डेटा संरचना और एल्गोरिदम: क्रैम पैक

सूत्र-पत्रक, हर विषय के मुख्य विधि-चरण और 6 अभ्यास प्रश्न, पूरे हल पीछे दिए गए हैं।

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1सूत्र और विधियाँ

ग्राफ़ सिद्धांत

हैंडशेक लेमा
Σ deg(v) = 2|E|
पूर्ण ग्राफ़
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
नियमित ग्राफ़
|E| = n·k/2
वृक्ष और वन
|E| = n − 1, |E| = n − c
वृक्ष के पत्ते
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
यूलर
परिपथ: सभी घात सम; पथ: ठीक 2 घात विषम
Kn में हैमिल्टन परिपथ
(n − 1)!/2
डाइक्स्ट्रा अद्यतन
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
लंबाई L की वॉक
(Mᴸ)ij

विधि

  1. हर शीर्ष की घात लिखें; घातों का योग कोरों की संख्या का दोगुना होता है।
  2. यूलर के प्रश्नों में जाँचें कि ग्राफ़ संबद्ध है और विषम घात वाले शीर्षों को गिनें।
  3. वृक्षों के लिए n − 1 कोरों और हैंडशेक लेमा का उपयोग करें।
  4. डाइक्स्ट्रा के लिए अस्थायी दूरियों की सारणी रखें और हर चक्र में सबसे छोटी दूरी वाले अनिर्धारित शीर्ष को निर्धारित करें।
  5. न्यूनतम स्पैनिंग ट्री के लिए कोरों को भार के अनुसार क्रमबद्ध करें और चक्र बनाने वाली हर कोर छोड़ दें (क्रुस्कल), या किसी प्रारंभिक शीर्ष से एक वृक्ष बढ़ाएँ (प्रिम)।

2अभ्यास प्रश्न

1.एल्गोरिदम और जटिलतामध्यम

क्विकसॉर्ट हमेशा पहले तत्व को पिवट के रूप में उपयोग करता है। किस इनपुट पर यह अपना वर्स्ट-केस व्यवहार दिखाता है?

  1. Aएक ऐरे जो पहले से सॉर्टेड है
  2. Bयादृच्छिक क्रम वाला ऐरे
  3. Cऐसा ऐरे जिसके सभी तत्व भिन्न हैं
  4. Dलंबाई 2 का ऐरे
2.एल्गोरिदम और जटिलताकठिन

कोई समस्या NP-complete होती है यदि वह:

  1. Aबहुपद समय में हल की जा सकती है
  2. Bहल करना असंभव है
  3. CNP से बाहर है लेकिन सभी NP समस्याओं से कठिन है, जैसे हॉल्टिंग समस्या
  4. DNP में है और हर NP समस्या बहुपद समय में उसमें रिड्यूस होती है
3.डेटा संरचनाएँमध्यम

AVL ट्री हर नोड पर कौन-सी संतुलन शर्त बनाए रखता है?

  1. Aहर नोड के दोनों सबट्री में ठीक समान संख्या में नोड होते हैं
  2. Bहर नोड लाल या काले रंग का होता है
  3. Cबाएँ और दाएँ सबट्री की ऊँचाइयों में अधिकतम 1 का अंतर
  4. Dसभी लीफ़ ठीक समान गहराई पर होते हैं
4.डेटा संरचनाएँकठिन

रूट 50, बाएँ सबट्री 30 (चाइल्ड 20, 40) और दाएँ सबट्री 70 (चाइल्ड 60, 80) वाले BST में रूट को इन-ऑर्डर उत्तराधिकारी का उपयोग करके हटाया जाता है। कौन-सी कुंजी नया रूट बनती है?

  1. A70
  2. B60
  3. C40
  4. D80
5.ग्राफ़ सिद्धांतमध्यम
ABCDEयूलर परिपथयूलर पथ, परिपथ नहींदोनों में से कुछ नहीं

क्या संबद्ध ग्राफ़ में यूलर परिपथ है, परिपथ न होने वाला यूलर पथ है, या दोनों में से कुछ नहीं? अपना उत्तर क्लिक करें।

|V| = 5|E| = 5
  1. 1यूलर परिपथ
  2. 2यूलर पथ, परिपथ नहीं
  3. 3दोनों में से कुछ नहीं
6.ग्राफ़ सिद्धांतकठिन
173131211619ABCDE

क्रुस्कल का एल्गोरिथ्म न्यूनतम स्पैनिंग ट्री बनाता है। उस कोर पर क्लिक करें जिसे वह कोर संख्या 3 के रूप में जोड़ता है; छोड़ी गई कोरें नहीं गिनी जातीं।

k = 3
  1. 1कोर AB
  2. 2कोर AC
  3. 3कोर BC
  4. 4कोर BD
  5. 5कोर CE
  6. 6कोर DE
  7. 7कोर BE

3विलयन

1.एल्गोरिदम और जटिलता

उत्तर: A · एक ऐरे जो पहले से सॉर्टेड है

यह उत्तर क्यों है

सॉर्टेड इनपुट पर पिवट हमेशा न्यूनतम होता है, इसलिए एक भाग ख़ाली होता है और दूसरे में n − 1 तत्व, जिससे O(n²) मिलता है।

उत्तर

A · एक ऐरे जो पहले से सॉर्टेड है
2.एल्गोरिदम और जटिलता

उत्तर: D · NP में है और हर NP समस्या बहुपद समय में उसमें रिड्यूस होती है

यह उत्तर क्यों है

NP-complete समस्याएँ NP में सबसे कठिन हैं; इनमें से किसी एक के लिए बहुपद एल्गोरिदम पूरे NP के लिए एक एल्गोरिदम दे देगा।

उत्तर

D · NP में है और हर NP समस्या बहुपद समय में उसमें रिड्यूस होती है
3.डेटा संरचनाएँ

उत्तर: C · बाएँ और दाएँ सबट्री की ऊँचाइयों में अधिकतम 1 का अंतर

यह उत्तर क्यों है

बैलेंस फ़ैक्टर (बाएँ की ऊँचाई − दाएँ की ऊँचाई) −1, 0 या 1 होना चाहिए; इंसर्ट और डिलीट के बाद रोटेशन इसे बहाल करते हैं।

उत्तर

C · बाएँ और दाएँ सबट्री की ऊँचाइयों में अधिकतम 1 का अंतर
4.डेटा संरचनाएँ

उत्तर: B · 60

यह उत्तर क्यों है

दाएँ सबट्री का सबसे बायाँ नोड 60 है, इसलिए 60, 50 का स्थान लेता है और उसकी पुरानी स्थिति हटा दी जाती है; पूर्ववर्ती (predecessor) के उपयोग से 40 मिलता।

उत्तर

B · 60
5.ग्राफ़ सिद्धांत

उत्तर: यूलर पथ, परिपथ नहीं

यूलर, हैमिल्टन और वृक्ष: संबद्ध ग्राफ़ में यूलर परिपथ (हर कोर एक बार, शुरुआत पर वापसी) तब होता है जब हर शीर्ष की घात सम हो, और परिपथ न होने वाला यूलर पथ तब जब ठीक दो शीर्षों की घात विषम हो; तब पथ एक विषम शीर्ष से दूसरे तक चलता है। हैमिल्टन परिपथ हर शीर्ष पर एक बार जाता है; Kn में ऐसे (n − 1)!/2 होते हैं। n शीर्षों वाले वृक्ष में n − 1 कोरें होती हैं, और m कोरों वाला संबद्ध ग्राफ़ m − n + 1 कोरें हटाने के बाद स्पैनिंग ट्री रखता है।

घात

deg(A) = 2, deg(B) = 3, deg(C) = 2, deg(D) = 2, deg(E) = 1

विषम शीर्ष

B, E → 2
यूलर पथ, परिपथ नहीं

उत्तर

यूलर पथ, परिपथ नहीं

यूलर पथ एक विषम शीर्ष से शुरू होता है और दूसरे पर समाप्त होता है।

6.ग्राफ़ सिद्धांत

उत्तर: कोर BD

सबसे छोटे पथ और स्पैनिंग ट्री: डाइक्स्ट्रा का एल्गोरिथ्म हर चक्र में एक शीर्ष निर्धारित करता है: सबसे छोटी अस्थायी दूरी वाला अनिर्धारित शीर्ष। तब उसकी दूरी अंतिम होती है, और हर पड़ोसी v को d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)) मिलता है। क्रुस्कल का एल्गोरिथ्म कोरों को हल्की से भारी की ओर लेकर और चक्र बनाने वाली हर कोर छोड़कर न्यूनतम स्पैनिंग ट्री बनाता है; प्रिम का एल्गोरिथ्म प्रारंभिक शीर्ष से एक वृक्ष बढ़ाता है और हमेशा उससे बाहर जाने वाली सबसे हल्की कोर जोड़ता है। n शीर्षों के स्पैनिंग ट्री में n − 1 कोरें होती हैं।

क्रुस्कल का एल्गोरिथ्म

1. CE (1)
2. AC (3)
3. BD (12)
4. BC (13)

कोर संख्या 3

BD

उत्तर

कोर BD

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