डेटा संरचना और एल्गोरिदम: क्रैम पैक

सूत्र-पत्रक, हर विषय के मुख्य विधि-चरण और 6 अभ्यास प्रश्न, पूरे हल पीछे दिए गए हैं।

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1सूत्र और विधियाँ

ग्राफ़ सिद्धांत

हैंडशेक लेमा
Σ deg(v) = 2|E|
पूर्ण ग्राफ़
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
नियमित ग्राफ़
|E| = n·k/2
वृक्ष और वन
|E| = n − 1, |E| = n − c
वृक्ष के पत्ते
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
यूलर
परिपथ: सभी घात सम; पथ: ठीक 2 घात विषम
Kn में हैमिल्टन परिपथ
(n − 1)!/2
डाइक्स्ट्रा अद्यतन
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
लंबाई L की वॉक
(Mᴸ)ij

विधि

  1. हर शीर्ष की घात लिखें; घातों का योग कोरों की संख्या का दोगुना होता है।
  2. यूलर के प्रश्नों में जाँचें कि ग्राफ़ संबद्ध है और विषम घात वाले शीर्षों को गिनें।
  3. वृक्षों के लिए n − 1 कोरों और हैंडशेक लेमा का उपयोग करें।
  4. डाइक्स्ट्रा के लिए अस्थायी दूरियों की सारणी रखें और हर चक्र में सबसे छोटी दूरी वाले अनिर्धारित शीर्ष को निर्धारित करें।
  5. न्यूनतम स्पैनिंग ट्री के लिए कोरों को भार के अनुसार क्रमबद्ध करें और चक्र बनाने वाली हर कोर छोड़ दें (क्रुस्कल), या किसी प्रारंभिक शीर्ष से एक वृक्ष बढ़ाएँ (प्रिम)।

2अभ्यास प्रश्न

1.एल्गोरिदम और जटिलतामध्यम

एक सरल रिकर्सिव फ़ैक्टोरियल फ़ंक्शन fact(n) = n × fact(n − 1) कितना स्टैक स्पेस उपयोग करता है?

  1. AO(n)
  2. BO(1)
  3. CO(log n)
  4. DO(n²)
2.एल्गोरिदम और जटिलताकठिन

करात्सुबा गुणन T(n) = 3T(n/2) + O(n) को संतुष्ट करता है। इसका हल क्या है?

  1. AΘ(n3)
  2. BΘ(nlog₂ 3), लगभग n1.585
  3. CΘ(n²)
  4. DΘ(n log n)
3.डेटा संरचनाएँमध्यम

संतुलित बाइनरी सर्च ट्री में किसी कुंजी को खोजने की समय जटिलता क्या है?

  1. AO(log n)
  2. BO(n log n)
  3. CO(n)
  4. DO(1)
4.डेटा संरचनाएँकठिन

डबल हैशिंग मुख्य रूप से लीनियर प्रोबिंग की कौन-सी समस्या घटाती है?

  1. Aकिसी कुंजी का मान पढ़ने की O(n) लागत
  2. Bप्राथमिक क्लस्टरिंग, जिसमें भरे स्लॉटों की लंबी शृंखलाएँ बनती हैं
  3. Cहैश फ़ंक्शन की आवश्यकता
  4. Dटेबल में कुंजियाँ संग्रहीत करने की आवश्यकता
5.ग्राफ़ सिद्धांतमध्यम

एक संबद्ध ग्राफ़ में 18 शीर्ष और 24 कोरें हैं। स्पैनिंग ट्री बचाने के लिए कितनी कोरें k हटानी होंगी?

|V| = 18|E| = 24
k =
6.ग्राफ़ सिद्धांतकठिन
5127103615653ABCDEFG

भारित ग्राफ़ में A से F तक के सबसे छोटे पथ की लंबाई d(F) डाइक्स्ट्रा के एल्गोरिथ्म से ज्ञात करें।

प्रारंभ: Aअंत: F
d(F) =

3विलयन

1.एल्गोरिदम और जटिलता

उत्तर: A · O(n)

यह उत्तर क्यों है

कोई भी कॉल लौटने से पहले रिकर्शन n कॉल गहरा होता है, और हर कॉल को एक स्टैक फ़्रेम चाहिए, इसलिए यह O(n) स्पेस लेता है।

उत्तर

A · O(n)
2.एल्गोरिदम और जटिलता

उत्तर: B · Θ(nlog₂ 3), लगभग n1.585

यह उत्तर क्यों है

चूँकि log₂ 3 ≈ 1.585 > 1, मास्टर प्रमेय से पत्तियाँ (leaves) प्रभावी होती हैं, जो O(n²) पारंपरिक विधि से बेहतर है।

उत्तर

B · Θ(nlog₂ 3), लगभग n1.585
3.डेटा संरचनाएँ

उत्तर: A · O(log n)

यह उत्तर क्यों है

संतुलित ट्री की ऊँचाई लगभग log₂ n होती है, इसलिए खोज रूट से पत्ती तक एक ही पथ का अनुसरण करती है।

उत्तर

A · O(log n)
4.डेटा संरचनाएँ

उत्तर: B · प्राथमिक क्लस्टरिंग, जिसमें भरे स्लॉटों की लंबी शृंखलाएँ बनती हैं

यह उत्तर क्यों है

लीनियर प्रोबिंग 1 के क़दम से चलती है, इसलिए भरी शृंखलाएँ बढ़ती और मिलती हैं; डबल हैशिंग क़दम के आकार के लिए दूसरा हैश उपयोग करती है ताकि अलग कुंजियाँ अलग अनुक्रम प्रोब करें।

उत्तर

B · प्राथमिक क्लस्टरिंग, जिसमें भरे स्लॉटों की लंबी शृंखलाएँ बनती हैं
5.ग्राफ़ सिद्धांत

उत्तर: k = 7

यूलर, हैमिल्टन और वृक्ष: संबद्ध ग्राफ़ में यूलर परिपथ (हर कोर एक बार, शुरुआत पर वापसी) तब होता है जब हर शीर्ष की घात सम हो, और परिपथ न होने वाला यूलर पथ तब जब ठीक दो शीर्षों की घात विषम हो; तब पथ एक विषम शीर्ष से दूसरे तक चलता है। हैमिल्टन परिपथ हर शीर्ष पर एक बार जाता है; Kn में ऐसे (n − 1)!/2 होते हैं। n शीर्षों वाले वृक्ष में n − 1 कोरें होती हैं, और m कोरों वाला संबद्ध ग्राफ़ m − n + 1 कोरें हटाने के बाद स्पैनिंग ट्री रखता है।

स्पैनिंग ट्री की कोरें

18 − 1 = 17

हटाई जाने वाली कोरें

k = 24 − 17 = 7

उत्तर

k = 7
6.ग्राफ़ सिद्धांत

उत्तर: d(F) = 21

सबसे छोटे पथ और स्पैनिंग ट्री: डाइक्स्ट्रा का एल्गोरिथ्म हर चक्र में एक शीर्ष निर्धारित करता है: सबसे छोटी अस्थायी दूरी वाला अनिर्धारित शीर्ष। तब उसकी दूरी अंतिम होती है, और हर पड़ोसी v को d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)) मिलता है। क्रुस्कल का एल्गोरिथ्म कोरों को हल्की से भारी की ओर लेकर और चक्र बनाने वाली हर कोर छोड़कर न्यूनतम स्पैनिंग ट्री बनाता है; प्रिम का एल्गोरिथ्म प्रारंभिक शीर्ष से एक वृक्ष बढ़ाता है और हमेशा उससे बाहर जाने वाली सबसे हल्की कोर जोड़ता है। n शीर्षों के स्पैनिंग ट्री में n − 1 कोरें होती हैं।

डाइक्स्ट्रा चक्र-दर-चक्र

हर पंक्ति: निर्धारित शीर्ष, उसकी अंतिम दूरी, और वे पड़ोसी जिनकी दूरी सुधरती है।

A (0): B: 5, C: 12
B (5): D: 15
C (12): E: 15, G: 17
D (15): F: 30
E (15): F: 21
G (17)
F (21)

सबसे छोटा पथ

A → C → E → F
d(F) = 21

उत्तर

d(F) = 21

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