डेटा संरचना और एल्गोरिदम: क्रैम पैक

सूत्र-पत्रक, हर विषय के मुख्य विधि-चरण और 6 अभ्यास प्रश्न, पूरे हल पीछे दिए गए हैं।

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1सूत्र और विधियाँ

ग्राफ़ सिद्धांत

हैंडशेक लेमा
Σ deg(v) = 2|E|
पूर्ण ग्राफ़
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
नियमित ग्राफ़
|E| = n·k/2
वृक्ष और वन
|E| = n − 1, |E| = n − c
वृक्ष के पत्ते
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
यूलर
परिपथ: सभी घात सम; पथ: ठीक 2 घात विषम
Kn में हैमिल्टन परिपथ
(n − 1)!/2
डाइक्स्ट्रा अद्यतन
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
लंबाई L की वॉक
(Mᴸ)ij

विधि

  1. हर शीर्ष की घात लिखें; घातों का योग कोरों की संख्या का दोगुना होता है।
  2. यूलर के प्रश्नों में जाँचें कि ग्राफ़ संबद्ध है और विषम घात वाले शीर्षों को गिनें।
  3. वृक्षों के लिए n − 1 कोरों और हैंडशेक लेमा का उपयोग करें।
  4. डाइक्स्ट्रा के लिए अस्थायी दूरियों की सारणी रखें और हर चक्र में सबसे छोटी दूरी वाले अनिर्धारित शीर्ष को निर्धारित करें।
  5. न्यूनतम स्पैनिंग ट्री के लिए कोरों को भार के अनुसार क्रमबद्ध करें और चक्र बनाने वाली हर कोर छोड़ दें (क्रुस्कल), या किसी प्रारंभिक शीर्ष से एक वृक्ष बढ़ाएँ (प्रिम)।

2अभ्यास प्रश्न

1.एल्गोरिदम और जटिलतामध्यम

गैर-ऋणात्मक एज वेट वाले ग्राफ़ में एक स्रोत से सबसे छोटे पथ कौन-सा एल्गोरिदम खोजता है?

  1. Aहर स्थिति में Bellman–Ford आवश्यक है
  2. Bडेप्थ-फ़र्स्ट सर्च (DFS)
  3. CDijkstra का एल्गोरिदम
  4. DKruskal का एल्गोरिदम
2.एल्गोरिदम और जटिलताकठिन

little-o नोटेशन के बारे में कौन-सा कथन सही है?

  1. An = o(n²), पर n, o(n) नहीं है
  2. Bn² = o(n)
  3. Cn = o(n), क्योंकि हर फलन स्वयं का little-o है
  4. D2n = o(n), क्योंकि 2n धीरे बढ़ता है
3.डेटा संरचनाएँमध्यम

ऐरे में संग्रहीत बाइनरी min-heap (इंडेक्स 0 से शुरू) में इंडेक्स i वाले नोड के चाइल्ड कहाँ होते हैं?

  1. Ai + 1 और i + 2
  2. B2i और 2i + 1
  3. C2i + 1 और 2i + 2
  4. Di/2 और i/2 + 1
4.डेटा संरचनाएँकठिन

सेगमेंट ट्री का उपयोग आमतौर पर किसके लिए किया जाता है?

  1. Aग्राफ़ के किनारे संग्रहीत करने के लिए
  2. Bहर प्रीफ़िक्स को अलग ट्री नोड में संग्रहीत करके स्ट्रिंग्स को वर्णानुक्रम में क्रमबद्ध करने के लिए
  3. Cस्टैक लागू करने के लिए
  4. Dरेंज क्वेरी (जैसे रेंज योग) और अपडेट का O(log n) में उत्तर देने के लिए
5.ग्राफ़ सिद्धांतमध्यम

एक वृक्ष में घात 3 वाले 4 शीर्ष, घात 4 वाले 4 शीर्ष, घात 2 वाले 3 शीर्ष है, और उसके बाकी सभी शीर्ष पत्ते (घात 1) हैं। उसमें कितने पत्ते L हैं?

4 × deg 34 × deg 43 × deg 2
L =
6.ग्राफ़ सिद्धांतकठिन
85456268626ABCDEFG

डाइक्स्ट्रा का एल्गोरिथ्म A से चलता है। उस शीर्ष पर क्लिक करें जो चक्र 4 में निर्धारित (स्थायी) होता है; A स्वयं चक्र 1 है।

प्रारंभ: Aचक्र 4
  1. 1A
  2. 2B
  3. 3C
  4. 4D
  5. 5E
  6. 6F
  7. 7G

3विलयन

1.एल्गोरिदम और जटिलता

उत्तर: C · Dijkstra का एल्गोरिदम

यह उत्तर क्यों है

Dijkstra का एल्गोरिदम गैर-ऋणात्मक वेट के साथ काम करता है; Bellman–Ford ऋणात्मक वेट संभालता है; Kruskal मिनिमम स्पैनिंग ट्री बनाता है।

उत्तर

C · Dijkstra का एल्गोरिदम
2.एल्गोरिदम और जटिलता

उत्तर: A · n = o(n²), पर n, o(n) नहीं है

यह उत्तर क्यों है

f = o(g) का अर्थ है कि f(n) / g(n), 0 की ओर जाता है; n / n², 0 की ओर जाता है, पर n / n = 1 नहीं।

उत्तर

A · n = o(n²), पर n, o(n) नहीं है
3.डेटा संरचनाएँ

उत्तर: C · 2i + 1 और 2i + 2

यह उत्तर क्यों है

0-आधारित ऐरे में बायाँ चाइल्ड 2i + 1 पर, दायाँ चाइल्ड 2i + 2 पर और पैरेंट ⌊(i − 1)/2⌋ पर होता है।

उत्तर

C · 2i + 1 और 2i + 2
4.डेटा संरचनाएँ

उत्तर: D · रेंज क्वेरी (जैसे रेंज योग) और अपडेट का O(log n) में उत्तर देने के लिए

यह उत्तर क्यों है

सेगमेंट ट्री अंतरालों के समुच्चय मान संग्रहीत करता है, जिससे रेंज क्वेरी और पॉइंट अपडेट O(log n) समय में होते हैं।

उत्तर

D · रेंज क्वेरी (जैसे रेंज योग) और अपडेट का O(log n) में उत्तर देने के लिए
5.ग्राफ़ सिद्धांत

उत्तर: L = 14

यूलर, हैमिल्टन और वृक्ष: संबद्ध ग्राफ़ में यूलर परिपथ (हर कोर एक बार, शुरुआत पर वापसी) तब होता है जब हर शीर्ष की घात सम हो, और परिपथ न होने वाला यूलर पथ तब जब ठीक दो शीर्षों की घात विषम हो; तब पथ एक विषम शीर्ष से दूसरे तक चलता है। हैमिल्टन परिपथ हर शीर्ष पर एक बार जाता है; Kn में ऐसे (n − 1)!/2 होते हैं। n शीर्षों वाले वृक्ष में n − 1 कोरें होती हैं, और m कोरों वाला संबद्ध ग्राफ़ m − n + 1 कोरें हटाने के बाद स्पैनिंग ट्री रखता है।

वृक्ष के लिए हैंडशेक लेमा

L + 34 = 2(L + 11) − 2
L = 14

उत्तर

L = 14

शॉर्टकट: L = 2 + Σ (d − 2), घात d ≥ 3 वाले शीर्षों पर।

6.ग्राफ़ सिद्धांत

उत्तर: E

सबसे छोटे पथ और स्पैनिंग ट्री: डाइक्स्ट्रा का एल्गोरिथ्म हर चक्र में एक शीर्ष निर्धारित करता है: सबसे छोटी अस्थायी दूरी वाला अनिर्धारित शीर्ष। तब उसकी दूरी अंतिम होती है, और हर पड़ोसी v को d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)) मिलता है। क्रुस्कल का एल्गोरिथ्म कोरों को हल्की से भारी की ओर लेकर और चक्र बनाने वाली हर कोर छोड़कर न्यूनतम स्पैनिंग ट्री बनाता है; प्रिम का एल्गोरिथ्म प्रारंभिक शीर्ष से एक वृक्ष बढ़ाता है और हमेशा उससे बाहर जाने वाली सबसे हल्की कोर जोड़ता है। n शीर्षों के स्पैनिंग ट्री में n − 1 कोरें होती हैं।

डाइक्स्ट्रा चक्र-दर-चक्र

1. A (0): B: 8, C: 5
2. C (5): E: 11
3. B (8): D: 13, G: 14
4. E (11): F: 19
5. D (13)
6. G (14)
7. F (19)

चक्र 4

E

उत्तर

E

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