डेटा संरचना और एल्गोरिदम: क्रैम पैक

सूत्र-पत्रक, हर विषय के मुख्य विधि-चरण और 6 अभ्यास प्रश्न, पूरे हल पीछे दिए गए हैं।

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1सूत्र और विधियाँ

ग्राफ़ सिद्धांत

हैंडशेक लेमा
Σ deg(v) = 2|E|
पूर्ण ग्राफ़
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
नियमित ग्राफ़
|E| = n·k/2
वृक्ष और वन
|E| = n − 1, |E| = n − c
वृक्ष के पत्ते
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
यूलर
परिपथ: सभी घात सम; पथ: ठीक 2 घात विषम
Kn में हैमिल्टन परिपथ
(n − 1)!/2
डाइक्स्ट्रा अद्यतन
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
लंबाई L की वॉक
(Mᴸ)ij

विधि

  1. हर शीर्ष की घात लिखें; घातों का योग कोरों की संख्या का दोगुना होता है।
  2. यूलर के प्रश्नों में जाँचें कि ग्राफ़ संबद्ध है और विषम घात वाले शीर्षों को गिनें।
  3. वृक्षों के लिए n − 1 कोरों और हैंडशेक लेमा का उपयोग करें।
  4. डाइक्स्ट्रा के लिए अस्थायी दूरियों की सारणी रखें और हर चक्र में सबसे छोटी दूरी वाले अनिर्धारित शीर्ष को निर्धारित करें।
  5. न्यूनतम स्पैनिंग ट्री के लिए कोरों को भार के अनुसार क्रमबद्ध करें और चक्र बनाने वाली हर कोर छोड़ दें (क्रुस्कल), या किसी प्रारंभिक शीर्ष से एक वृक्ष बढ़ाएँ (प्रिम)।

2अभ्यास प्रश्न

1.एल्गोरिदम और जटिलतामध्यम

एक ग्रीडी एल्गोरिदम (greedy algorithm):

  1. Aकेवल रिकर्शन का उपयोग करता है
  2. Bहर संभव समाधान आज़माता है
  3. Cहमेशा इष्टतम समाधान देता है
  4. Dहर चरण में स्थानीय रूप से सर्वोत्तम विकल्प चुनता है
2.एल्गोरिदम और जटिलताकठिन

रिकरेंस T(n) = 2T(n/2) + n log n का हल क्या है?

  1. AΘ(n log n)
  2. BΘ(n)
  3. CΘ(n²)
  4. DΘ(n log² n)
3.डेटा संरचनाएँमध्यम

यदि कुंजियाँ क्रमबद्ध क्रम में डाली जाएँ, तो n नोड वाले बाइनरी सर्च ट्री की सबसे खराब स्थिति में ऊँचाई क्या होगी?

  1. Alog₂ n
  2. B1
  3. C√n
  4. Dn (यह लिंक्ड लिस्ट बन जाता है)
4.डेटा संरचनाएँकठिन

O(1) अतिरिक्त मेमोरी से कैसे पता लगाएँ कि सिंगली लिंक्ड लिस्ट में चक्र है या नहीं?

  1. Aएक पॉइंटर को एक क़दम और दूसरे को दो क़दम चलाएँ और देखें कि वे मिलते हैं या नहीं
  2. Bनोड तब तक गिनें जब तक गिनती लिस्ट-लंबाई फ़ील्ड से अधिक न हो जाए
  3. Cहर देखे गए नोड को एक हैश सेट में संग्रहीत करें
  4. Dलिस्ट सॉर्ट करके दोहराव खोजें
5.ग्राफ़ सिद्धांतमध्यम

एक संबद्ध ग्राफ़ में 12 शीर्ष और 21 कोरें हैं। स्पैनिंग ट्री बचाने के लिए कितनी कोरें k हटानी होंगी?

|V| = 12|E| = 21
k =
6.ग्राफ़ सिद्धांतकठिन
8917456216181ABCDEFG

क्रुस्कल का एल्गोरिथ्म न्यूनतम स्पैनिंग ट्री बनाता है। उस कोर पर क्लिक करें जिसे वह कोर संख्या 4 के रूप में जोड़ता है; छोड़ी गई कोरें नहीं गिनी जातीं।

k = 4
  1. 1कोर AB
  2. 2कोर AC
  3. 3कोर BC
  4. 4कोर CE
  5. 5कोर DF
  6. 6कोर EF
  7. 7कोर GB
  8. 8कोर GC
  9. 9कोर GD
  10. 10कोर GE

3विलयन

1.एल्गोरिदम और जटिलता

उत्तर: D · हर चरण में स्थानीय रूप से सर्वोत्तम विकल्प चुनता है

यह उत्तर क्यों है

ग्रीडी एल्गोरिदम तेज़ होते हैं और कुछ समस्याओं (जैसे Dijkstra, Huffman कोडिंग) के लिए इष्टतम होते हैं, लेकिन सामान्य रूप से नहीं (जैसे कुछ सिक्का प्रणालियों में coin change)।

उत्तर

D · हर चरण में स्थानीय रूप से सर्वोत्तम विकल्प चुनता है
2.एल्गोरिदम और जटिलता

उत्तर: D · Θ(n log² n)

यह उत्तर क्यों है

स्तर k लगभग n log(n / 2ᵏ) कार्य करता है, और log n स्तरों पर योग Θ(n log² n) देता है, जो मास्टर प्रमेय की विस्तारित दूसरी स्थिति है।

उत्तर

D · Θ(n log² n)
3.डेटा संरचनाएँ

उत्तर: D · n (यह लिंक्ड लिस्ट बन जाता है)

यह उत्तर क्यों है

क्रमबद्ध इंसर्शन से n ऊँचाई वाला विकृत (degenerate) ट्री बनता है, जिससे खोज O(n) हो जाती है। संतुलित ट्री इसे रोकते हैं।

उत्तर

D · n (यह लिंक्ड लिस्ट बन जाता है)
4.डेटा संरचनाएँ

उत्तर: A · एक पॉइंटर को एक क़दम और दूसरे को दो क़दम चलाएँ और देखें कि वे मिलते हैं या नहीं

यह उत्तर क्यों है

फ़्लॉयड के एल्गोरिदम में चक्र होने पर तेज़ पॉइंटर अंततः धीमे को पकड़ लेता है; अन्यथा तेज़ पॉइंटर null तक पहुँच जाता है।

उत्तर

A · एक पॉइंटर को एक क़दम और दूसरे को दो क़दम चलाएँ और देखें कि वे मिलते हैं या नहीं
5.ग्राफ़ सिद्धांत

उत्तर: k = 10

यूलर, हैमिल्टन और वृक्ष: संबद्ध ग्राफ़ में यूलर परिपथ (हर कोर एक बार, शुरुआत पर वापसी) तब होता है जब हर शीर्ष की घात सम हो, और परिपथ न होने वाला यूलर पथ तब जब ठीक दो शीर्षों की घात विषम हो; तब पथ एक विषम शीर्ष से दूसरे तक चलता है। हैमिल्टन परिपथ हर शीर्ष पर एक बार जाता है; Kn में ऐसे (n − 1)!/2 होते हैं। n शीर्षों वाले वृक्ष में n − 1 कोरें होती हैं, और m कोरों वाला संबद्ध ग्राफ़ m − n + 1 कोरें हटाने के बाद स्पैनिंग ट्री रखता है।

स्पैनिंग ट्री की कोरें

12 − 1 = 11

हटाई जाने वाली कोरें

k = 21 − 11 = 10

उत्तर

k = 10
6.ग्राफ़ सिद्धांत

उत्तर: कोर DF

सबसे छोटे पथ और स्पैनिंग ट्री: डाइक्स्ट्रा का एल्गोरिथ्म हर चक्र में एक शीर्ष निर्धारित करता है: सबसे छोटी अस्थायी दूरी वाला अनिर्धारित शीर्ष। तब उसकी दूरी अंतिम होती है, और हर पड़ोसी v को d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)) मिलता है। क्रुस्कल का एल्गोरिथ्म कोरों को हल्की से भारी की ओर लेकर और चक्र बनाने वाली हर कोर छोड़कर न्यूनतम स्पैनिंग ट्री बनाता है; प्रिम का एल्गोरिथ्म प्रारंभिक शीर्ष से एक वृक्ष बढ़ाता है और हमेशा उससे बाहर जाने वाली सबसे हल्की कोर जोड़ता है। n शीर्षों के स्पैनिंग ट्री में n − 1 कोरें होती हैं।

क्रुस्कल का एल्गोरिथ्म

1. GE (1)
2. GB (2)
3. CE (4)
4. DF (5)
5. EF (6)
6. AB (8)

कोर संख्या 4

DF

उत्तर

कोर DF

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