डेटा संरचना और एल्गोरिदम: क्रैम पैक

सूत्र-पत्रक, हर विषय के मुख्य विधि-चरण और 6 अभ्यास प्रश्न, पूरे हल पीछे दिए गए हैं।

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1सूत्र और विधियाँ

ग्राफ़ सिद्धांत

हैंडशेक लेमा
Σ deg(v) = 2|E|
पूर्ण ग्राफ़
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
नियमित ग्राफ़
|E| = n·k/2
वृक्ष और वन
|E| = n − 1, |E| = n − c
वृक्ष के पत्ते
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
यूलर
परिपथ: सभी घात सम; पथ: ठीक 2 घात विषम
Kn में हैमिल्टन परिपथ
(n − 1)!/2
डाइक्स्ट्रा अद्यतन
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
लंबाई L की वॉक
(Mᴸ)ij

विधि

  1. हर शीर्ष की घात लिखें; घातों का योग कोरों की संख्या का दोगुना होता है।
  2. यूलर के प्रश्नों में जाँचें कि ग्राफ़ संबद्ध है और विषम घात वाले शीर्षों को गिनें।
  3. वृक्षों के लिए n − 1 कोरों और हैंडशेक लेमा का उपयोग करें।
  4. डाइक्स्ट्रा के लिए अस्थायी दूरियों की सारणी रखें और हर चक्र में सबसे छोटी दूरी वाले अनिर्धारित शीर्ष को निर्धारित करें।
  5. न्यूनतम स्पैनिंग ट्री के लिए कोरों को भार के अनुसार क्रमबद्ध करें और चक्र बनाने वाली हर कोर छोड़ दें (क्रुस्कल), या किसी प्रारंभिक शीर्ष से एक वृक्ष बढ़ाएँ (प्रिम)।

2अभ्यास प्रश्न

1.एल्गोरिदम और जटिलतामध्यम

एक ग्रीडी एल्गोरिदम (greedy algorithm):

  1. Aहर संभव समाधान आज़माता है
  2. Bहमेशा इष्टतम समाधान देता है
  3. Cहर चरण में स्थानीय रूप से सर्वोत्तम विकल्प चुनता है
  4. Dकेवल रिकर्शन का उपयोग करता है
2.एल्गोरिदम और जटिलताकठिन

सिंगली लिंक्ड लिस्ट पर बाइनरी सर्च O(log n) समय क्यों नहीं देती?

  1. Aलिंक्ड लिस्ट सॉर्ट नहीं की जा सकतीं
  2. Bबीच के तत्व तक पहुँचने में O(n) चरण लगते हैं, क्योंकि सीधी इंडेक्स पहुँच नहीं है
  3. Cलिंक्ड लिस्ट नोड पर तुलनाएँ धीमी होती हैं
  4. Dबाइनरी सर्च को कम से कम दोगुनी मेमोरी चाहिए
3.डेटा संरचनाएँमध्यम

V शीर्षों वाले ग्राफ़ का एडजेसेंसी मैट्रिक्स कितनी मेमोरी लेता है?

  1. AO(log V)
  2. BO(V²)
  3. CO(E)
  4. DO(V + E)
4.डेटा संरचनाएँकठिन

कौन-सा गुण हर B-ट्री को पूर्णतः संतुलित रखता है?

  1. Aकुंजियाँ केवल रूट में संग्रहीत होती हैं
  2. Bहर नोड के ठीक दो चाइल्ड होते हैं
  3. Cहर नोड एक कुंजी संग्रहीत करता है
  4. Dसभी लीफ़ समान गहराई पर होते हैं
5.ग्राफ़ सिद्धांतमध्यम

एक संबद्ध ग्राफ़ में 14 शीर्ष और 21 कोरें हैं। स्पैनिंग ट्री बचाने के लिए कितनी कोरें k हटानी होंगी?

|V| = 14|E| = 21
k =
6.ग्राफ़ सिद्धांतकठिन
3121711154618ABCDEF

क्रुस्कल का एल्गोरिथ्म न्यूनतम स्पैनिंग ट्री बनाता है। उस कोर पर क्लिक करें जिसे वह कोर संख्या 4 के रूप में जोड़ता है; छोड़ी गई कोरें नहीं गिनी जातीं।

k = 4
  1. 1कोर AB
  2. 2कोर AC
  3. 3कोर BC
  4. 4कोर BD
  5. 5कोर DE
  6. 6कोर DF
  7. 7कोर EF
  8. 8कोर BE

3विलयन

1.एल्गोरिदम और जटिलता

उत्तर: C · हर चरण में स्थानीय रूप से सर्वोत्तम विकल्प चुनता है

यह उत्तर क्यों है

ग्रीडी एल्गोरिदम तेज़ होते हैं और कुछ समस्याओं (जैसे Dijkstra, Huffman कोडिंग) के लिए इष्टतम होते हैं, लेकिन सामान्य रूप से नहीं (जैसे कुछ सिक्का प्रणालियों में coin change)।

उत्तर

C · हर चरण में स्थानीय रूप से सर्वोत्तम विकल्प चुनता है
2.एल्गोरिदम और जटिलता

उत्तर: B · बीच के तत्व तक पहुँचने में O(n) चरण लगते हैं, क्योंकि सीधी इंडेक्स पहुँच नहीं है

यह उत्तर क्यों है

बाइनरी सर्च को बीच के तत्व तक O(1) पहुँच चाहिए; लिंक्ड लिस्ट पर वहाँ तक चलने में रैखिक समय लगता है, इसलिए कुल O(n) है।

उत्तर

B · बीच के तत्व तक पहुँचने में O(n) चरण लगते हैं, क्योंकि सीधी इंडेक्स पहुँच नहीं है
3.डेटा संरचनाएँ

उत्तर: B · O(V²)

यह उत्तर क्यों है

एडजेसेंसी मैट्रिक्स V × V प्रविष्टियाँ संग्रहीत करता है, जो सघन ग्राफ़ के लिए कुशल है; एडजेसेंसी लिस्ट O(V + E) लेती है, जो विरल ग्राफ़ के लिए बेहतर है।

उत्तर

B · O(V²)
4.डेटा संरचनाएँ

उत्तर: D · सभी लीफ़ समान गहराई पर होते हैं

यह उत्तर क्यों है

भरने पर नोड ऊपर की ओर विभाजित होते हैं और ट्री तभी ऊँचा होता है जब रूट विभाजित हो, इसलिए सभी लीफ़ हमेशा एक ही स्तर पर रहते हैं।

उत्तर

D · सभी लीफ़ समान गहराई पर होते हैं
5.ग्राफ़ सिद्धांत

उत्तर: k = 8

यूलर, हैमिल्टन और वृक्ष: संबद्ध ग्राफ़ में यूलर परिपथ (हर कोर एक बार, शुरुआत पर वापसी) तब होता है जब हर शीर्ष की घात सम हो, और परिपथ न होने वाला यूलर पथ तब जब ठीक दो शीर्षों की घात विषम हो; तब पथ एक विषम शीर्ष से दूसरे तक चलता है। हैमिल्टन परिपथ हर शीर्ष पर एक बार जाता है; Kn में ऐसे (n − 1)!/2 होते हैं। n शीर्षों वाले वृक्ष में n − 1 कोरें होती हैं, और m कोरों वाला संबद्ध ग्राफ़ m − n + 1 कोरें हटाने के बाद स्पैनिंग ट्री रखता है।

स्पैनिंग ट्री की कोरें

14 − 1 = 13

हटाई जाने वाली कोरें

k = 21 − 13 = 8

उत्तर

k = 8
6.ग्राफ़ सिद्धांत

उत्तर: कोर BD

सबसे छोटे पथ और स्पैनिंग ट्री: डाइक्स्ट्रा का एल्गोरिथ्म हर चक्र में एक शीर्ष निर्धारित करता है: सबसे छोटी अस्थायी दूरी वाला अनिर्धारित शीर्ष। तब उसकी दूरी अंतिम होती है, और हर पड़ोसी v को d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)) मिलता है। क्रुस्कल का एल्गोरिथ्म कोरों को हल्की से भारी की ओर लेकर और चक्र बनाने वाली हर कोर छोड़कर न्यूनतम स्पैनिंग ट्री बनाता है; प्रिम का एल्गोरिथ्म प्रारंभिक शीर्ष से एक वृक्ष बढ़ाता है और हमेशा उससे बाहर जाने वाली सबसे हल्की कोर जोड़ता है। n शीर्षों के स्पैनिंग ट्री में n − 1 कोरें होती हैं।

क्रुस्कल का एल्गोरिथ्म

1. AB (3)
2. DF (4)
3. EF (6)
4. BD (11)
5. AC (12)

कोर संख्या 4

BD

उत्तर

कोर BD

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