डेटा संरचना और एल्गोरिदम: क्रैम पैक

सूत्र-पत्रक, हर विषय के मुख्य विधि-चरण और 6 अभ्यास प्रश्न, पूरे हल पीछे दिए गए हैं।

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1सूत्र और विधियाँ

ग्राफ़ सिद्धांत

हैंडशेक लेमा
Σ deg(v) = 2|E|
पूर्ण ग्राफ़
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
नियमित ग्राफ़
|E| = n·k/2
वृक्ष और वन
|E| = n − 1, |E| = n − c
वृक्ष के पत्ते
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
यूलर
परिपथ: सभी घात सम; पथ: ठीक 2 घात विषम
Kn में हैमिल्टन परिपथ
(n − 1)!/2
डाइक्स्ट्रा अद्यतन
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
लंबाई L की वॉक
(Mᴸ)ij

विधि

  1. हर शीर्ष की घात लिखें; घातों का योग कोरों की संख्या का दोगुना होता है।
  2. यूलर के प्रश्नों में जाँचें कि ग्राफ़ संबद्ध है और विषम घात वाले शीर्षों को गिनें।
  3. वृक्षों के लिए n − 1 कोरों और हैंडशेक लेमा का उपयोग करें।
  4. डाइक्स्ट्रा के लिए अस्थायी दूरियों की सारणी रखें और हर चक्र में सबसे छोटी दूरी वाले अनिर्धारित शीर्ष को निर्धारित करें।
  5. न्यूनतम स्पैनिंग ट्री के लिए कोरों को भार के अनुसार क्रमबद्ध करें और चक्र बनाने वाली हर कोर छोड़ दें (क्रुस्कल), या किसी प्रारंभिक शीर्ष से एक वृक्ष बढ़ाएँ (प्रिम)।

2अभ्यास प्रश्न

1.एल्गोरिदम और जटिलतामध्यम

एमॉर्टाइज़्ड विश्लेषण (amortised analysis) क्या मापता है?

  1. Aयादृच्छिक इनपुट पर अपेक्षित लागत
  2. Bपूरे अनुक्रम में कहीं भी अकेले सबसे महँगे ऑपरेशन की लागत
  3. Cऑपरेशनों के वर्स्ट-केस अनुक्रम पर प्रति ऑपरेशन औसत लागत
  4. Dसबसे अच्छे इनपुट पर एल्गोरिदम की लागत
2.एल्गोरिदम और जटिलताकठिन

बाइनरी काउंटर को बढ़ाने (increment) की एमॉर्टाइज़्ड लागत क्या है, यह देखते हुए कि एक वृद्धि कई बिट पलट सकती है?

  1. Aप्रति वृद्धि O(log n)
  2. Bप्रति वृद्धि O(n)
  3. Cप्रति वृद्धि O(1)
  4. Dप्रति वृद्धि O(n log n)
3.डेटा संरचनाएँमध्यम

बाइनरी सर्च ट्री का in-order ट्रैवर्सल कुंजियों को किस क्रम में देखता है?

  1. Aहमेशा अवरोही क्रम में
  2. Bइंसर्शन के क्रम में
  3. Cआरोही क्रमबद्ध क्रम में
  4. Dस्तर क्रम (level order) में
4.डेटा संरचनाएँकठिन

ओपन एड्रेसिंग वाली हैश टेबल में डिलीशन अक्सर "टॉम्बस्टोन" चिह्न से क्यों किया जाता है?

  1. Aसुरक्षा के लिए हटाई गई कुंजियाँ हमेशा रखनी पड़ती हैं, इसलिए स्लॉट दोबारा उपयोग नहीं हो सकते
  2. Bटॉम्बस्टोन हैशिंग को तेज़ करते हैं
  3. Cस्लॉट खाली करने से अन्य कुंजियों का प्रोब अनुक्रम टूट सकता है
  4. Dइससे टेबल क्रमबद्ध हो जाती है
5.ग्राफ़ सिद्धांतमध्यम

एक वृक्ष में घात 3 वाले 4 शीर्ष है, और उसके बाकी सभी शीर्ष पत्ते (घात 1) हैं। उसमें कितने पत्ते L हैं?

4 × deg 3
L =
6.ग्राफ़ सिद्धांतकठिन
191751671439ABCDEF

प्रिम का एल्गोरिथ्म शीर्ष A से शुरू करके न्यूनतम स्पैनिंग ट्री बनाता है। उस कोर पर क्लिक करें जिसे वह कोर संख्या 5 के रूप में जोड़ता है।

प्रारंभ: Ak = 5
  1. 1कोर AB
  2. 2कोर AC
  3. 3कोर BC
  4. 4कोर BD
  5. 5कोर DE
  6. 6कोर DF
  7. 7कोर EF
  8. 8कोर BE

3विलयन

1.एल्गोरिदम और जटिलता

उत्तर: C · ऑपरेशनों के वर्स्ट-केस अनुक्रम पर प्रति ऑपरेशन औसत लागत

यह उत्तर क्यों है

एमॉर्टाइज़्ड विश्लेषण दुर्लभ महँगे ऑपरेशनों की लागत को कई सस्ते ऑपरेशनों पर फैलाता है, जिससे किसी भी अनुक्रम के लिए गारंटीशुदा औसत मिलता है।

उत्तर

C · ऑपरेशनों के वर्स्ट-केस अनुक्रम पर प्रति ऑपरेशन औसत लागत
2.एल्गोरिदम और जटिलता

उत्तर: C · प्रति वृद्धि O(1)

यह उत्तर क्यों है

n वृद्धियों में बिट i लगभग n / 2ⁱ बार पलटता है, इसलिए कुल 2n से कम पलटाव होते हैं, यानी प्रति वृद्धि औसत O(1)।

उत्तर

C · प्रति वृद्धि O(1)
3.डेटा संरचनाएँ

उत्तर: C · आरोही क्रमबद्ध क्रम में

यह उत्तर क्यों है

पहले बाएँ सबट्री, फिर नोड, फिर दाएँ सबट्री पर जाने से BST की कुंजियाँ क्रमबद्ध क्रम में मिलती हैं।

उत्तर

C · आरोही क्रमबद्ध क्रम में
4.डेटा संरचनाएँ

उत्तर: C · स्लॉट खाली करने से अन्य कुंजियों का प्रोब अनुक्रम टूट सकता है

यह उत्तर क्यों है

यदि हटाया गया स्लॉट खाली हो जाए, तो बाद की खोजें जल्दी रुक सकती हैं और प्रोब श्रृंखला में आगे रखी गई कुंजियाँ छूट सकती हैं।

उत्तर

C · स्लॉट खाली करने से अन्य कुंजियों का प्रोब अनुक्रम टूट सकता है
5.ग्राफ़ सिद्धांत

उत्तर: L = 6

यूलर, हैमिल्टन और वृक्ष: संबद्ध ग्राफ़ में यूलर परिपथ (हर कोर एक बार, शुरुआत पर वापसी) तब होता है जब हर शीर्ष की घात सम हो, और परिपथ न होने वाला यूलर पथ तब जब ठीक दो शीर्षों की घात विषम हो; तब पथ एक विषम शीर्ष से दूसरे तक चलता है। हैमिल्टन परिपथ हर शीर्ष पर एक बार जाता है; Kn में ऐसे (n − 1)!/2 होते हैं। n शीर्षों वाले वृक्ष में n − 1 कोरें होती हैं, और m कोरों वाला संबद्ध ग्राफ़ m − n + 1 कोरें हटाने के बाद स्पैनिंग ट्री रखता है।

वृक्ष के लिए हैंडशेक लेमा

L + 12 = 2(L + 4) − 2
L = 6

उत्तर

L = 6

शॉर्टकट: L = 2 + Σ (d − 2), घात d ≥ 3 वाले शीर्षों पर।

6.ग्राफ़ सिद्धांत

उत्तर: कोर DE

सबसे छोटे पथ और स्पैनिंग ट्री: डाइक्स्ट्रा का एल्गोरिथ्म हर चक्र में एक शीर्ष निर्धारित करता है: सबसे छोटी अस्थायी दूरी वाला अनिर्धारित शीर्ष। तब उसकी दूरी अंतिम होती है, और हर पड़ोसी v को d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)) मिलता है। क्रुस्कल का एल्गोरिथ्म कोरों को हल्की से भारी की ओर लेकर और चक्र बनाने वाली हर कोर छोड़कर न्यूनतम स्पैनिंग ट्री बनाता है; प्रिम का एल्गोरिथ्म प्रारंभिक शीर्ष से एक वृक्ष बढ़ाता है और हमेशा उससे बाहर जाने वाली सबसे हल्की कोर जोड़ता है। n शीर्षों के स्पैनिंग ट्री में n − 1 कोरें होती हैं।

प्रिम का एल्गोरिथ्म

1. AC (17)
2. BC (5)
3. BE (9)
4. EF (3)
5. DE (7)

कोर संख्या 5

DE

उत्तर

कोर DE

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