डेटा संरचना और एल्गोरिदम: क्रैम पैक

सूत्र-पत्रक, हर विषय के मुख्य विधि-चरण और 6 अभ्यास प्रश्न, पूरे हल पीछे दिए गए हैं।

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1सूत्र और विधियाँ

ग्राफ़ सिद्धांत

हैंडशेक लेमा
Σ deg(v) = 2|E|
पूर्ण ग्राफ़
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
नियमित ग्राफ़
|E| = n·k/2
वृक्ष और वन
|E| = n − 1, |E| = n − c
वृक्ष के पत्ते
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
यूलर
परिपथ: सभी घात सम; पथ: ठीक 2 घात विषम
Kn में हैमिल्टन परिपथ
(n − 1)!/2
डाइक्स्ट्रा अद्यतन
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
लंबाई L की वॉक
(Mᴸ)ij

विधि

  1. हर शीर्ष की घात लिखें; घातों का योग कोरों की संख्या का दोगुना होता है।
  2. यूलर के प्रश्नों में जाँचें कि ग्राफ़ संबद्ध है और विषम घात वाले शीर्षों को गिनें।
  3. वृक्षों के लिए n − 1 कोरों और हैंडशेक लेमा का उपयोग करें।
  4. डाइक्स्ट्रा के लिए अस्थायी दूरियों की सारणी रखें और हर चक्र में सबसे छोटी दूरी वाले अनिर्धारित शीर्ष को निर्धारित करें।
  5. न्यूनतम स्पैनिंग ट्री के लिए कोरों को भार के अनुसार क्रमबद्ध करें और चक्र बनाने वाली हर कोर छोड़ दें (क्रुस्कल), या किसी प्रारंभिक शीर्ष से एक वृक्ष बढ़ाएँ (प्रिम)।

2अभ्यास प्रश्न

1.एल्गोरिदम और जटिलतामध्यम

Big O में, जैसे O(log n) में, लघुगणक का आधार सामान्यतः क्यों छोड़ दिया जाता है?

  1. Aलघुगणक हमेशा पूर्णांकों में पूर्णांकित किए जाते हैं
  2. Bभिन्न आधारों वाले लघुगणक केवल एक स्थिर गुणक से भिन्न होते हैं
  3. Cकंप्यूटर विज्ञान में सभी लघुगणकों का आधार 10 होता है, इसलिए वह निहित है
  4. Dआधार केवल छोटे n के लिए मायने रखता है
2.एल्गोरिदम और जटिलताकठिन

कोई समस्या NP-complete होती है यदि वह:

  1. ANP से बाहर है लेकिन सभी NP समस्याओं से कठिन है, जैसे हॉल्टिंग समस्या
  2. BNP में है और हर NP समस्या बहुपद समय में उसमें रिड्यूस होती है
  3. Cबहुपद समय में हल की जा सकती है
  4. Dहल करना असंभव है
3.डेटा संरचनाएँमध्यम

आकार 7 की हैश टेबल h(k) = k mod 7 और लीनियर प्रोबिंग का उपयोग करती है। 10 डालने के बाद 17 कहाँ संग्रहीत होगा?

  1. Aइंडेक्स 0
  2. Bइंडेक्स 6
  3. Cइंडेक्स 3
  4. Dइंडेक्स 4
4.डेटा संरचनाएँकठिन

मानक ब्लूम फ़िल्टर से तत्वों को उनके बिट साफ़ करके सीधे क्यों नहीं हटाया जा सकता?

  1. Aहटाने से फ़ॉल्स पॉज़िटिव दर 100% हो जाएगी
  2. Bब्लूम फ़िल्टर पूरे तत्व संग्रहीत करते हैं, और हैश हो जाने के बाद उन्हें दोबारा खोजा नहीं जा सकता
  3. Cवे बिट अन्य तत्वों के भी हो सकते हैं, जिससे फ़ॉल्स नेगेटिव होंगे
  4. Dब्लूम फ़िल्टर के बिट बनने के बाद बदले नहीं जा सकते
5.ग्राफ़ सिद्धांतमध्यम
ABCDEयूलर परिपथयूलर पथ, परिपथ नहींदोनों में से कुछ नहीं

क्या संबद्ध ग्राफ़ में यूलर परिपथ है, परिपथ न होने वाला यूलर पथ है, या दोनों में से कुछ नहीं? अपना उत्तर क्लिक करें।

|V| = 5|E| = 6
  1. 1यूलर परिपथ
  2. 2यूलर पथ, परिपथ नहीं
  3. 3दोनों में से कुछ नहीं
6.ग्राफ़ सिद्धांतकठिन
612413112313ABCDEF

डाइक्स्ट्रा का एल्गोरिथ्म A से चलता है। उस शीर्ष पर क्लिक करें जो चक्र 5 में निर्धारित (स्थायी) होता है; A स्वयं चक्र 1 है।

प्रारंभ: Aचक्र 5
  1. 1A
  2. 2B
  3. 3C
  4. 4D
  5. 5E
  6. 6F

3विलयन

1.एल्गोरिदम और जटिलता

उत्तर: B · भिन्न आधारों वाले लघुगणक केवल एक स्थिर गुणक से भिन्न होते हैं

यह उत्तर क्यों है

आधार बदलने से लघुगणक एक स्थिरांक से गुणा हो जाता है, और Big O स्थिर गुणकों को अनदेखा करता है।

उत्तर

B · भिन्न आधारों वाले लघुगणक केवल एक स्थिर गुणक से भिन्न होते हैं
2.एल्गोरिदम और जटिलता

उत्तर: B · NP में है और हर NP समस्या बहुपद समय में उसमें रिड्यूस होती है

यह उत्तर क्यों है

NP-complete समस्याएँ NP में सबसे कठिन हैं; इनमें से किसी एक के लिए बहुपद एल्गोरिदम पूरे NP के लिए एक एल्गोरिदम दे देगा।

उत्तर

B · NP में है और हर NP समस्या बहुपद समय में उसमें रिड्यूस होती है
3.डेटा संरचनाएँ

उत्तर: D · इंडेक्स 4

यह उत्तर क्यों है

10 mod 7 = 3 और 17 mod 7 = 3; इंडेक्स 3 भरा है, इसलिए लीनियर प्रोबिंग अगला स्लॉट, इंडेक्स 4, आज़माती है।

उत्तर

D · इंडेक्स 4
4.डेटा संरचनाएँ

उत्तर: C · वे बिट अन्य तत्वों के भी हो सकते हैं, जिससे फ़ॉल्स नेगेटिव होंगे

यह उत्तर क्यों है

साझा बिट साफ़ करने से कोई दूसरा तत्व अनुपस्थित दिखेगा; काउंटिंग ब्लूम फ़िल्टर हटाने की अनुमति देने के लिए बिट के बजाय काउंटर रखते हैं।

उत्तर

C · वे बिट अन्य तत्वों के भी हो सकते हैं, जिससे फ़ॉल्स नेगेटिव होंगे
5.ग्राफ़ सिद्धांत

उत्तर: यूलर परिपथ

यूलर, हैमिल्टन और वृक्ष: संबद्ध ग्राफ़ में यूलर परिपथ (हर कोर एक बार, शुरुआत पर वापसी) तब होता है जब हर शीर्ष की घात सम हो, और परिपथ न होने वाला यूलर पथ तब जब ठीक दो शीर्षों की घात विषम हो; तब पथ एक विषम शीर्ष से दूसरे तक चलता है। हैमिल्टन परिपथ हर शीर्ष पर एक बार जाता है; Kn में ऐसे (n − 1)!/2 होते हैं। n शीर्षों वाले वृक्ष में n − 1 कोरें होती हैं, और m कोरों वाला संबद्ध ग्राफ़ m − n + 1 कोरें हटाने के बाद स्पैनिंग ट्री रखता है।

घात

deg(A) = 2, deg(B) = 4, deg(C) = 2, deg(D) = 2, deg(E) = 2

विषम शीर्ष

0
यूलर परिपथ

उत्तर

यूलर परिपथ
6.ग्राफ़ सिद्धांत

उत्तर: D

सबसे छोटे पथ और स्पैनिंग ट्री: डाइक्स्ट्रा का एल्गोरिथ्म हर चक्र में एक शीर्ष निर्धारित करता है: सबसे छोटी अस्थायी दूरी वाला अनिर्धारित शीर्ष। तब उसकी दूरी अंतिम होती है, और हर पड़ोसी v को d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)) मिलता है। क्रुस्कल का एल्गोरिथ्म कोरों को हल्की से भारी की ओर लेकर और चक्र बनाने वाली हर कोर छोड़कर न्यूनतम स्पैनिंग ट्री बनाता है; प्रिम का एल्गोरिथ्म प्रारंभिक शीर्ष से एक वृक्ष बढ़ाता है और हमेशा उससे बाहर जाने वाली सबसे हल्की कोर जोड़ता है। n शीर्षों के स्पैनिंग ट्री में n − 1 कोरें होती हैं।

डाइक्स्ट्रा चक्र-दर-चक्र

1. A (0): B: 6, C: 12
2. B (6): C: 10, D: 19, E: 19
3. C (10): E: 11
4. E (11)
5. D (19): F: 22
6. F (22)

चक्र 5

D

उत्तर

D

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