डेटा संरचना और एल्गोरिदम: क्रैम पैक

सूत्र-पत्रक, हर विषय के मुख्य विधि-चरण और 6 अभ्यास प्रश्न, पूरे हल पीछे दिए गए हैं।

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1सूत्र और विधियाँ

ग्राफ़ सिद्धांत

हैंडशेक लेमा
Σ deg(v) = 2|E|
पूर्ण ग्राफ़
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
नियमित ग्राफ़
|E| = n·k/2
वृक्ष और वन
|E| = n − 1, |E| = n − c
वृक्ष के पत्ते
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
यूलर
परिपथ: सभी घात सम; पथ: ठीक 2 घात विषम
Kn में हैमिल्टन परिपथ
(n − 1)!/2
डाइक्स्ट्रा अद्यतन
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
लंबाई L की वॉक
(Mᴸ)ij

विधि

  1. हर शीर्ष की घात लिखें; घातों का योग कोरों की संख्या का दोगुना होता है।
  2. यूलर के प्रश्नों में जाँचें कि ग्राफ़ संबद्ध है और विषम घात वाले शीर्षों को गिनें।
  3. वृक्षों के लिए n − 1 कोरों और हैंडशेक लेमा का उपयोग करें।
  4. डाइक्स्ट्रा के लिए अस्थायी दूरियों की सारणी रखें और हर चक्र में सबसे छोटी दूरी वाले अनिर्धारित शीर्ष को निर्धारित करें।
  5. न्यूनतम स्पैनिंग ट्री के लिए कोरों को भार के अनुसार क्रमबद्ध करें और चक्र बनाने वाली हर कोर छोड़ दें (क्रुस्कल), या किसी प्रारंभिक शीर्ष से एक वृक्ष बढ़ाएँ (प्रिम)।

2अभ्यास प्रश्न

1.एल्गोरिदम और जटिलतामध्यम

एक ग्रीडी एल्गोरिदम (greedy algorithm):

  1. Aकेवल रिकर्शन का उपयोग करता है
  2. Bहमेशा इष्टतम समाधान देता है
  3. Cहर चरण में स्थानीय रूप से सर्वोत्तम विकल्प चुनता है
  4. Dहर संभव समाधान आज़माता है
2.एल्गोरिदम और जटिलताकठिन

मास्टर प्रमेय का उपयोग करके T(n) = 8T(n/2) + O(n²) का हल क्या है?

  1. AΘ(n log n)
  2. BΘ(n²)
  3. CΘ(n² log n)
  4. DΘ(n³)
3.डेटा संरचनाएँमध्यम

क्षमता n वाले ऐरे में संग्रहीत सर्कुलर क्यू में इंडेक्स i के बाद अगली स्थिति कैसे निकाली जाती है?

  1. Ai + 1
  2. B(i − 1) mod n
  3. C(i + 1) mod n
  4. D2i + 1
4.डेटा संरचनाएँकठिन

स्प्ले ट्री हर पहुँच के बाद क्या करता है?

  1. Aपहुँचे गए नोड को एक लीफ़ पर ले जाता है
  2. Bपूरे ट्री को संतुलित रूप में फिर से बनाता है
  3. Cपहुँचे गए नोड को रोटेशन से रूट तक ले जाता है
  4. Dखोज पथ के नोडों का रंग बदलता है
5.ग्राफ़ सिद्धांतमध्यम

एक वृक्ष में घात 3 वाले 3 शीर्ष, घात 4 वाले 4 शीर्ष, घात 5 वाले 2 शीर्ष, घात 2 वाले 4 शीर्ष है, और उसके बाकी सभी शीर्ष पत्ते (घात 1) हैं। उसमें कितने पत्ते L हैं?

3 × deg 34 × deg 42 × deg 54 × deg 2
L =
6.ग्राफ़ सिद्धांतकठिन
3106131315137ABCDEF

डाइक्स्ट्रा का एल्गोरिथ्म A से चलता है। उस शीर्ष पर क्लिक करें जो चक्र 5 में निर्धारित (स्थायी) होता है; A स्वयं चक्र 1 है।

प्रारंभ: Aचक्र 5
  1. 1A
  2. 2B
  3. 3C
  4. 4D
  5. 5E
  6. 6F

3विलयन

1.एल्गोरिदम और जटिलता

उत्तर: C · हर चरण में स्थानीय रूप से सर्वोत्तम विकल्प चुनता है

यह उत्तर क्यों है

ग्रीडी एल्गोरिदम तेज़ होते हैं और कुछ समस्याओं (जैसे Dijkstra, Huffman कोडिंग) के लिए इष्टतम होते हैं, लेकिन सामान्य रूप से नहीं (जैसे कुछ सिक्का प्रणालियों में coin change)।

उत्तर

C · हर चरण में स्थानीय रूप से सर्वोत्तम विकल्प चुनता है
2.एल्गोरिदम और जटिलता

उत्तर: D · Θ(n³)

यह उत्तर क्यों है

log₂ 8 = 3, और n² की वृद्धि n³ से धीमी है, इसलिए पत्तियाँ हावी होती हैं: Θ(n³)।

उत्तर

D · Θ(n³)
3.डेटा संरचनाएँ

उत्तर: C · (i + 1) mod n

यह उत्तर क्यों है

मॉड्यूलो ऑपरेशन इंडेक्स n − 1 को वापस 0 पर ले आता है, इसलिए तत्वों को खिसकाए बिना ऐरे का दोबारा उपयोग होता है।

उत्तर

C · (i + 1) mod n
4.डेटा संरचनाएँ

उत्तर: C · पहुँचे गए नोड को रोटेशन से रूट तक ले जाता है

यह उत्तर क्यों है

स्प्लेइंग रोटेशनों से पहुँचे गए नोड को रूट पर ले जाती है; एक ऑपरेशन में O(n) लग सकता है, पर एमॉर्टाइज़्ड लागत O(log n) है।

उत्तर

C · पहुँचे गए नोड को रोटेशन से रूट तक ले जाता है
5.ग्राफ़ सिद्धांत

उत्तर: L = 19

यूलर, हैमिल्टन और वृक्ष: संबद्ध ग्राफ़ में यूलर परिपथ (हर कोर एक बार, शुरुआत पर वापसी) तब होता है जब हर शीर्ष की घात सम हो, और परिपथ न होने वाला यूलर पथ तब जब ठीक दो शीर्षों की घात विषम हो; तब पथ एक विषम शीर्ष से दूसरे तक चलता है। हैमिल्टन परिपथ हर शीर्ष पर एक बार जाता है; Kn में ऐसे (n − 1)!/2 होते हैं। n शीर्षों वाले वृक्ष में n − 1 कोरें होती हैं, और m कोरों वाला संबद्ध ग्राफ़ m − n + 1 कोरें हटाने के बाद स्पैनिंग ट्री रखता है।

वृक्ष के लिए हैंडशेक लेमा

L + 43 = 2(L + 13) − 2
L = 19

उत्तर

L = 19

शॉर्टकट: L = 2 + Σ (d − 2), घात d ≥ 3 वाले शीर्षों पर।

6.ग्राफ़ सिद्धांत

उत्तर: D

सबसे छोटे पथ और स्पैनिंग ट्री: डाइक्स्ट्रा का एल्गोरिथ्म हर चक्र में एक शीर्ष निर्धारित करता है: सबसे छोटी अस्थायी दूरी वाला अनिर्धारित शीर्ष। तब उसकी दूरी अंतिम होती है, और हर पड़ोसी v को d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)) मिलता है। क्रुस्कल का एल्गोरिथ्म कोरों को हल्की से भारी की ओर लेकर और चक्र बनाने वाली हर कोर छोड़कर न्यूनतम स्पैनिंग ट्री बनाता है; प्रिम का एल्गोरिथ्म प्रारंभिक शीर्ष से एक वृक्ष बढ़ाता है और हमेशा उससे बाहर जाने वाली सबसे हल्की कोर जोड़ता है। n शीर्षों के स्पैनिंग ट्री में n − 1 कोरें होती हैं।

डाइक्स्ट्रा चक्र-दर-चक्र

1. A (0): B: 3, C: 10
2. B (3): C: 9, D: 16, E: 10
3. C (9)
4. E (10): F: 23
5. D (16)
6. F (23)

चक्र 5

D

उत्तर

D

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