डेटा संरचना और एल्गोरिदम: क्रैम पैक

सूत्र-पत्रक, हर विषय के मुख्य विधि-चरण और 6 अभ्यास प्रश्न, पूरे हल पीछे दिए गए हैं।

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1सूत्र और विधियाँ

ग्राफ़ सिद्धांत

हैंडशेक लेमा
Σ deg(v) = 2|E|
पूर्ण ग्राफ़
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
नियमित ग्राफ़
|E| = n·k/2
वृक्ष और वन
|E| = n − 1, |E| = n − c
वृक्ष के पत्ते
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
यूलर
परिपथ: सभी घात सम; पथ: ठीक 2 घात विषम
Kn में हैमिल्टन परिपथ
(n − 1)!/2
डाइक्स्ट्रा अद्यतन
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
लंबाई L की वॉक
(Mᴸ)ij

विधि

  1. हर शीर्ष की घात लिखें; घातों का योग कोरों की संख्या का दोगुना होता है।
  2. यूलर के प्रश्नों में जाँचें कि ग्राफ़ संबद्ध है और विषम घात वाले शीर्षों को गिनें।
  3. वृक्षों के लिए n − 1 कोरों और हैंडशेक लेमा का उपयोग करें।
  4. डाइक्स्ट्रा के लिए अस्थायी दूरियों की सारणी रखें और हर चक्र में सबसे छोटी दूरी वाले अनिर्धारित शीर्ष को निर्धारित करें।
  5. न्यूनतम स्पैनिंग ट्री के लिए कोरों को भार के अनुसार क्रमबद्ध करें और चक्र बनाने वाली हर कोर छोड़ दें (क्रुस्कल), या किसी प्रारंभिक शीर्ष से एक वृक्ष बढ़ाएँ (प्रिम)।

2अभ्यास प्रश्न

1.एल्गोरिदम और जटिलतामध्यम

Big O में, जैसे O(log n) में, लघुगणक का आधार सामान्यतः क्यों छोड़ दिया जाता है?

  1. Aआधार केवल छोटे n के लिए मायने रखता है
  2. Bकंप्यूटर विज्ञान में सभी लघुगणकों का आधार 10 होता है, इसलिए वह निहित है
  3. Cलघुगणक हमेशा पूर्णांकों में पूर्णांकित किए जाते हैं
  4. Dभिन्न आधारों वाले लघुगणक केवल एक स्थिर गुणक से भिन्न होते हैं
2.एल्गोरिदम और जटिलताकठिन

यदि कोई किसी एक NP-complete समस्या के लिए बहुपदी-समय एल्गोरिदम खोज ले, तो क्या निष्कर्ष निकलेगा?

  1. Aहॉल्टिंग समस्या निर्णेय हो जाएगी
  2. BNP की हर समस्या बहुपदी समय में हल हो सकेगी, इसलिए P = NP
  3. Cसभी घातांकी-समय एल्गोरिदम तुरंत रैखिक समय में चलने लगेंगे
  4. Dकेवल वही एक समस्या P में चली जाएगी
3.डेटा संरचनाएँमध्यम

AVL ट्री हर नोड पर कौन-सी संतुलन शर्त बनाए रखता है?

  1. Aहर नोड के दोनों सबट्री में ठीक समान संख्या में नोड होते हैं
  2. Bहर नोड लाल या काले रंग का होता है
  3. Cसभी लीफ़ ठीक समान गहराई पर होते हैं
  4. Dबाएँ और दाएँ सबट्री की ऊँचाइयों में अधिकतम 1 का अंतर
4.डेटा संरचनाएँकठिन

एक डायनेमिक ऐरे भर जाने पर दोगुना होता है। कई कार्यान्वयन उसे आधा भरा होने के बजाय केवल एक-चौथाई भरा होने पर ही क्यों छोटा करते हैं?

  1. Aक्योंकि मेमोरी आवंटक मेमोरी को केवल ब्लॉक के चौथाई भागों में मुक्त कर सकता है
  2. Bक्योंकि आधे पर आधा करने से तत्व खो जाएँगे
  3. Cसीमा के पास push और pop बारी-बारी से होने पर बार-बार आकार बदलने से बचने के लिए
  4. Dऐरे को सॉर्टेड रखने के लिए
5.ग्राफ़ सिद्धांतमध्यम

एक संबद्ध ग्राफ़ में 11 शीर्ष और 13 कोरें हैं। स्पैनिंग ट्री बचाने के लिए कितनी कोरें k हटानी होंगी?

|V| = 11|E| = 13
k =
6.ग्राफ़ सिद्धांतकठिन
ABCDEF

लंबाई 3 की कितनी वॉक A से F तक जाती हैं? वॉक में शीर्ष और कोरें दोहराई जा सकती हैं। संख्या को N कहें।

M = संलग्नता आव्यूहL = 3
N =

3विलयन

1.एल्गोरिदम और जटिलता

उत्तर: D · भिन्न आधारों वाले लघुगणक केवल एक स्थिर गुणक से भिन्न होते हैं

यह उत्तर क्यों है

आधार बदलने से लघुगणक एक स्थिरांक से गुणा हो जाता है, और Big O स्थिर गुणकों को अनदेखा करता है।

उत्तर

D · भिन्न आधारों वाले लघुगणक केवल एक स्थिर गुणक से भिन्न होते हैं
2.एल्गोरिदम और जटिलता

उत्तर: B · NP की हर समस्या बहुपदी समय में हल हो सकेगी, इसलिए P = NP

यह उत्तर क्यों है

चूँकि पूरा NP किसी भी NP-complete समस्या में बहुपदी समय में रिड्यूस होता है, एक के लिए तेज़ एल्गोरिदम सबके लिए तेज़ एल्गोरिदम देता है।

उत्तर

B · NP की हर समस्या बहुपदी समय में हल हो सकेगी, इसलिए P = NP
3.डेटा संरचनाएँ

उत्तर: D · बाएँ और दाएँ सबट्री की ऊँचाइयों में अधिकतम 1 का अंतर

यह उत्तर क्यों है

बैलेंस फ़ैक्टर (बाएँ की ऊँचाई − दाएँ की ऊँचाई) −1, 0 या 1 होना चाहिए; इंसर्ट और डिलीट के बाद रोटेशन इसे बहाल करते हैं।

उत्तर

D · बाएँ और दाएँ सबट्री की ऊँचाइयों में अधिकतम 1 का अंतर
4.डेटा संरचनाएँ

उत्तर: C · सीमा के पास push और pop बारी-बारी से होने पर बार-बार आकार बदलने से बचने के लिए

यह उत्तर क्यों है

आधे पर छोटा करने से ऐसे अनुक्रम में हर ऑपरेशन पर आकार बदल सकता है; 1/4 और पूर्ण के बीच का अंतर एमॉर्टाइज़्ड लागत को O(1) रखता है।

उत्तर

C · सीमा के पास push और pop बारी-बारी से होने पर बार-बार आकार बदलने से बचने के लिए
5.ग्राफ़ सिद्धांत

उत्तर: k = 3

यूलर, हैमिल्टन और वृक्ष: संबद्ध ग्राफ़ में यूलर परिपथ (हर कोर एक बार, शुरुआत पर वापसी) तब होता है जब हर शीर्ष की घात सम हो, और परिपथ न होने वाला यूलर पथ तब जब ठीक दो शीर्षों की घात विषम हो; तब पथ एक विषम शीर्ष से दूसरे तक चलता है। हैमिल्टन परिपथ हर शीर्ष पर एक बार जाता है; Kn में ऐसे (n − 1)!/2 होते हैं। n शीर्षों वाले वृक्ष में n − 1 कोरें होती हैं, और m कोरों वाला संबद्ध ग्राफ़ m − n + 1 कोरें हटाने के बाद स्पैनिंग ट्री रखता है।

स्पैनिंग ट्री की कोरें

11 − 1 = 10

हटाई जाने वाली कोरें

k = 13 − 10 = 3

उत्तर

k = 3
6.ग्राफ़ सिद्धांत

उत्तर: N = 1

घात: किसी शीर्ष की घात उससे मिलने वाली कोरों की संख्या है। हर कोर के दो सिरे होते हैं, इसलिए घातों का योग कोरों की संख्या का दोगुना होता है: Σ deg(v) = 2|E| (हैंडशेक लेमा)। अतः विषम घात वाले शीर्षों की संख्या सम होती है। Kn में n(n − 1)/2 कोरें होती हैं, n शीर्षों पर k-नियमित ग्राफ़ में nk/2, और n शीर्षों वाले वृक्ष में n − 1 कोरें।

संलग्नता आव्यूह

A: 0 1 1 0 0 0
B: 1 0 1 1 1 0
C: 1 1 0 0 1 0
D: 0 1 0 0 0 1
E: 0 1 1 0 0 0
F: 0 0 0 1 0 0

एक कदम और

(M³)AF = 2·0 + 1·0 + 1·0 + 1·1 + 2·0 + 0·0 = 1

उत्तर

N = 1

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