डेटा संरचना और एल्गोरिदम: क्रैम पैक

सूत्र-पत्रक, हर विषय के मुख्य विधि-चरण और 6 अभ्यास प्रश्न, पूरे हल पीछे दिए गए हैं।

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1सूत्र और विधियाँ

ग्राफ़ सिद्धांत

हैंडशेक लेमा
Σ deg(v) = 2|E|
पूर्ण ग्राफ़
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
नियमित ग्राफ़
|E| = n·k/2
वृक्ष और वन
|E| = n − 1, |E| = n − c
वृक्ष के पत्ते
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
यूलर
परिपथ: सभी घात सम; पथ: ठीक 2 घात विषम
Kn में हैमिल्टन परिपथ
(n − 1)!/2
डाइक्स्ट्रा अद्यतन
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
लंबाई L की वॉक
(Mᴸ)ij

विधि

  1. हर शीर्ष की घात लिखें; घातों का योग कोरों की संख्या का दोगुना होता है।
  2. यूलर के प्रश्नों में जाँचें कि ग्राफ़ संबद्ध है और विषम घात वाले शीर्षों को गिनें।
  3. वृक्षों के लिए n − 1 कोरों और हैंडशेक लेमा का उपयोग करें।
  4. डाइक्स्ट्रा के लिए अस्थायी दूरियों की सारणी रखें और हर चक्र में सबसे छोटी दूरी वाले अनिर्धारित शीर्ष को निर्धारित करें।
  5. न्यूनतम स्पैनिंग ट्री के लिए कोरों को भार के अनुसार क्रमबद्ध करें और चक्र बनाने वाली हर कोर छोड़ दें (क्रुस्कल), या किसी प्रारंभिक शीर्ष से एक वृक्ष बढ़ाएँ (प्रिम)।

2अभ्यास प्रश्न

1.एल्गोरिदम और जटिलतामध्यम

V शीर्षों और E किनारों वाले ग्राफ़ पर बेलमैन–फ़ोर्ड एल्गोरिदम की टाइम कॉम्प्लेक्सिटी क्या है?

  1. AO(V + E)
  2. BO(E log V)
  3. CO(V³ × E)
  4. DO(V × E)
2.एल्गोरिदम और जटिलताकठिन

यह दिखाने के लिए कि कोई नई समस्या X NP-hard है, आपको क्या करना होगा?

  1. Aदिखाना कि छोटे इनपुट के लिए X का कोई बहुपदी एल्गोरिदम नहीं है
  2. Bदिखाना कि X बहुपदी समय में सत्यापित हो सकती है
  3. CX को बहुपदी समय में किसी ज्ञात NP-hard समस्या में रिड्यूस करना
  4. Dकिसी ज्ञात NP-hard समस्या को बहुपदी समय में X में रिड्यूस करना
3.डेटा संरचनाएँमध्यम

एक सड़क नेटवर्क में 100,000 जंक्शन हैं, हर एक लगभग 4 अन्य से जुड़ा है। कौन-सा निरूपण सबसे उपयुक्त है?

  1. Aशीर्षों का एक सॉर्टेड ऐरे
  2. Bएडजेसेंसी लिस्ट
  3. Cकिनारों का बाइनरी हीप
  4. Dएडजेसेंसी मैट्रिक्स
4.डेटा संरचनाएँकठिन

AVL ट्री में एक कुंजी डालने से किसी नोड का बायाँ सबट्री बहुत ऊँचा हो जाता है, और नई कुंजी उसके बाएँ चाइल्ड के बाएँ सबट्री में गई (left-left स्थिति)। कौन-सा सुधार लागू होता है?

  1. Aअसंतुलित नोड पर एक एकल बायाँ रोटेशन
  2. Bचाइल्ड पर बायाँ रोटेशन, फिर नोड पर दायाँ रोटेशन
  3. Cअसंतुलित नोड पर एक एकल दायाँ रोटेशन
  4. Dनोड और उसके चाइल्ड का रंग बदलना
5.ग्राफ़ सिद्धांतमध्यम

एक वृक्ष में घात 3 वाले 4 शीर्ष, घात 2 वाले 4 शीर्ष है, और उसके बाकी सभी शीर्ष पत्ते (घात 1) हैं। उसमें कितने पत्ते L हैं?

4 × deg 34 × deg 2
L =
6.ग्राफ़ सिद्धांतकठिन
932718118164ABCDEFG

भारित ग्राफ़ के न्यूनतम स्पैनिंग ट्री का कुल भार W ज्ञात करें।

|V| = 7|E| = 9
W =

3विलयन

1.एल्गोरिदम और जटिलता

उत्तर: D · O(V × E)

यह उत्तर क्यों है

V − 1 दौरों में से हर एक सभी E किनारों को रिलैक्स करता है, जिससे O(VE) मिलता है; बदले में यह ऋणात्मक किनारा भार सँभालता है।

उत्तर

D · O(V × E)
2.एल्गोरिदम और जटिलता

उत्तर: D · किसी ज्ञात NP-hard समस्या को बहुपदी समय में X में रिड्यूस करना

यह उत्तर क्यों है

यदि किसी ज्ञात कठिन समस्या को कुशलता से X में बदला जा सके, तो X का तेज़ एल्गोरिदम ज्ञात समस्या को भी हल कर देगा।

उत्तर

D · किसी ज्ञात NP-hard समस्या को बहुपदी समय में X में रिड्यूस करना
3.डेटा संरचनाएँ

उत्तर: B · एडजेसेंसी लिस्ट

यह उत्तर क्यों है

मैट्रिक्स को 1010 सेल चाहिए होंगे, लगभग सभी ख़ाली; एडजेसेंसी लिस्ट केवल लगभग 400,000 किनारा प्रविष्टियाँ संग्रहीत करती है।

उत्तर

B · एडजेसेंसी लिस्ट
4.डेटा संरचनाएँ

उत्तर: C · असंतुलित नोड पर एक एकल दायाँ रोटेशन

यह उत्तर क्यों है

Left-left स्थिति में एक दायाँ रोटेशन बाएँ चाइल्ड को ऊपर उठाकर संतुलन बहाल करता है; zig-zag स्थितियों में दोहरा रोटेशन चाहिए।

उत्तर

C · असंतुलित नोड पर एक एकल दायाँ रोटेशन
5.ग्राफ़ सिद्धांत

उत्तर: L = 6

यूलर, हैमिल्टन और वृक्ष: संबद्ध ग्राफ़ में यूलर परिपथ (हर कोर एक बार, शुरुआत पर वापसी) तब होता है जब हर शीर्ष की घात सम हो, और परिपथ न होने वाला यूलर पथ तब जब ठीक दो शीर्षों की घात विषम हो; तब पथ एक विषम शीर्ष से दूसरे तक चलता है। हैमिल्टन परिपथ हर शीर्ष पर एक बार जाता है; Kn में ऐसे (n − 1)!/2 होते हैं। n शीर्षों वाले वृक्ष में n − 1 कोरें होती हैं, और m कोरों वाला संबद्ध ग्राफ़ m − n + 1 कोरें हटाने के बाद स्पैनिंग ट्री रखता है।

वृक्ष के लिए हैंडशेक लेमा

L + 20 = 2(L + 8) − 2
L = 6

उत्तर

L = 6

शॉर्टकट: L = 2 + Σ (d − 2), घात d ≥ 3 वाले शीर्षों पर।

6.ग्राफ़ सिद्धांत

उत्तर: W = 36

सबसे छोटे पथ और स्पैनिंग ट्री: डाइक्स्ट्रा का एल्गोरिथ्म हर चक्र में एक शीर्ष निर्धारित करता है: सबसे छोटी अस्थायी दूरी वाला अनिर्धारित शीर्ष। तब उसकी दूरी अंतिम होती है, और हर पड़ोसी v को d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)) मिलता है। क्रुस्कल का एल्गोरिथ्म कोरों को हल्की से भारी की ओर लेकर और चक्र बनाने वाली हर कोर छोड़कर न्यूनतम स्पैनिंग ट्री बनाता है; प्रिम का एल्गोरिथ्म प्रारंभिक शीर्ष से एक वृक्ष बढ़ाता है और हमेशा उससे बाहर जाने वाली सबसे हल्की कोर जोड़ता है। n शीर्षों के स्पैनिंग ट्री में n − 1 कोरें होती हैं।

क्रुस्कल का एल्गोरिथ्म

BD (2): लें
BC (3): लें
GE (4): लें
CE (7): लें
GC (8): छोड़ें, चक्र बनता है
AB (9): लें
EF (11): लें

कुल भार

W = 2 + 3 + 4 + 7 + 9 + 11 = 36

उत्तर

W = 36

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