डेटा संरचना और एल्गोरिदम: क्रैम पैक

सूत्र-पत्रक, हर विषय के मुख्य विधि-चरण और 6 अभ्यास प्रश्न, पूरे हल पीछे दिए गए हैं।

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1सूत्र और विधियाँ

ग्राफ़ सिद्धांत

हैंडशेक लेमा
Σ deg(v) = 2|E|
पूर्ण ग्राफ़
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
नियमित ग्राफ़
|E| = n·k/2
वृक्ष और वन
|E| = n − 1, |E| = n − c
वृक्ष के पत्ते
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
यूलर
परिपथ: सभी घात सम; पथ: ठीक 2 घात विषम
Kn में हैमिल्टन परिपथ
(n − 1)!/2
डाइक्स्ट्रा अद्यतन
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
लंबाई L की वॉक
(Mᴸ)ij

विधि

  1. हर शीर्ष की घात लिखें; घातों का योग कोरों की संख्या का दोगुना होता है।
  2. यूलर के प्रश्नों में जाँचें कि ग्राफ़ संबद्ध है और विषम घात वाले शीर्षों को गिनें।
  3. वृक्षों के लिए n − 1 कोरों और हैंडशेक लेमा का उपयोग करें।
  4. डाइक्स्ट्रा के लिए अस्थायी दूरियों की सारणी रखें और हर चक्र में सबसे छोटी दूरी वाले अनिर्धारित शीर्ष को निर्धारित करें।
  5. न्यूनतम स्पैनिंग ट्री के लिए कोरों को भार के अनुसार क्रमबद्ध करें और चक्र बनाने वाली हर कोर छोड़ दें (क्रुस्कल), या किसी प्रारंभिक शीर्ष से एक वृक्ष बढ़ाएँ (प्रिम)।

2अभ्यास प्रश्न

1.एल्गोरिदम और जटिलतामध्यम

एक सॉर्टेड ऐरे में आप दोनों सिरों से एक-एक पॉइंटर को भीतर की ओर खिसकाते हुए ऐसे दो तत्व खोजते हैं जिनका योग लक्ष्य के बराबर हो। टाइम कॉम्प्लेक्सिटी क्या है?

  1. AO(log n)
  2. BO(n log n)
  3. CO(n)
  4. DO(n²)
2.एल्गोरिदम और जटिलताकठिन

टोपोलॉजिकल सॉर्टिंग केवल किसके लिए संभव है?

  1. Aअनडायरेक्टेड ग्राफ़
  2. Bडायरेक्टेड एसाइक्लिक ग्राफ़ (DAG)
  3. Cकम्प्लीट ग्राफ़
  4. Dऋणात्मक वेट वाले ग्राफ़
3.डेटा संरचनाएँमध्यम

लिंक्ड लिस्ट में सेंटिनल (डमी) नोड का उद्देश्य क्या है?

  1. Aलिस्ट को नोडों की एक निश्चित अधिकतम संख्या से आगे बढ़ने से रोकना
  2. Bलिस्ट को सॉर्टेड बनाना
  3. Cतत्वों की संख्या संग्रहीत करना
  4. Dहेड या टेल पर विशेष मामलों को हटाकर कोड को सरल बनाना
4.डेटा संरचनाएँकठिन

डेटाबेस और फ़ाइल सिस्टम में B-ट्री का उपयोग क्यों किया जाता है?

  1. Aउन्हें पुनर्संतुलन की आवश्यकता नहीं होती
  2. Bवे डेटा को अक्रमबद्ध संग्रहीत करते हैं
  3. Cवे किसी भी ऐरे से कम मेमोरी लेते हैं, इसलिए पूरा इंडेक्स हमेशा मुख्य मेमोरी में समा जाता है
  4. Dउनका उच्च ब्रांचिंग फ़ैक्टर ट्री को उथला रखता है, जिससे धीमी डिस्क रीड कम होती हैं
5.ग्राफ़ सिद्धांतमध्यम

एक संबद्ध ग्राफ़ में 7 शीर्ष और 15 कोरें हैं। स्पैनिंग ट्री बचाने के लिए कितनी कोरें k हटानी होंगी?

|V| = 7|E| = 15
k =
6.ग्राफ़ सिद्धांतकठिन
3178151213719ABCDEF

भारित ग्राफ़ के न्यूनतम स्पैनिंग ट्री का कुल भार W ज्ञात करें।

|V| = 6|E| = 8
W =

3विलयन

1.एल्गोरिदम और जटिलता

उत्तर: C · O(n)

यह उत्तर क्यों है

यदि योग बहुत छोटा हो तो बायाँ पॉइंटर दाएँ खिसकता है, बहुत बड़ा हो तो दायाँ पॉइंटर बाएँ, इसलिए अधिकतम n चरण होते हैं।

उत्तर

C · O(n)
2.एल्गोरिदम और जटिलता

उत्तर: B · डायरेक्टेड एसाइक्लिक ग्राफ़ (DAG)

यह उत्तर क्यों है

टोपोलॉजिकल क्रम तभी और केवल तभी मौजूद होता है जब डायरेक्टेड ग्राफ़ में कोई चक्र न हो; इसे DFS या Kahn के एल्गोरिदम से O(V + E) में खोजा जा सकता है।

उत्तर

B · डायरेक्टेड एसाइक्लिक ग्राफ़ (DAG)
3.डेटा संरचनाएँ

उत्तर: D · हेड या टेल पर विशेष मामलों को हटाकर कोड को सरल बनाना

यह उत्तर क्यों है

सेंटिनल के साथ हर वास्तविक नोड का एक पूर्ववर्ती होता है, इसलिए हेड पर डालने या हटाने के लिए विशेष व्यवहार की आवश्यकता नहीं होती।

उत्तर

D · हेड या टेल पर विशेष मामलों को हटाकर कोड को सरल बनाना
4.डेटा संरचनाएँ

उत्तर: D · उनका उच्च ब्रांचिंग फ़ैक्टर ट्री को उथला रखता है, जिससे धीमी डिस्क रीड कम होती हैं

यह उत्तर क्यों है

B-ट्री प्रति नोड कई कुंजियाँ रखते हैं, इसलिए ऊँचाई कम होती है और प्रति लुकअप कम ब्लॉक रीड चाहिए; B+ ट्री रेंज स्कैन के लिए पत्तियों को भी जोड़ते हैं।

उत्तर

D · उनका उच्च ब्रांचिंग फ़ैक्टर ट्री को उथला रखता है, जिससे धीमी डिस्क रीड कम होती हैं
5.ग्राफ़ सिद्धांत

उत्तर: k = 9

यूलर, हैमिल्टन और वृक्ष: संबद्ध ग्राफ़ में यूलर परिपथ (हर कोर एक बार, शुरुआत पर वापसी) तब होता है जब हर शीर्ष की घात सम हो, और परिपथ न होने वाला यूलर पथ तब जब ठीक दो शीर्षों की घात विषम हो; तब पथ एक विषम शीर्ष से दूसरे तक चलता है। हैमिल्टन परिपथ हर शीर्ष पर एक बार जाता है; Kn में ऐसे (n − 1)!/2 होते हैं। n शीर्षों वाले वृक्ष में n − 1 कोरें होती हैं, और m कोरों वाला संबद्ध ग्राफ़ m − n + 1 कोरें हटाने के बाद स्पैनिंग ट्री रखता है।

स्पैनिंग ट्री की कोरें

7 − 1 = 6

हटाई जाने वाली कोरें

k = 15 − 6 = 9

उत्तर

k = 9
6.ग्राफ़ सिद्धांत

उत्तर: W = 45

सबसे छोटे पथ और स्पैनिंग ट्री: डाइक्स्ट्रा का एल्गोरिथ्म हर चक्र में एक शीर्ष निर्धारित करता है: सबसे छोटी अस्थायी दूरी वाला अनिर्धारित शीर्ष। तब उसकी दूरी अंतिम होती है, और हर पड़ोसी v को d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)) मिलता है। क्रुस्कल का एल्गोरिथ्म कोरों को हल्की से भारी की ओर लेकर और चक्र बनाने वाली हर कोर छोड़कर न्यूनतम स्पैनिंग ट्री बनाता है; प्रिम का एल्गोरिथ्म प्रारंभिक शीर्ष से एक वृक्ष बढ़ाता है और हमेशा उससे बाहर जाने वाली सबसे हल्की कोर जोड़ता है। n शीर्षों के स्पैनिंग ट्री में n − 1 कोरें होती हैं।

क्रुस्कल का एल्गोरिथ्म

AB (3): लें
EF (7): लें
BC (8): लें
DE (12): लें
DF (13): छोड़ें, चक्र बनता है
CE (15): लें

कुल भार

W = 3 + 7 + 8 + 12 + 15 = 45

उत्तर

W = 45

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