभिक शीर्ष से एक वृक्ष बढ़ाएँ (प्रिम)।

2अभ्यास प्रश्न

1.एल्गोरिदम और जटिलतामध्यम

एमॉर्टाइज़्ड विश्लेषण (amortised analysis) क्या मापता है?

  1. Aसबसे अच्छे इनपुट पर एल्गोरिदम की लागत
  2. Bयादृच्छिक इनपुट पर अपेक्षित लागत
  3. Cपूरे अनुक्रम में कहीं भी अकेले सबसे महँगे ऑपरेशन की लागत
  4. Dऑपरेशनों के वर्स्ट-केस अनुक्रम पर प्रति ऑपरेशन औसत लागत
2.एल्गोरिदम और जटिलताकठिन

log(n!) के लिए कौन-सी सीमा सही है?

  1. AΘ(n log n)
  2. BΘ(n)
  3. CΘ(log n)
  4. DΘ(n²)
3.डेटा संरचनाएँमध्यम

बाइनरी हीप में नया तत्व कैसे डाला जाता है?

  1. Aउसे रूट पर रखें और नीचे sift करें
  2. Bसभी बड़े तत्वों को एक स्थान दाएँ खिसकाकर उसे उसकी सॉर्टेड स्थिति में डालें
  3. Cपूरे हीप को फिर से शुरू से बनाएँ
  4. Dउसे ऐरे के अंत में रखें और जब तक वह हीप गुण का उल्लंघन करे, ऊपर sift करें
4.डेटा संरचनाएँकठिन

कौन-सी डेटा संरचना O(1) get और put के साथ LRU (least recently used) कैश को सपोर्ट करती है?

  1. Aएक अकेला क्रमबद्ध ऐरे
  2. Bडबली लिंक्ड लिस्ट के साथ संयुक्त हैश मैप
  3. Cकेवल बाइनरी सर्च ट्री
  4. Dकेवल स्टैक
5.ग्राफ़ सिद्धांतमध्यम

एक वृक्ष में घात 3 वाले 3 शीर्ष, घात 4 वाले 4 शीर्ष, घात 2 वाले 3 शीर्ष है, और उसके बाकी सभी शीर्ष पत्ते (घात 1) हैं। उसमें कितने पत्ते L हैं?

3 × deg 34 × deg 43 × deg 2
L =
6.ग्राफ़ सिद्धांतकठिन
ABCDE

लंबाई 3 की कितनी वॉक B से E तक जाती हैं? वॉक में शीर्ष और कोरें दोहराई जा सकती हैं। संख्या को N कहें।

M = संलग्नता आव्यूहL = 3
N =

3विलयन

1.एल्गोरिदम और जटिलता

उत्तर: D · ऑपरेशनों के वर्स्ट-केस अनुक्रम पर प्रति ऑपरेशन औसत लागत

यह उत्तर क्यों है

एमॉर्टाइज़्ड विश्लेषण दुर्लभ महँगे ऑपरेशनों की लागत को कई सस्ते ऑपरेशनों पर फैलाता है, जिससे किसी भी अनुक्रम के लिए गारंटीशुदा औसत मिलता है।

उत्तर

D · ऑपरेशनों के वर्स्ट-केस अनुक्रम पर प्रति ऑपरेशन औसत लागत
2.एल्गोरिदम और जटिलता

उत्तर: A · Θ(n log n)

यह उत्तर क्यों है

log(n!) ≤ n log n, और सबसे बड़े n / 2 गुणक log(n!) ≥ (n / 2) log(n / 2) देते हैं; इसीलिए तुलना-आधारित सॉर्टिंग को Ω(n log n) चाहिए।

उत्तर

A · Θ(n log n)
3.डेटा संरचनाएँ

उत्तर: D · उसे ऐरे के अंत में रखें और जब तक वह हीप गुण का उल्लंघन करे, ऊपर sift करें

यह उत्तर क्यों है

अंत में जोड़ने से ट्री पूर्ण रहता है; पैरेंट से स्वैप करना O(log n) चरणों में क्रम बहाल करता है।

उत्तर

D · उसे ऐरे के अंत में रखें और जब तक वह हीप गुण का उल्लंघन करे, ऊपर sift करें
4.डेटा संरचनाएँ

उत्तर: B · डबली लिंक्ड लिस्ट के साथ संयुक्त हैश मैप

यह उत्तर क्यों है

हैश मैप नोड्स को O(1) में खोजता है और डबली लिंक्ड लिस्ट उपयोग किए गए तत्वों को आगे ले जाती है तथा पीछे से O(1) में हटाती है।

उत्तर

B · डबली लिंक्ड लिस्ट के साथ संयुक्त हैश मैप
5.ग्राफ़ सिद्धांत

उत्तर: L = 13

यूलर, हैमिल्टन और वृक्ष: संबद्ध ग्राफ़ में यूलर परिपथ (हर कोर एक बार, शुरुआत पर वापसी) तब होता है जब हर शीर्ष की घात सम हो, और परिपथ न होने वाला यूलर पथ तब जब ठीक दो शीर्षों की घात विषम हो; तब पथ एक विषम शीर्ष से दूसरे तक चलता है। हैमिल्टन परिपथ हर शीर्ष पर एक बार जाता है; Kn में ऐसे (n − 1)!/2 होते हैं। n शीर्षों वाले वृक्ष में n − 1 कोरें होती हैं, और m कोरों वाला संबद्ध ग्राफ़ m − n + 1 कोरें हटाने के बाद स्पैनिंग ट्री रखता है।

वृक्ष के लिए हैंडशेक लेमा

L + 31 = 2(L + 10) − 2
L = 13

उत्तर

L = 13

शॉर्टकट: L = 2 + Σ (d − 2), घात d ≥ 3 वाले शीर्षों पर।

6.ग्राफ़ सिद्धांत

उत्तर: N = 6

घात: किसी शीर्ष की घात उससे मिलने वाली कोरों की संख्या है। हर कोर के दो सिरे होते हैं, इसलिए घातों का योग कोरों की संख्या का दोगुना होता है: Σ deg(v) = 2|E| (हैंडशेक लेमा)। अतः विषम घात वाले शीर्षों की संख्या सम होती है। Kn में n(n − 1)/2 कोरें होती हैं, n शीर्षों पर k-नियमित ग्राफ़ में nk/2, और n शीर्षों वाले वृक्ष में n − 1 कोरें।

संलग्नता आव्यूह

A: 0 1 1 0 0
B: 1 0 1 1 1
C: 1 1 0 0 1
D: 0 1 0 0 0
E: 0 1 1 0 0

एक कदम और

(M³)BE = 1·0 + 4·1 + 2·1 + 0·0 + 1·0 = 6

उत्तर

N = 6

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms