डेटा संरचना और एल्गोरिदम: क्रैम पैक

सूत्र-पत्रक, हर विषय के मुख्य विधि-चरण और 6 अभ्यास प्रश्न, पूरे हल पीछे दिए गए हैं।

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1सूत्र और विधियाँ

ग्राफ़ सिद्धांत

हैंडशेक लेमा
Σ deg(v) = 2|E|
पूर्ण ग्राफ़
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
नियमित ग्राफ़
|E| = n·k/2
वृक्ष और वन
|E| = n − 1, |E| = n − c
वृक्ष के पत्ते
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
यूलर
परिपथ: सभी घात सम; पथ: ठीक 2 घात विषम
Kn में हैमिल्टन परिपथ
(n − 1)!/2
डाइक्स्ट्रा अद्यतन
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
लंबाई L की वॉक
(Mᴸ)ij

विधि

  1. हर शीर्ष की घात लिखें; घातों का योग कोरों की संख्या का दोगुना होता है।
  2. यूलर के प्रश्नों में जाँचें कि ग्राफ़ संबद्ध है और विषम घात वाले शीर्षों को गिनें।
  3. वृक्षों के लिए n − 1 कोरों और हैंडशेक लेमा का उपयोग करें।
  4. डाइक्स्ट्रा के लिए अस्थायी दूरियों की सारणी रखें और हर चक्र में सबसे छोटी दूरी वाले अनिर्धारित शीर्ष को निर्धारित करें।
  5. न्यूनतम स्पैनिंग ट्री के लिए कोरों को भार के अनुसार क्रमबद्ध करें और चक्र बनाने वाली हर कोर छोड़ दें (क्रुस्कल), या किसी प्रारंभिक शीर्ष से एक वृक्ष बढ़ाएँ (प्रिम)।

2अभ्यास प्रश्न

1.एल्गोरिदम और जटिलतामध्यम

कई लाइब्रेरी सॉर्टिंग रूटीन बहुत छोटे सबऐरे के लिए इंसर्शन सॉर्ट पर क्यों चली जाती हैं?

  1. Aइंसर्शन सॉर्ट का ओवरहेड कम है और यह छोटे या लगभग सॉर्टेड इनपुट पर तेज़ है
  2. Bबड़े इनपुट पर इंसर्शन सॉर्ट किसी भी अन्य सॉर्टिंग एल्गोरिदम से कम मेमोरी उपयोग करता है
  3. Cरिकर्सिव एल्गोरिदम 10 से कम तत्वों वाले ऐरे नहीं सँभाल सकते
  4. Dइंसर्शन सॉर्ट वर्स्ट केस में O(n log n) है
2.एल्गोरिदम और जटिलताकठिन

बॉटम-अप विधि से n अनसॉर्टेड तत्वों से बाइनरी हीप बनाने की टाइम कॉम्प्लेक्सिटी क्या है?

  1. AO(log n)
  2. BO(n log n)
  3. CO(n)
  4. DO(n²)
3.डेटा संरचनाएँमध्यम

डाइकस्ट्रा का एल्गोरिदम संसाधित करने के लिए अगला शीर्ष चुनने में कौन-सा अमूर्त डेटा प्रकार उपयोग करता है?

  1. Aबिना क्रम का सेट
  2. Bस्टैक
  3. CFIFO क्यू
  4. Dमिन-प्रायोरिटी क्यू
4.डेटा संरचनाएँकठिन

O(1) अतिरिक्त मेमोरी से कैसे पता लगाएँ कि सिंगली लिंक्ड लिस्ट में चक्र है या नहीं?

  1. Aएक पॉइंटर को एक क़दम और दूसरे को दो क़दम चलाएँ और देखें कि वे मिलते हैं या नहीं
  2. Bनोड तब तक गिनें जब तक गिनती लिस्ट-लंबाई फ़ील्ड से अधिक न हो जाए
  3. Cलिस्ट सॉर्ट करके दोहराव खोजें
  4. Dहर देखे गए नोड को एक हैश सेट में संग्रहीत करें
5.ग्राफ़ सिद्धांतमध्यम

पूर्ण ग्राफ़ K8 में कितने भिन्न हैमिल्टन परिपथ H हैं? जो परिपथ केवल प्रारंभिक शीर्ष या दिशा में भिन्न हों, उन्हें एक ही गिना जाता है।

K8
H =
6.ग्राफ़ सिद्धांतकठिन
27410144814141012ABCDEFG

भारित ग्राफ़ में A से E तक के सबसे छोटे पथ की लंबाई d(E) डाइक्स्ट्रा के एल्गोरिथ्म से ज्ञात करें।

प्रारंभ: Aअंत: E
d(E) =

3विलयन

1.एल्गोरिदम और जटिलता

उत्तर: A · इंसर्शन सॉर्ट का ओवरहेड कम है और यह छोटे या लगभग सॉर्टेड इनपुट पर तेज़ है

यह उत्तर क्यों है

छोटे n के लिए इंसर्शन सॉर्ट का सरल लूप क्विकसॉर्ट या मर्ज सॉर्ट के रिकर्शन ओवरहेड को पीछे छोड़ देता है, भले ही वह O(n²) हो।

उत्तर

A · इंसर्शन सॉर्ट का ओवरहेड कम है और यह छोटे या लगभग सॉर्टेड इनपुट पर तेज़ है
2.एल्गोरिदम और जटिलता

उत्तर: C · O(n)

यह उत्तर क्यों है

सभी स्तरों पर sift-down लागतों का योग एक अभिसारी श्रेणी देता है, इसलिए heapify रैखिक समय में चलता है।

उत्तर

C · O(n)
3.डेटा संरचनाएँ

उत्तर: D · मिन-प्रायोरिटी क्यू

यह उत्तर क्यों है

मिन-प्रायोरिटी क्यू, सामान्यतः बाइनरी हीप, सबसे छोटी दूरी वाला अनदेखा शीर्ष कुशलता से लौटाती है।

उत्तर

D · मिन-प्रायोरिटी क्यू
4.डेटा संरचनाएँ

उत्तर: A · एक पॉइंटर को एक क़दम और दूसरे को दो क़दम चलाएँ और देखें कि वे मिलते हैं या नहीं

यह उत्तर क्यों है

फ़्लॉयड के एल्गोरिदम में चक्र होने पर तेज़ पॉइंटर अंततः धीमे को पकड़ लेता है; अन्यथा तेज़ पॉइंटर null तक पहुँच जाता है।

उत्तर

A · एक पॉइंटर को एक क़दम और दूसरे को दो क़दम चलाएँ और देखें कि वे मिलते हैं या नहीं
5.ग्राफ़ सिद्धांत

उत्तर: H = 2520

यूलर, हैमिल्टन और वृक्ष: संबद्ध ग्राफ़ में यूलर परिपथ (हर कोर एक बार, शुरुआत पर वापसी) तब होता है जब हर शीर्ष की घात सम हो, और परिपथ न होने वाला यूलर पथ तब जब ठीक दो शीर्षों की घात विषम हो; तब पथ एक विषम शीर्ष से दूसरे तक चलता है। हैमिल्टन परिपथ हर शीर्ष पर एक बार जाता है; Kn में ऐसे (n − 1)!/2 होते हैं। n शीर्षों वाले वृक्ष में n − 1 कोरें होती हैं, और m कोरों वाला संबद्ध ग्राफ़ m − n + 1 कोरें हटाने के बाद स्पैनिंग ट्री रखता है।

गिनें

H = (8 − 1)!/2 = 5040/2 = 2520

उत्तर

H = 2520
6.ग्राफ़ सिद्धांत

उत्तर: d(E) = 16

सबसे छोटे पथ और स्पैनिंग ट्री: डाइक्स्ट्रा का एल्गोरिथ्म हर चक्र में एक शीर्ष निर्धारित करता है: सबसे छोटी अस्थायी दूरी वाला अनिर्धारित शीर्ष। तब उसकी दूरी अंतिम होती है, और हर पड़ोसी v को d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)) मिलता है। क्रुस्कल का एल्गोरिथ्म कोरों को हल्की से भारी की ओर लेकर और चक्र बनाने वाली हर कोर छोड़कर न्यूनतम स्पैनिंग ट्री बनाता है; प्रिम का एल्गोरिथ्म प्रारंभिक शीर्ष से एक वृक्ष बढ़ाता है और हमेशा उससे बाहर जाने वाली सबसे हल्की कोर जोड़ता है। n शीर्षों के स्पैनिंग ट्री में n − 1 कोरें होती हैं।

डाइक्स्ट्रा चक्र-दर-चक्र

हर पंक्ति: निर्धारित शीर्ष, उसकी अंतिम दूरी, और वे पड़ोसी जिनकी दूरी सुधरती है।

A (0): B: 2, C: 7
B (2): C: 6, D: 12, G: 16
C (6): E: 20
D (12): E: 16, F: 20
E (16)
G (16)
F (20)

सबसे छोटा पथ

A → B → D → E
d(E) = 16

उत्तर

d(E) = 16

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