डेटा संरचना और एल्गोरिदम: क्रैम पैक

सूत्र-पत्रक, हर विषय के मुख्य विधि-चरण और 6 अभ्यास प्रश्न, पूरे हल पीछे दिए गए हैं।

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1सूत्र और विधियाँ

ग्राफ़ सिद्धांत

हैंडशेक लेमा: Σ deg(v) = 2|E|
पूर्ण ग्राफ़: |E(K_n)| = n(n − 1)/2, |E(K_m,n)| = m·n
नियमित ग्राफ़: |E| = n·k/2
वृक्ष और वन: |E| = n − 1, |E| = n − c
वृक्ष के पत्ते: L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
यूलर: परिपथ: सभी घात सम; पथ: ठीक 2 घात विषम
K_n में हैमिल्टन परिपथ: (n − 1)!/2
डाइक्स्ट्रा अद्यतन: d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
लंबाई L की वॉक: (Mᴸ)_ij

विधि

हर शीर्ष की घात लिखें; घातों का योग कोरों की संख्या का दोगुना होता है।
यूलर के प्रश्नों में जाँचें कि ग्राफ़ संबद्ध है और विषम घात वाले शीर्षों को गिनें।
वृक्षों के लिए n − 1 कोरों और हैंडशेक लेमा का उपयोग करें।
डाइक्स्ट्रा के लिए अस्थायी दूरियों की सारणी रखें और हर चक्र में सबसे छोटी दूरी वाले अनिर्धारित शीर्ष को निर्धारित करें।
न्यूनतम स्पैनिंग ट्री के लिए कोरों को भार के अनुसार क्रमबद्ध करें और चक्र बनाने वाली हर कोर छोड़ दें (क्रुस्कल), या किसी प्रारंभिक शीर्ष से एक वृक्ष बढ़ाएँ (प्रिम)।

2अभ्यास प्रश्न

1.एल्गोरिदम और जटिलतामध्यम

n तत्वों के ऐरे के लिए मर्ज सॉर्ट के रिकर्शन में कितने स्तर होते हैं?

Aलगभग n
Bलगभग log₂ n
Cलगभग n / 2
Dलगभग √n

2.एल्गोरिदम और जटिलताकठिन

little-o नोटेशन के बारे में कौन-सा कथन सही है?

A2n = o(n), क्योंकि 2n धीरे बढ़ता है
Bn = o(n²), पर n, o(n) नहीं है
Cn = o(n), क्योंकि हर फलन स्वयं का little-o है
Dn² = o(n)

3.डेटा संरचनाएँमध्यम

आकार 7 की हैश टेबल h(k) = k mod 7 और लीनियर प्रोबिंग का उपयोग करती है। 10 डालने के बाद 17 कहाँ संग्रहीत होगा?

Aइंडेक्स 4
Bइंडेक्स 0
Cइंडेक्स 6
Dइंडेक्स 3

4.डेटा संरचनाएँकठिन

n तत्वों वाले बाइनरी मिन-हीप में किसी मनमानी कुंजी को खोजने में कितना समय लगता है?

AO(n)
BO(1)
CO(log n)
DO(log log n)

5.ग्राफ़ सिद्धांतमध्यम

एक संबद्ध ग्राफ़ में 13 शीर्ष और 20 कोरें हैं। स्पैनिंग ट्री बचाने के लिए कितनी कोरें k हटानी होंगी?

|V| = 13|E| = 20

k =

6.ग्राफ़ सिद्धांतकठिन

लंबाई 2 की कितनी बंद वॉक A से शुरू और समाप्त होती हैं? वॉक में शीर्ष और कोरें दोहराई जा सकती हैं। संख्या को N कहें।

M = संलग्नता आव्यूहL = 2

N =

3विलयन

1.एल्गोरिदम और जटिलता

उत्तर: B · लगभग log₂ n

यह उत्तर क्यों है

n से 1 तक आधा करते जाने में लगभग log₂ n स्तर लगते हैं, और हर स्तर O(n) मर्जिंग कार्य करता है, जिससे O(n log n) मिलता है।

उत्तर

B · लगभग log₂ n

2.एल्गोरिदम और जटिलता

उत्तर: B · n = o(n²), पर n, o(n) नहीं है

यह उत्तर क्यों है

f = o(g) का अर्थ है कि f(n) / g(n), 0 की ओर जाता है; n / n², 0 की ओर जाता है, पर n / n = 1 नहीं।

उत्तर

B · n = o(n²), पर n, o(n) नहीं है

3.डेटा संरचनाएँ

उत्तर: A · इंडेक्स 4

यह उत्तर क्यों है

10 mod 7 = 3 और 17 mod 7 = 3; इंडेक्स 3 भरा है, इसलिए लीनियर प्रोबिंग अगला स्लॉट, इंडेक्स 4, आज़माती है।

उत्तर

A · इंडेक्स 4

4.डेटा संरचनाएँ

उत्तर: A · O(n)

यह उत्तर क्यों है

हीप कोई नियम नहीं देता कि कौन-से सबट्री में कुंजी है, इसलिए वर्स्ट केस में सभी नोड जाँचने पड़ते हैं; केवल न्यूनतम तेज़ी से मिलता है।

उत्तर

A · O(n)

5.ग्राफ़ सिद्धांत

उत्तर: k = 8

यूलर, हैमिल्टन और वृक्ष: संबद्ध ग्राफ़ में यूलर परिपथ (हर कोर एक बार, शुरुआत पर वापसी) तब होता है जब हर शीर्ष की घात सम हो, और परिपथ न होने वाला यूलर पथ तब जब ठीक दो शीर्षों की घात विषम हो; तब पथ एक विषम शीर्ष से दूसरे तक चलता है। हैमिल्टन परिपथ हर शीर्ष पर एक बार जाता है; K_n में ऐसे (n − 1)!/2 होते हैं। n शीर्षों वाले वृक्ष में n − 1 कोरें होती हैं, और m कोरों वाला संबद्ध ग्राफ़ m − n + 1 कोरें हटाने के बाद स्पैनिंग ट्री रखता है।

स्पैनिंग ट्री की कोरें

13 − 1 = 12

हटाई जाने वाली कोरें

k = 20 − 12 = 8

उत्तर

k = 8

6.ग्राफ़ सिद्धांत

उत्तर: N = 2

घात: किसी शीर्ष की घात उससे मिलने वाली कोरों की संख्या है। हर कोर के दो सिरे होते हैं, इसलिए घातों का योग कोरों की संख्या का दोगुना होता है: Σ deg(v) = 2|E| (हैंडशेक लेमा)। अतः विषम घात वाले शीर्षों की संख्या सम होती है। K_n में n(n − 1)/2 कोरें होती हैं, n शीर्षों पर k-नियमित ग्राफ़ में nk/2, और n शीर्षों वाले वृक्ष में n − 1 कोरें।

संलग्नता आव्यूह

A: 0 1 1 0 0

B: 1 0 1 0 1

C: 1 1 0 0 1

D: 0 0 0 0 1

E: 0 1 1 1 0

उभयनिष्ठ पड़ोसी

(M²)_AA = 0·0 + 1·1 + 1·1 + 0·0 + 0·0 = 2

उत्तर

N = 2

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