डेटा संरचना और एल्गोरिदम: क्रैम पैक

सूत्र-पत्रक, हर विषय के मुख्य विधि-चरण और 6 अभ्यास प्रश्न, पूरे हल पीछे दिए गए हैं।

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1सूत्र और विधियाँ

ग्राफ़ सिद्धांत

हैंडशेक लेमा
Σ deg(v) = 2|E|
पूर्ण ग्राफ़
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
नियमित ग्राफ़
|E| = n·k/2
वृक्ष और वन
|E| = n − 1, |E| = n − c
वृक्ष के पत्ते
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
यूलर
परिपथ: सभी घात सम; पथ: ठीक 2 घात विषम
Kn में हैमिल्टन परिपथ
(n − 1)!/2
डाइक्स्ट्रा अद्यतन
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
लंबाई L की वॉक
(Mᴸ)ij

विधि

  1. हर शीर्ष की घात लिखें; घातों का योग कोरों की संख्या का दोगुना होता है।
  2. यूलर के प्रश्नों में जाँचें कि ग्राफ़ संबद्ध है और विषम घात वाले शीर्षों को गिनें।
  3. वृक्षों के लिए n − 1 कोरों और हैंडशेक लेमा का उपयोग करें।
  4. डाइक्स्ट्रा के लिए अस्थायी दूरियों की सारणी रखें और हर चक्र में सबसे छोटी दूरी वाले अनिर्धारित शीर्ष को निर्धारित करें।
  5. न्यूनतम स्पैनिंग ट्री के लिए कोरों को भार के अनुसार क्रमबद्ध करें और चक्र बनाने वाली हर कोर छोड़ दें (क्रुस्कल), या किसी प्रारंभिक शीर्ष से एक वृक्ष बढ़ाएँ (प्रिम)।

2अभ्यास प्रश्न

1.एल्गोरिदम और जटिलतामध्यम

m और n लंबाई की स्ट्रिंग्स के लॉन्गेस्ट कॉमन सबसीक्वेंस के लिए मानक डायनेमिक प्रोग्रामिंग एल्गोरिदम की टाइम कॉम्प्लेक्सिटी क्या है?

  1. AO(mn log n)
  2. BO(m + n)
  3. CO(2m+n)
  4. DO(mn)
2.एल्गोरिदम और जटिलताकठिन

स्ट्रासेन का एल्गोरिदम आधे आकार के ब्लॉकों के 8 के बजाय 7 रिकर्सिव गुणनों से मैट्रिक्स गुणा करता है। इसका रनिंग टाइम क्या है?

  1. AΘ(n² log n)
  2. BΘ(n³)
  3. CΘ(nlog₂ 7), लगभग n2.81
  4. DΘ(n2)
3.डेटा संरचनाएँमध्यम

ट्राई (प्रीफ़िक्स ट्री) विशेष रूप से किसके लिए कुशल है?

  1. Aमैट्रिक्स संग्रहीत करने के लिए
  2. Bसंख्याओं को क्रमबद्ध करने के लिए
  3. Cसबसे छोटे पथ खोजने के लिए
  4. Dऑटोकम्प्लीट जैसी प्रीफ़िक्स खोजों के लिए
4.डेटा संरचनाएँकठिन

सेगमेंट ट्री का उपयोग आमतौर पर किसके लिए किया जाता है?

  1. Aग्राफ़ के किनारे संग्रहीत करने के लिए
  2. Bरेंज क्वेरी (जैसे रेंज योग) और अपडेट का O(log n) में उत्तर देने के लिए
  3. Cस्टैक लागू करने के लिए
  4. Dहर प्रीफ़िक्स को अलग ट्री नोड में संग्रहीत करके स्ट्रिंग्स को वर्णानुक्रम में क्रमबद्ध करने के लिए
5.ग्राफ़ सिद्धांतमध्यम

एक वृक्ष में घात 3 वाले 3 शीर्ष, घात 5 वाले 3 शीर्ष, घात 2 वाले 2 शीर्ष है, और उसके बाकी सभी शीर्ष पत्ते (घात 1) हैं। उसमें कितने पत्ते L हैं?

3 × deg 33 × deg 52 × deg 2
L =
6.ग्राफ़ सिद्धांतकठिन
1095151432510ABCDEFG

डाइक्स्ट्रा का एल्गोरिथ्म A से चलता है। उस शीर्ष पर क्लिक करें जो चक्र 3 में निर्धारित (स्थायी) होता है; A स्वयं चक्र 1 है।

प्रारंभ: Aचक्र 3
  1. 1A
  2. 2B
  3. 3C
  4. 4D
  5. 5E
  6. 6F
  7. 7G

3विलयन

1.एल्गोरिदम और जटिलता

उत्तर: D · O(mn)

यह उत्तर क्यों है

तालिका में (m + 1)(n + 1) सेल होते हैं और हर एक की गणना उसके पड़ोसियों से O(1) में होती है।

उत्तर

D · O(mn)
2.एल्गोरिदम और जटिलता

उत्तर: C · Θ(nlog₂ 7), लगभग n2.81

यह उत्तर क्यों है

a = 7 और b = 2 के साथ nlog₂ 7, O(n²) जोड़ कार्य पर प्रभावी होता है, जिससे लगभग n2.81 मिलता है।

उत्तर

C · Θ(nlog₂ 7), लगभग n2.81
3.डेटा संरचनाएँ

उत्तर: D · ऑटोकम्प्लीट जैसी प्रीफ़िक्स खोजों के लिए

यह उत्तर क्यों है

ट्राई स्ट्रिंग्स को पथों के साथ अक्षरों के रूप में संग्रहीत करता है, इसलिए लुकअप और प्रीफ़िक्स क्वेरी में कुंजी की लंबाई के अनुपात में समय लगता है।

उत्तर

D · ऑटोकम्प्लीट जैसी प्रीफ़िक्स खोजों के लिए
4.डेटा संरचनाएँ

उत्तर: B · रेंज क्वेरी (जैसे रेंज योग) और अपडेट का O(log n) में उत्तर देने के लिए

यह उत्तर क्यों है

सेगमेंट ट्री अंतरालों के समुच्चय मान संग्रहीत करता है, जिससे रेंज क्वेरी और पॉइंट अपडेट O(log n) समय में होते हैं।

उत्तर

B · रेंज क्वेरी (जैसे रेंज योग) और अपडेट का O(log n) में उत्तर देने के लिए
5.ग्राफ़ सिद्धांत

उत्तर: L = 14

यूलर, हैमिल्टन और वृक्ष: संबद्ध ग्राफ़ में यूलर परिपथ (हर कोर एक बार, शुरुआत पर वापसी) तब होता है जब हर शीर्ष की घात सम हो, और परिपथ न होने वाला यूलर पथ तब जब ठीक दो शीर्षों की घात विषम हो; तब पथ एक विषम शीर्ष से दूसरे तक चलता है। हैमिल्टन परिपथ हर शीर्ष पर एक बार जाता है; Kn में ऐसे (n − 1)!/2 होते हैं। n शीर्षों वाले वृक्ष में n − 1 कोरें होती हैं, और m कोरों वाला संबद्ध ग्राफ़ m − n + 1 कोरें हटाने के बाद स्पैनिंग ट्री रखता है।

वृक्ष के लिए हैंडशेक लेमा

L + 28 = 2(L + 8) − 2
L = 14

उत्तर

L = 14

शॉर्टकट: L = 2 + Σ (d − 2), घात d ≥ 3 वाले शीर्षों पर।

6.ग्राफ़ सिद्धांत

उत्तर: G

सबसे छोटे पथ और स्पैनिंग ट्री: डाइक्स्ट्रा का एल्गोरिथ्म हर चक्र में एक शीर्ष निर्धारित करता है: सबसे छोटी अस्थायी दूरी वाला अनिर्धारित शीर्ष। तब उसकी दूरी अंतिम होती है, और हर पड़ोसी v को d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)) मिलता है। क्रुस्कल का एल्गोरिथ्म कोरों को हल्की से भारी की ओर लेकर और चक्र बनाने वाली हर कोर छोड़कर न्यूनतम स्पैनिंग ट्री बनाता है; प्रिम का एल्गोरिथ्म प्रारंभिक शीर्ष से एक वृक्ष बढ़ाता है और हमेशा उससे बाहर जाने वाली सबसे हल्की कोर जोड़ता है। n शीर्षों के स्पैनिंग ट्री में n − 1 कोरें होती हैं।

डाइक्स्ट्रा चक्र-दर-चक्र

1. A (0): C: 10
2. C (10): B: 19, G: 12
3. G (12): B: 15, D: 17, E: 22
4. B (15)
5. D (17): F: 31
6. E (22)
7. F (31)

चक्र 3

G

उत्तर

G

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