डेटा संरचना और एल्गोरिदम: क्रैम पैक

सूत्र-पत्रक, हर विषय के मुख्य विधि-चरण और 6 अभ्यास प्रश्न, पूरे हल पीछे दिए गए हैं।

नए प्रश्नकोर्स पर वापस जाएँ

प्रिंट विंडो में “PDF के रूप में सहेजें” चुनें, ताकि एक प्रति आपके डिवाइस पर रहे।

1सूत्र और विधियाँ

ग्राफ़ सिद्धांत

हैंडशेक लेमा
Σ deg(v) = 2|E|
पूर्ण ग्राफ़
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
नियमित ग्राफ़
|E| = n·k/2
वृक्ष और वन
|E| = n − 1, |E| = n − c
वृक्ष के पत्ते
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
यूलर
परिपथ: सभी घात सम; पथ: ठीक 2 घात विषम
Kn में हैमिल्टन परिपथ
(n − 1)!/2
डाइक्स्ट्रा अद्यतन
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
लंबाई L की वॉक
(Mᴸ)ij

विधि

  1. हर शीर्ष की घात लिखें; घातों का योग कोरों की संख्या का दोगुना होता है।
  2. यूलर के प्रश्नों में जाँचें कि ग्राफ़ संबद्ध है और विषम घात वाले शीर्षों को गिनें।
  3. वृक्षों के लिए n − 1 कोरों और हैंडशेक लेमा का उपयोग करें।
  4. डाइक्स्ट्रा के लिए अस्थायी दूरियों की सारणी रखें और हर चक्र में सबसे छोटी दूरी वाले अनिर्धारित शीर्ष को निर्धारित करें।
  5. न्यूनतम स्पैनिंग ट्री के लिए कोरों को भार के अनुसार क्रमबद्ध करें और चक्र बनाने वाली हर कोर छोड़ दें (क्रुस्कल), या किसी प्रारंभिक शीर्ष से एक वृक्ष बढ़ाएँ (प्रिम)।

2अभ्यास प्रश्न

1.एल्गोरिदम और जटिलतामध्यम

डायनेमिक प्रोग्रामिंग (dynamic programming) तब उपयोगी है जब किसी समस्या में हों:

  1. Aओवरलैपिंग उप-समस्याएँ और इष्टतम उप-संरचना (optimal substructure)
  2. Bकेवल यादृच्छिक इनपुट
  3. Cकोई उप-समस्या बिल्कुल न हो, ताकि उसे एक ही चरण में हल किया जा सके
  4. Dकेवल एक लूप
2.एल्गोरिदम और जटिलताकठिन

बॉटम-अप विधि से n अनसॉर्टेड तत्वों से बाइनरी हीप बनाने की टाइम कॉम्प्लेक्सिटी क्या है?

  1. AO(log n)
  2. BO(n log n)
  3. CO(n)
  4. DO(n²)
3.डेटा संरचनाएँमध्यम

डेप्थ-फ़र्स्ट सर्च (पुनरावृत्त संस्करण) किस डेटा संरचना का उपयोग करती है?

  1. Aहीप
  2. Bस्टैक
  3. Cक्यू
  4. Dकेवल हैश टेबल
4.डेटा संरचनाएँकठिन

क्रुस्कल के मिनिमम स्पैनिंग ट्री एल्गोरिदम में union-find संरचना का उपयोग किसलिए होता है?

  1. Aखोज के दौरान हर शीर्ष की स्रोत से वर्तमान दूरी संग्रहीत करने के लिए
  2. Bकिनारों को भार के अनुसार सॉर्ट करने के लिए
  3. Cयह जाँचने के लिए कि किसी किनारे के दोनों सिरे पहले से जुड़े हैं या नहीं
  4. Dप्रारंभिक शीर्ष चुनने के लिए
5.ग्राफ़ सिद्धांतमध्यम
ABCDEFयूलर परिपथयूलर पथ, परिपथ नहींदोनों में से कुछ नहीं

क्या संबद्ध ग्राफ़ में यूलर परिपथ है, परिपथ न होने वाला यूलर पथ है, या दोनों में से कुछ नहीं? अपना उत्तर क्लिक करें।

|V| = 6|E| = 8
  1. 1यूलर परिपथ
  2. 2यूलर पथ, परिपथ नहीं
  3. 3दोनों में से कुछ नहीं
6.ग्राफ़ सिद्धांतकठिन
12131357761012144ABCDEFG

डाइक्स्ट्रा का एल्गोरिथ्म A से चलता है। उस शीर्ष पर क्लिक करें जो चक्र 6 में निर्धारित (स्थायी) होता है; A स्वयं चक्र 1 है।

प्रारंभ: Aचक्र 6
  1. 1A
  2. 2B
  3. 3C
  4. 4D
  5. 5E
  6. 6F
  7. 7G

3विलयन

1.एल्गोरिदम और जटिलता

उत्तर: A · ओवरलैपिंग उप-समस्याएँ और इष्टतम उप-संरचना (optimal substructure)

यह उत्तर क्यों है

ओवरलैपिंग उप-समस्याओं के परिणाम संग्रहीत करने (मेमोइज़ेशन या टैबुलेशन) से दोहराया गया काम बचता है, जिससे घातांकी एल्गोरिदम बहुपद एल्गोरिदम में बदल जाते हैं।

उत्तर

A · ओवरलैपिंग उप-समस्याएँ और इष्टतम उप-संरचना (optimal substructure)
2.एल्गोरिदम और जटिलता

उत्तर: C · O(n)

यह उत्तर क्यों है

सभी स्तरों पर sift-down लागतों का योग एक अभिसारी श्रेणी देता है, इसलिए heapify रैखिक समय में चलता है।

उत्तर

C · O(n)
3.डेटा संरचनाएँ

उत्तर: B · स्टैक

यह उत्तर क्यों है

DFS जितना संभव हो उतना गहराई तक जाती है, इसलिए स्वाभाविक रूप से स्टैक (या रिकर्शन का कॉल स्टैक) का उपयोग करती है; BFS क्यू का उपयोग करती है।

उत्तर

B · स्टैक
4.डेटा संरचनाएँ

उत्तर: C · यह जाँचने के लिए कि किसी किनारे के दोनों सिरे पहले से जुड़े हैं या नहीं

यह उत्तर क्यों है

Find बताता है कि दोनों सिरे एक ही घटक में हैं या नहीं; यदि नहीं, तो किनारा जोड़ा जाता है और union घटकों को मिला देता है।

उत्तर

C · यह जाँचने के लिए कि किसी किनारे के दोनों सिरे पहले से जुड़े हैं या नहीं
5.ग्राफ़ सिद्धांत

उत्तर: यूलर पथ, परिपथ नहीं

यूलर, हैमिल्टन और वृक्ष: संबद्ध ग्राफ़ में यूलर परिपथ (हर कोर एक बार, शुरुआत पर वापसी) तब होता है जब हर शीर्ष की घात सम हो, और परिपथ न होने वाला यूलर पथ तब जब ठीक दो शीर्षों की घात विषम हो; तब पथ एक विषम शीर्ष से दूसरे तक चलता है। हैमिल्टन परिपथ हर शीर्ष पर एक बार जाता है; Kn में ऐसे (n − 1)!/2 होते हैं। n शीर्षों वाले वृक्ष में n − 1 कोरें होती हैं, और m कोरों वाला संबद्ध ग्राफ़ m − n + 1 कोरें हटाने के बाद स्पैनिंग ट्री रखता है।

घात

deg(A) = 2, deg(B) = 4, deg(C) = 3, deg(D) = 2, deg(E) = 3, deg(F) = 2

विषम शीर्ष

C, E → 2
यूलर पथ, परिपथ नहीं

उत्तर

यूलर पथ, परिपथ नहीं

यूलर पथ एक विषम शीर्ष से शुरू होता है और दूसरे पर समाप्त होता है।

6.ग्राफ़ सिद्धांत

उत्तर: F

सबसे छोटे पथ और स्पैनिंग ट्री: डाइक्स्ट्रा का एल्गोरिथ्म हर चक्र में एक शीर्ष निर्धारित करता है: सबसे छोटी अस्थायी दूरी वाला अनिर्धारित शीर्ष। तब उसकी दूरी अंतिम होती है, और हर पड़ोसी v को d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)) मिलता है। क्रुस्कल का एल्गोरिथ्म कोरों को हल्की से भारी की ओर लेकर और चक्र बनाने वाली हर कोर छोड़कर न्यूनतम स्पैनिंग ट्री बनाता है; प्रिम का एल्गोरिथ्म प्रारंभिक शीर्ष से एक वृक्ष बढ़ाता है और हमेशा उससे बाहर जाने वाली सबसे हल्की कोर जोड़ता है। n शीर्षों के स्पैनिंग ट्री में n − 1 कोरें होती हैं।

डाइक्स्ट्रा चक्र-दर-चक्र

1. A (0): B: 12, C: 13
2. B (12): G: 22
3. C (13): E: 18
4. E (18): D: 25, F: 24
5. G (22)
6. F (24)
7. D (25)

चक्र 6

F

उत्तर

F

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms