डेटा संरचना और एल्गोरिदम: क्रैम पैक

सूत्र-पत्रक, हर विषय के मुख्य विधि-चरण और 6 अभ्यास प्रश्न, पूरे हल पीछे दिए गए हैं।

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1सूत्र और विधियाँ

ग्राफ़ सिद्धांत

हैंडशेक लेमा
Σ deg(v) = 2|E|
पूर्ण ग्राफ़
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
नियमित ग्राफ़
|E| = n·k/2
वृक्ष और वन
|E| = n − 1, |E| = n − c
वृक्ष के पत्ते
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
यूलर
परिपथ: सभी घात सम; पथ: ठीक 2 घात विषम
Kn में हैमिल्टन परिपथ
(n − 1)!/2
डाइक्स्ट्रा अद्यतन
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
लंबाई L की वॉक
(Mᴸ)ij

विधि

  1. हर शीर्ष की घात लिखें; घातों का योग कोरों की संख्या का दोगुना होता है।
  2. यूलर के प्रश्नों में जाँचें कि ग्राफ़ संबद्ध है और विषम घात वाले शीर्षों को गिनें।
  3. वृक्षों के लिए n − 1 कोरों और हैंडशेक लेमा का उपयोग करें।
  4. डाइक्स्ट्रा के लिए अस्थायी दूरियों की सारणी रखें और हर चक्र में सबसे छोटी दूरी वाले अनिर्धारित शीर्ष को निर्धारित करें।
  5. न्यूनतम स्पैनिंग ट्री के लिए कोरों को भार के अनुसार क्रमबद्ध करें और चक्र बनाने वाली हर कोर छोड़ दें (क्रुस्कल), या किसी प्रारंभिक शीर्ष से एक वृक्ष बढ़ाएँ (प्रिम)।

2अभ्यास प्रश्न

1.एल्गोरिदम और जटिलतामध्यम

रिकरेंस T(n) = 2T(n − 1) + O(1) का हल क्या है?

  1. AO(2ⁿ)
  2. BO(n log n)
  3. CO(n)
  4. DO(n²)
2.एल्गोरिदम और जटिलताकठिन

यह सिद्ध करने के लिए कि कोई निर्णय समस्या X NP-complete है, कौन-सी दो बातें दिखानी होंगी?

  1. AX का कोई बहुपदी एल्गोरिदम नहीं है, और X निर्णेय है
  2. BX, NP में है, और कोई ज्ञात NP-complete समस्या बहुपदी समय में X में रिड्यूस होती है
  3. CX, P में है, और X, SAT में रिड्यूस होती है
  4. DX, P की किसी समस्या में रिड्यूस होती है, और X, NP में है
3.डेटा संरचनाएँमध्यम

लोड फ़ैक्टर सीमा पार होने के बाद जब हैश टेबल rehash करती है, तो क्या होता है?

  1. Aमौजूदा कुंजियाँ उसी स्थान पर सॉर्ट की जाती हैं
  2. Bजगह बनाने के लिए सबसे पुरानी कुंजियाँ हटा दी जाती हैं
  3. Cएक बड़ी टेबल आवंटित होती है और हर कुंजी फिर से डाली जाती है
  4. Dकेवल टकराने वाली कुंजियाँ टेबल के अंत में एक नई ओवरफ़्लो लिस्ट में ले जाई जाती हैं
4.डेटा संरचनाएँकठिन

n संख्याओं के ऐरे पर फ़ेनविक ट्री (बाइनरी इंडेक्स्ड ट्री) कौन-से ऑपरेशन O(log n) में समर्थित करता है?

  1. Aकिसी भी स्थिति पर तत्व डालना
  2. Bप्रीफ़िक्स-योग प्रश्न और एकल-तत्व अपडेट
  3. CO(1) में माध्यिका खोजना
  4. Dऐरे सॉर्ट करना और बाइनरी सर्च
5.ग्राफ़ सिद्धांतमध्यम

एक संबद्ध ग्राफ़ में 16 शीर्ष और 20 कोरें हैं। स्पैनिंग ट्री बचाने के लिए कितनी कोरें k हटानी होंगी?

|V| = 16|E| = 20
k =
6.ग्राफ़ सिद्धांतकठिन
15191411103124ABCDEF

भारित ग्राफ़ के न्यूनतम स्पैनिंग ट्री का कुल भार W ज्ञात करें।

|V| = 6|E| = 8
W =

3विलयन

1.एल्गोरिदम और जटिलता

उत्तर: A · O(2ⁿ)

यह उत्तर क्यों है

हर स्तर पर कॉलों की संख्या दोगुनी होती है और n स्तर हैं, इसलिए कुल लगभग 2ⁿ है, जैसे टावर्स ऑफ़ हनोई में।

उत्तर

A · O(2ⁿ)
2.एल्गोरिदम और जटिलता

उत्तर: B · X, NP में है, और कोई ज्ञात NP-complete समस्या बहुपदी समय में X में रिड्यूस होती है

यह उत्तर क्यों है

NP में सदस्यता दिखाती है कि X, NP से कठिन नहीं है; किसी ज्ञात NP-complete समस्या से रिडक्शन दिखाता है कि X कम से कम पूरे NP जितनी कठिन है।

उत्तर

B · X, NP में है, और कोई ज्ञात NP-complete समस्या बहुपदी समय में X में रिड्यूस होती है
3.डेटा संरचनाएँ

उत्तर: C · एक बड़ी टेबल आवंटित होती है और हर कुंजी फिर से डाली जाती है

यह उत्तर क्यों है

चूँकि इंडेक्स टेबल आकार के मॉड्यूलो से निकलता है, सभी कुंजियों को नई, बड़ी टेबल में rehash करना होता है; दोगुना करने पर यह एमॉर्टाइज़्ड O(1) रहता है।

उत्तर

C · एक बड़ी टेबल आवंटित होती है और हर कुंजी फिर से डाली जाती है
4.डेटा संरचनाएँ

उत्तर: B · प्रीफ़िक्स-योग प्रश्न और एकल-तत्व अपडेट

यह उत्तर क्यों है

फ़ेनविक ट्री हर इंडेक्स के निचले बिटों से निर्धारित रेंजों के आंशिक योग संग्रहीत करता है, इसलिए प्रीफ़िक्स योग और पॉइंट अपडेट दोनों में O(log n) लगता है।

उत्तर

B · प्रीफ़िक्स-योग प्रश्न और एकल-तत्व अपडेट
5.ग्राफ़ सिद्धांत

उत्तर: k = 5

यूलर, हैमिल्टन और वृक्ष: संबद्ध ग्राफ़ में यूलर परिपथ (हर कोर एक बार, शुरुआत पर वापसी) तब होता है जब हर शीर्ष की घात सम हो, और परिपथ न होने वाला यूलर पथ तब जब ठीक दो शीर्षों की घात विषम हो; तब पथ एक विषम शीर्ष से दूसरे तक चलता है। हैमिल्टन परिपथ हर शीर्ष पर एक बार जाता है; Kn में ऐसे (n − 1)!/2 होते हैं। n शीर्षों वाले वृक्ष में n − 1 कोरें होती हैं, और m कोरों वाला संबद्ध ग्राफ़ m − n + 1 कोरें हटाने के बाद स्पैनिंग ट्री रखता है।

स्पैनिंग ट्री की कोरें

16 − 1 = 15

हटाई जाने वाली कोरें

k = 20 − 15 = 5

उत्तर

k = 5
6.ग्राफ़ सिद्धांत

उत्तर: W = 43

सबसे छोटे पथ और स्पैनिंग ट्री: डाइक्स्ट्रा का एल्गोरिथ्म हर चक्र में एक शीर्ष निर्धारित करता है: सबसे छोटी अस्थायी दूरी वाला अनिर्धारित शीर्ष। तब उसकी दूरी अंतिम होती है, और हर पड़ोसी v को d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)) मिलता है। क्रुस्कल का एल्गोरिथ्म कोरों को हल्की से भारी की ओर लेकर और चक्र बनाने वाली हर कोर छोड़कर न्यूनतम स्पैनिंग ट्री बनाता है; प्रिम का एल्गोरिथ्म प्रारंभिक शीर्ष से एक वृक्ष बढ़ाता है और हमेशा उससे बाहर जाने वाली सबसे हल्की कोर जोड़ता है। n शीर्षों के स्पैनिंग ट्री में n − 1 कोरें होती हैं।

क्रुस्कल का एल्गोरिथ्म

DE (3): लें
EF (4): लें
CE (10): लें
BD (11): लें
DF (12): छोड़ें, चक्र बनता है
BC (14): छोड़ें, चक्र बनता है
AB (15): लें

कुल भार

W = 3 + 4 + 10 + 11 + 15 = 43

उत्तर

W = 43

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