डेटा संरचना और एल्गोरिदम: क्रैम पैक

सूत्र-पत्रक, हर विषय के मुख्य विधि-चरण और 6 अभ्यास प्रश्न, पूरे हल पीछे दिए गए हैं।

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1सूत्र और विधियाँ

ग्राफ़ सिद्धांत

हैंडशेक लेमा
Σ deg(v) = 2|E|
पूर्ण ग्राफ़
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
नियमित ग्राफ़
|E| = n·k/2
वृक्ष और वन
|E| = n − 1, |E| = n − c
वृक्ष के पत्ते
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
यूलर
परिपथ: सभी घात सम; पथ: ठीक 2 घात विषम
Kn में हैमिल्टन परिपथ
(n − 1)!/2
डाइक्स्ट्रा अद्यतन
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
लंबाई L की वॉक
(Mᴸ)ij

विधि

  1. हर शीर्ष की घात लिखें; घातों का योग कोरों की संख्या का दोगुना होता है।
  2. यूलर के प्रश्नों में जाँचें कि ग्राफ़ संबद्ध है और विषम घात वाले शीर्षों को गिनें।
  3. वृक्षों के लिए n − 1 कोरों और हैंडशेक लेमा का उपयोग करें।
  4. डाइक्स्ट्रा के लिए अस्थायी दूरियों की सारणी रखें और हर चक्र में सबसे छोटी दूरी वाले अनिर्धारित शीर्ष को निर्धारित करें।
  5. न्यूनतम स्पैनिंग ट्री के लिए कोरों को भार के अनुसार क्रमबद्ध करें और चक्र बनाने वाली हर कोर छोड़ दें (क्रुस्कल), या किसी प्रारंभिक शीर्ष से एक वृक्ष बढ़ाएँ (प्रिम)।

2अभ्यास प्रश्न

1.एल्गोरिदम और जटिलतामध्यम

for i = 1 to n: (j = 1; while j < n: j = j × 2) — इसकी टाइम कॉम्प्लेक्सिटी क्या है?

  1. AO(n)
  2. BO(log n)
  3. CO(n²)
  4. DO(n log n)
2.एल्गोरिदम और जटिलताकठिन

सॉर्टेड ऐरे में किसी भी तुलना-आधारित खोज को वर्स्ट केस में Ω(log n) तुलनाएँ क्यों चाहिए?

  1. Aबाइनरी सर्च ही एकमात्र संभव एल्गोरिदम है, और उसे log₂ n तुलनाएँ चाहिए
  2. Bहर तुलना में लघुगणकीय समय लगता है
  3. Cn संभावित परिणामों वाले निर्णय वृक्ष (decision tree) की गहराई कम से कम log₂ n होनी चाहिए
  4. Dहर तत्व की कम से कम एक बार तुलना होनी चाहिए
3.डेटा संरचनाएँमध्यम

लोड फ़ैक्टर सीमा पार होने के बाद जब हैश टेबल rehash करती है, तो क्या होता है?

  1. Aकेवल टकराने वाली कुंजियाँ टेबल के अंत में एक नई ओवरफ़्लो लिस्ट में ले जाई जाती हैं
  2. Bजगह बनाने के लिए सबसे पुरानी कुंजियाँ हटा दी जाती हैं
  3. Cमौजूदा कुंजियाँ उसी स्थान पर सॉर्ट की जाती हैं
  4. Dएक बड़ी टेबल आवंटित होती है और हर कुंजी फिर से डाली जाती है
4.डेटा संरचनाएँकठिन

ट्रैवर्सलों का कौन-सा युग्म भिन्न कुंजियों वाले एक अद्वितीय बाइनरी ट्री को हमेशा निर्धारित करता है?

  1. Aकेवल प्रीऑर्डर
  2. Bकेवल लेवल-ऑर्डर
  3. Cप्रीऑर्डर और इनऑर्डर
  4. Dप्रीऑर्डर और पोस्टऑर्डर
5.ग्राफ़ सिद्धांतमध्यम
ABCDEFGयूलर परिपथयूलर पथ, परिपथ नहींदोनों में से कुछ नहीं

क्या संबद्ध ग्राफ़ में यूलर परिपथ है, परिपथ न होने वाला यूलर पथ है, या दोनों में से कुछ नहीं? अपना उत्तर क्लिक करें।

|V| = 7|E| = 10
  1. 1यूलर परिपथ
  2. 2यूलर पथ, परिपथ नहीं
  3. 3दोनों में से कुछ नहीं
6.ग्राफ़ सिद्धांतकठिन
132810111291412ABCDEFG

डाइक्स्ट्रा का एल्गोरिथ्म A से चलता है। उस शीर्ष पर क्लिक करें जो चक्र 6 में निर्धारित (स्थायी) होता है; A स्वयं चक्र 1 है।

प्रारंभ: Aचक्र 6
  1. 1A
  2. 2B
  3. 3C
  4. 4D
  5. 5E
  6. 6F
  7. 7G

3विलयन

1.एल्गोरिदम और जटिलता

उत्तर: D · O(n log n)

यह उत्तर क्यों है

n बाहरी इटरेशन में से हर एक के लिए भीतरी लूप लगभग log₂ n बार चलता है, जिससे O(n log n) मिलता है।

उत्तर

D · O(n log n)
2.एल्गोरिदम और जटिलता

उत्तर: C · n संभावित परिणामों वाले निर्णय वृक्ष (decision tree) की गहराई कम से कम log₂ n होनी चाहिए

यह उत्तर क्यों है

हर तुलना शेष संभावनाओं के समुच्चय को अधिकतम आधा करती है, इसलिए n स्थितियों में अंतर करने के लिए कम से कम log₂ n तुलनाएँ चाहिए।

उत्तर

C · n संभावित परिणामों वाले निर्णय वृक्ष (decision tree) की गहराई कम से कम log₂ n होनी चाहिए
3.डेटा संरचनाएँ

उत्तर: D · एक बड़ी टेबल आवंटित होती है और हर कुंजी फिर से डाली जाती है

यह उत्तर क्यों है

चूँकि इंडेक्स टेबल आकार के मॉड्यूलो से निकलता है, सभी कुंजियों को नई, बड़ी टेबल में rehash करना होता है; दोगुना करने पर यह एमॉर्टाइज़्ड O(1) रहता है।

उत्तर

D · एक बड़ी टेबल आवंटित होती है और हर कुंजी फिर से डाली जाती है
4.डेटा संरचनाएँ

उत्तर: C · प्रीऑर्डर और इनऑर्डर

यह उत्तर क्यों है

प्रीऑर्डर रूट देता है, और इनऑर्डर अनुक्रम में उसकी स्थिति बाएँ और दाएँ सबट्री को अलग करती है; किसी नोड का एक चाइल्ड होने पर प्रीऑर्डर और पोस्टऑर्डर अस्पष्ट होते हैं।

उत्तर

C · प्रीऑर्डर और इनऑर्डर
5.ग्राफ़ सिद्धांत

उत्तर: दोनों में से कुछ नहीं

यूलर, हैमिल्टन और वृक्ष: संबद्ध ग्राफ़ में यूलर परिपथ (हर कोर एक बार, शुरुआत पर वापसी) तब होता है जब हर शीर्ष की घात सम हो, और परिपथ न होने वाला यूलर पथ तब जब ठीक दो शीर्षों की घात विषम हो; तब पथ एक विषम शीर्ष से दूसरे तक चलता है। हैमिल्टन परिपथ हर शीर्ष पर एक बार जाता है; Kn में ऐसे (n − 1)!/2 होते हैं। n शीर्षों वाले वृक्ष में n − 1 कोरें होती हैं, और m कोरों वाला संबद्ध ग्राफ़ m − n + 1 कोरें हटाने के बाद स्पैनिंग ट्री रखता है।

घात

deg(A) = 1, deg(B) = 3, deg(C) = 4, deg(D) = 4, deg(E) = 3, deg(F) = 1, deg(G) = 4

विषम शीर्ष

A, B, E, F → 4
दोनों में से कुछ नहीं

उत्तर

दोनों में से कुछ नहीं
6.ग्राफ़ सिद्धांत

उत्तर: D

सबसे छोटे पथ और स्पैनिंग ट्री: डाइक्स्ट्रा का एल्गोरिथ्म हर चक्र में एक शीर्ष निर्धारित करता है: सबसे छोटी अस्थायी दूरी वाला अनिर्धारित शीर्ष। तब उसकी दूरी अंतिम होती है, और हर पड़ोसी v को d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)) मिलता है। क्रुस्कल का एल्गोरिथ्म कोरों को हल्की से भारी की ओर लेकर और चक्र बनाने वाली हर कोर छोड़कर न्यूनतम स्पैनिंग ट्री बनाता है; प्रिम का एल्गोरिथ्म प्रारंभिक शीर्ष से एक वृक्ष बढ़ाता है और हमेशा उससे बाहर जाने वाली सबसे हल्की कोर जोड़ता है। n शीर्षों के स्पैनिंग ट्री में n − 1 कोरें होती हैं।

डाइक्स्ट्रा चक्र-दर-चक्र

1. A (0): B: 13
2. B (13): C: 15
3. C (15): E: 23, G: 24
4. E (23): D: 33, F: 35
5. G (24)
6. D (33)
7. F (35)

चक्र 6

D

उत्तर

D

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