डेटा संरचना और एल्गोरिदम: क्रैम पैक

सूत्र-पत्रक, हर विषय के मुख्य विधि-चरण और 6 अभ्यास प्रश्न, पूरे हल पीछे दिए गए हैं।

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1सूत्र और विधियाँ

ग्राफ़ सिद्धांत

हैंडशेक लेमा
Σ deg(v) = 2|E|
पूर्ण ग्राफ़
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
नियमित ग्राफ़
|E| = n·k/2
वृक्ष और वन
|E| = n − 1, |E| = n − c
वृक्ष के पत्ते
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
यूलर
परिपथ: सभी घात सम; पथ: ठीक 2 घात विषम
Kn में हैमिल्टन परिपथ
(n − 1)!/2
डाइक्स्ट्रा अद्यतन
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
लंबाई L की वॉक
(Mᴸ)ij

विधि

  1. हर शीर्ष की घात लिखें; घातों का योग कोरों की संख्या का दोगुना होता है।
  2. यूलर के प्रश्नों में जाँचें कि ग्राफ़ संबद्ध है और विषम घात वाले शीर्षों को गिनें।
  3. वृक्षों के लिए n − 1 कोरों और हैंडशेक लेमा का उपयोग करें।
  4. डाइक्स्ट्रा के लिए अस्थायी दूरियों की सारणी रखें और हर चक्र में सबसे छोटी दूरी वाले अनिर्धारित शीर्ष को निर्धारित करें।
  5. न्यूनतम स्पैनिंग ट्री के लिए कोरों को भार के अनुसार क्रमबद्ध करें और चक्र बनाने वाली हर कोर छोड़ दें (क्रुस्कल), या किसी प्रारंभिक शीर्ष से एक वृक्ष बढ़ाएँ (प्रिम)।

2अभ्यास प्रश्न

1.एल्गोरिदम और जटिलतामध्यम

रिकरेंस T(n) = T(n − 1) + O(1) का हल क्या है?

  1. AO(n)
  2. BO(2ⁿ)
  3. CO(log n)
  4. DO(n²)
2.एल्गोरिदम और जटिलताकठिन

log(n!) के लिए कौन-सी सीमा सही है?

  1. AΘ(n²)
  2. BΘ(n log n)
  3. CΘ(n)
  4. DΘ(log n)
3.डेटा संरचनाएँमध्यम

बाइनरी हीप में नया तत्व कैसे डाला जाता है?

  1. Aपूरे हीप को फिर से शुरू से बनाएँ
  2. Bउसे रूट पर रखें और नीचे sift करें
  3. Cउसे ऐरे के अंत में रखें और जब तक वह हीप गुण का उल्लंघन करे, ऊपर sift करें
  4. Dसभी बड़े तत्वों को एक स्थान दाएँ खिसकाकर उसे उसकी सॉर्टेड स्थिति में डालें
4.डेटा संरचनाएँकठिन

आपको O(k) मेमोरी से n संख्याओं की एक धारा (stream) से k सबसे छोटे मान रखने हैं। कौन-सा तरीका O(n log k) समय में काम करता है?

  1. Aआकार k का मैक्स-हीप, छोटा मान आने पर उसका रूट बदलते हुए
  2. Bसभी n मानों का सॉर्टेड ऐरे
  3. Cसभी n मान रखने वाला मिन-हीप, जिससे अंत में k सबसे छोटे मान निकाले जाते हैं
  4. Dअंतिम k मानों की FIFO क्यू
5.ग्राफ़ सिद्धांतमध्यम
ABCDEFGयूलर परिपथयूलर पथ, परिपथ नहींदोनों में से कुछ नहीं

क्या संबद्ध ग्राफ़ में यूलर परिपथ है, परिपथ न होने वाला यूलर पथ है, या दोनों में से कुछ नहीं? अपना उत्तर क्लिक करें।

|V| = 7|E| = 10
  1. 1यूलर परिपथ
  2. 2यूलर पथ, परिपथ नहीं
  3. 3दोनों में से कुछ नहीं
6.ग्राफ़ सिद्धांतकठिन
31610189131124ABCDEF

भारित ग्राफ़ के न्यूनतम स्पैनिंग ट्री का कुल भार W ज्ञात करें।

|V| = 6|E| = 9
W =

3विलयन

1.एल्गोरिदम और जटिलता

उत्तर: A · O(n)

यह उत्तर क्यों है

n स्तर हैं जिनमें से हर एक में स्थिर कार्य है, जैसे किसी ऐरे के रिकर्सिव योग में।

उत्तर

A · O(n)
2.एल्गोरिदम और जटिलता

उत्तर: B · Θ(n log n)

यह उत्तर क्यों है

log(n!) ≤ n log n, और सबसे बड़े n / 2 गुणक log(n!) ≥ (n / 2) log(n / 2) देते हैं; इसीलिए तुलना-आधारित सॉर्टिंग को Ω(n log n) चाहिए।

उत्तर

B · Θ(n log n)
3.डेटा संरचनाएँ

उत्तर: C · उसे ऐरे के अंत में रखें और जब तक वह हीप गुण का उल्लंघन करे, ऊपर sift करें

यह उत्तर क्यों है

अंत में जोड़ने से ट्री पूर्ण रहता है; पैरेंट से स्वैप करना O(log n) चरणों में क्रम बहाल करता है।

उत्तर

C · उसे ऐरे के अंत में रखें और जब तक वह हीप गुण का उल्लंघन करे, ऊपर sift करें
4.डेटा संरचनाएँ

उत्तर: A · आकार k का मैक्स-हीप, छोटा मान आने पर उसका रूट बदलते हुए

यह उत्तर क्यों है

मैक्स-हीप का रूट रखा गया सबसे बड़ा मान है; कोई भी छोटा नया मान उसे O(log k) में बदल देता है, इसलिए हीप में हमेशा अब तक के k सबसे छोटे मान रहते हैं।

उत्तर

A · आकार k का मैक्स-हीप, छोटा मान आने पर उसका रूट बदलते हुए
5.ग्राफ़ सिद्धांत

उत्तर: दोनों में से कुछ नहीं

यूलर, हैमिल्टन और वृक्ष: संबद्ध ग्राफ़ में यूलर परिपथ (हर कोर एक बार, शुरुआत पर वापसी) तब होता है जब हर शीर्ष की घात सम हो, और परिपथ न होने वाला यूलर पथ तब जब ठीक दो शीर्षों की घात विषम हो; तब पथ एक विषम शीर्ष से दूसरे तक चलता है। हैमिल्टन परिपथ हर शीर्ष पर एक बार जाता है; Kn में ऐसे (n − 1)!/2 होते हैं। n शीर्षों वाले वृक्ष में n − 1 कोरें होती हैं, और m कोरों वाला संबद्ध ग्राफ़ m − n + 1 कोरें हटाने के बाद स्पैनिंग ट्री रखता है।

घात

deg(A) = 2, deg(B) = 3, deg(C) = 4, deg(D) = 4, deg(E) = 3, deg(F) = 1, deg(G) = 3

विषम शीर्ष

B, E, F, G → 4
दोनों में से कुछ नहीं

उत्तर

दोनों में से कुछ नहीं
6.ग्राफ़ सिद्धांत

उत्तर: W = 29

सबसे छोटे पथ और स्पैनिंग ट्री: डाइक्स्ट्रा का एल्गोरिथ्म हर चक्र में एक शीर्ष निर्धारित करता है: सबसे छोटी अस्थायी दूरी वाला अनिर्धारित शीर्ष। तब उसकी दूरी अंतिम होती है, और हर पड़ोसी v को d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)) मिलता है। क्रुस्कल का एल्गोरिथ्म कोरों को हल्की से भारी की ओर लेकर और चक्र बनाने वाली हर कोर छोड़कर न्यूनतम स्पैनिंग ट्री बनाता है; प्रिम का एल्गोरिथ्म प्रारंभिक शीर्ष से एक वृक्ष बढ़ाता है और हमेशा उससे बाहर जाने वाली सबसे हल्की कोर जोड़ता है। n शीर्षों के स्पैनिंग ट्री में n − 1 कोरें होती हैं।

क्रुस्कल का एल्गोरिथ्म

EF (2): लें
AB (3): लें
BE (4): लें
CE (9): लें
BC (10): छोड़ें, चक्र बनता है
DF (11): लें

कुल भार

W = 2 + 3 + 4 + 9 + 11 = 29

उत्तर

W = 29

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