डेटा संरचना और एल्गोरिदम: क्रैम पैक

सूत्र-पत्रक, हर विषय के मुख्य विधि-चरण और 6 अभ्यास प्रश्न, पूरे हल पीछे दिए गए हैं।

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1सूत्र और विधियाँ

ग्राफ़ सिद्धांत

हैंडशेक लेमा
Σ deg(v) = 2|E|
पूर्ण ग्राफ़
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
नियमित ग्राफ़
|E| = n·k/2
वृक्ष और वन
|E| = n − 1, |E| = n − c
वृक्ष के पत्ते
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
यूलर
परिपथ: सभी घात सम; पथ: ठीक 2 घात विषम
Kn में हैमिल्टन परिपथ
(n − 1)!/2
डाइक्स्ट्रा अद्यतन
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
लंबाई L की वॉक
(Mᴸ)ij

विधि

  1. हर शीर्ष की घात लिखें; घातों का योग कोरों की संख्या का दोगुना होता है।
  2. यूलर के प्रश्नों में जाँचें कि ग्राफ़ संबद्ध है और विषम घात वाले शीर्षों को गिनें।
  3. वृक्षों के लिए n − 1 कोरों और हैंडशेक लेमा का उपयोग करें।
  4. डाइक्स्ट्रा के लिए अस्थायी दूरियों की सारणी रखें और हर चक्र में सबसे छोटी दूरी वाले अनिर्धारित शीर्ष को निर्धारित करें।
  5. न्यूनतम स्पैनिंग ट्री के लिए कोरों को भार के अनुसार क्रमबद्ध करें और चक्र बनाने वाली हर कोर छोड़ दें (क्रुस्कल), या किसी प्रारंभिक शीर्ष से एक वृक्ष बढ़ाएँ (प्रिम)।

2अभ्यास प्रश्न

1.एल्गोरिदम और जटिलतामध्यम

1, 3 और 4 के सिक्कों और 6 की राशि के साथ, ग्रीडी "पहले सबसे बड़ा सिक्का" विधि इष्टतम की तुलना में कितने सिक्के उपयोग करती है?

  1. Aग्रीडी 2 सिक्के उपयोग करती है; इष्टतम 2 है
  2. Bग्रीडी 3 सिक्के उपयोग करती है; इष्टतम 2 है
  3. Cग्रीडी 4 सिक्के उपयोग करती है; इष्टतम 3 है
  4. Dग्रीडी 3 सिक्के उपयोग करती है; इष्टतम 3 है
2.एल्गोरिदम और जटिलताकठिन

कोई समस्या NP-complete होती है यदि वह:

  1. Aहल करना असंभव है
  2. BNP से बाहर है लेकिन सभी NP समस्याओं से कठिन है, जैसे हॉल्टिंग समस्या
  3. Cबहुपद समय में हल की जा सकती है
  4. DNP में है और हर NP समस्या बहुपद समय में उसमें रिड्यूस होती है
3.डेटा संरचनाएँमध्यम

लिंक्ड लिस्ट में सेंटिनल (डमी) नोड का उद्देश्य क्या है?

  1. Aलिस्ट को सॉर्टेड बनाना
  2. Bतत्वों की संख्या संग्रहीत करना
  3. Cहेड या टेल पर विशेष मामलों को हटाकर कोड को सरल बनाना
  4. Dलिस्ट को नोडों की एक निश्चित अधिकतम संख्या से आगे बढ़ने से रोकना
4.डेटा संरचनाएँकठिन

स्प्ले ट्री हर पहुँच के बाद क्या करता है?

  1. Aपूरे ट्री को संतुलित रूप में फिर से बनाता है
  2. Bखोज पथ के नोडों का रंग बदलता है
  3. Cपहुँचे गए नोड को रोटेशन से रूट तक ले जाता है
  4. Dपहुँचे गए नोड को एक लीफ़ पर ले जाता है
5.ग्राफ़ सिद्धांतमध्यम

एक वृक्ष में घात 3 वाले 2 शीर्ष, घात 5 वाले 3 शीर्ष है, और उसके बाकी सभी शीर्ष पत्ते (घात 1) हैं। उसमें कितने पत्ते L हैं?

2 × deg 33 × deg 5
L =
6.ग्राफ़ सिद्धांतकठिन
111521471513615ABCDEFG

भारित ग्राफ़ में A से F तक के सबसे छोटे पथ की लंबाई d(F) डाइक्स्ट्रा के एल्गोरिथ्म से ज्ञात करें।

प्रारंभ: Aअंत: F
d(F) =

3विलयन

1.एल्गोरिदम और जटिलता

उत्तर: B · ग्रीडी 3 सिक्के उपयोग करती है; इष्टतम 2 है

यह उत्तर क्यों है

ग्रीडी 4 + 1 + 1 = 3 सिक्के लेती है, पर 3 + 3 में केवल 2 लगते हैं, इसलिए इस सिक्का प्रणाली के लिए ग्रीडी इष्टतम नहीं है; डायनेमिक प्रोग्रामिंग है।

उत्तर

B · ग्रीडी 3 सिक्के उपयोग करती है; इष्टतम 2 है
2.एल्गोरिदम और जटिलता

उत्तर: D · NP में है और हर NP समस्या बहुपद समय में उसमें रिड्यूस होती है

यह उत्तर क्यों है

NP-complete समस्याएँ NP में सबसे कठिन हैं; इनमें से किसी एक के लिए बहुपद एल्गोरिदम पूरे NP के लिए एक एल्गोरिदम दे देगा।

उत्तर

D · NP में है और हर NP समस्या बहुपद समय में उसमें रिड्यूस होती है
3.डेटा संरचनाएँ

उत्तर: C · हेड या टेल पर विशेष मामलों को हटाकर कोड को सरल बनाना

यह उत्तर क्यों है

सेंटिनल के साथ हर वास्तविक नोड का एक पूर्ववर्ती होता है, इसलिए हेड पर डालने या हटाने के लिए विशेष व्यवहार की आवश्यकता नहीं होती।

उत्तर

C · हेड या टेल पर विशेष मामलों को हटाकर कोड को सरल बनाना
4.डेटा संरचनाएँ

उत्तर: C · पहुँचे गए नोड को रोटेशन से रूट तक ले जाता है

यह उत्तर क्यों है

स्प्लेइंग रोटेशनों से पहुँचे गए नोड को रूट पर ले जाती है; एक ऑपरेशन में O(n) लग सकता है, पर एमॉर्टाइज़्ड लागत O(log n) है।

उत्तर

C · पहुँचे गए नोड को रोटेशन से रूट तक ले जाता है
5.ग्राफ़ सिद्धांत

उत्तर: L = 13

यूलर, हैमिल्टन और वृक्ष: संबद्ध ग्राफ़ में यूलर परिपथ (हर कोर एक बार, शुरुआत पर वापसी) तब होता है जब हर शीर्ष की घात सम हो, और परिपथ न होने वाला यूलर पथ तब जब ठीक दो शीर्षों की घात विषम हो; तब पथ एक विषम शीर्ष से दूसरे तक चलता है। हैमिल्टन परिपथ हर शीर्ष पर एक बार जाता है; Kn में ऐसे (n − 1)!/2 होते हैं। n शीर्षों वाले वृक्ष में n − 1 कोरें होती हैं, और m कोरों वाला संबद्ध ग्राफ़ m − n + 1 कोरें हटाने के बाद स्पैनिंग ट्री रखता है।

वृक्ष के लिए हैंडशेक लेमा

L + 21 = 2(L + 5) − 2
L = 13

उत्तर

L = 13

शॉर्टकट: L = 2 + Σ (d − 2), घात d ≥ 3 वाले शीर्षों पर।

6.ग्राफ़ सिद्धांत

उत्तर: d(F) = 40

सबसे छोटे पथ और स्पैनिंग ट्री: डाइक्स्ट्रा का एल्गोरिथ्म हर चक्र में एक शीर्ष निर्धारित करता है: सबसे छोटी अस्थायी दूरी वाला अनिर्धारित शीर्ष। तब उसकी दूरी अंतिम होती है, और हर पड़ोसी v को d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)) मिलता है। क्रुस्कल का एल्गोरिथ्म कोरों को हल्की से भारी की ओर लेकर और चक्र बनाने वाली हर कोर छोड़कर न्यूनतम स्पैनिंग ट्री बनाता है; प्रिम का एल्गोरिथ्म प्रारंभिक शीर्ष से एक वृक्ष बढ़ाता है और हमेशा उससे बाहर जाने वाली सबसे हल्की कोर जोड़ता है। n शीर्षों के स्पैनिंग ट्री में n − 1 कोरें होती हैं।

डाइक्स्ट्रा चक्र-दर-चक्र

हर पंक्ति: निर्धारित शीर्ष, उसकी अंतिम दूरी, और वे पड़ोसी जिनकी दूरी सुधरती है।

A (0): B: 11, C: 15
B (11): C: 13, D: 25, G: 17
C (13)
G (17)
D (25): E: 32, F: 40
E (32)
F (40)

सबसे छोटा पथ

A → B → D → F
d(F) = 40

उत्तर

d(F) = 40

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