डेटा संरचना और एल्गोरिदम: क्रैम पैक

सूत्र-पत्रक, हर विषय के मुख्य विधि-चरण और 6 अभ्यास प्रश्न, पूरे हल पीछे दिए गए हैं।

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1सूत्र और विधियाँ

ग्राफ़ सिद्धांत

हैंडशेक लेमा
Σ deg(v) = 2|E|
पूर्ण ग्राफ़
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
नियमित ग्राफ़
|E| = n·k/2
वृक्ष और वन
|E| = n − 1, |E| = n − c
वृक्ष के पत्ते
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
यूलर
परिपथ: सभी घात सम; पथ: ठीक 2 घात विषम
Kn में हैमिल्टन परिपथ
(n − 1)!/2
डाइक्स्ट्रा अद्यतन
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
लंबाई L की वॉक
(Mᴸ)ij

विधि

  1. हर शीर्ष की घात लिखें; घातों का योग कोरों की संख्या का दोगुना होता है।
  2. यूलर के प्रश्नों में जाँचें कि ग्राफ़ संबद्ध है और विषम घात वाले शीर्षों को गिनें।
  3. वृक्षों के लिए n − 1 कोरों और हैंडशेक लेमा का उपयोग करें।
  4. डाइक्स्ट्रा के लिए अस्थायी दूरियों की सारणी रखें और हर चक्र में सबसे छोटी दूरी वाले अनिर्धारित शीर्ष को निर्धारित करें।
  5. न्यूनतम स्पैनिंग ट्री के लिए कोरों को भार के अनुसार क्रमबद्ध करें और चक्र बनाने वाली हर कोर छोड़ दें (क्रुस्कल), या किसी प्रारंभिक शीर्ष से एक वृक्ष बढ़ाएँ (प्रिम)।

2अभ्यास प्रश्न

1.एल्गोरिदम और जटिलतामध्यम

एक फ़ंक्शन n इटरेशन का एक लूप चलाता है और फिर, अलग से, n इटरेशन का एक और लूप। इसकी टाइम कॉम्प्लेक्सिटी क्या है?

  1. AO(n)
  2. BO(n²)
  3. CO(log n)
  4. DO(2ⁿ)
2.एल्गोरिदम और जटिलताकठिन

इंसर्शन सॉर्ट सॉर्टेड इनपुट पर O(n) में चलता है। क्या यह तुलना-आधारित सॉर्टिंग की Ω(n log n) निचली सीमा का खंडन करता है?

  1. Aनहीं, निचली सीमा सभी इनपुट पर वर्स्ट केस पर लागू होती है, हर इनपुट पर नहीं
  2. Bनहीं, क्योंकि इंसर्शन सॉर्ट तुलना-आधारित सॉर्ट नहीं है
  3. Cहाँ, इसलिए निचली सीमा ग़लत है
  4. Dहाँ, पर केवल 100 से छोटे ऐरे के लिए
3.डेटा संरचनाएँमध्यम

V शीर्षों और E किनारों वाले ग्राफ़ के लिए एडजेसेंसी लिस्ट कितनी मेमोरी लेती है?

  1. AO(V × E)
  2. BO(V²)
  3. CO(E²)
  4. DO(V + E)
4.डेटा संरचनाएँकठिन

union by rank और path compression के साथ union-find (डिसजॉइंट सेट) संरचना की प्रति ऑपरेशन परिशोधित (amortised) लागत क्या है?

  1. Aठीक O(log n)
  2. BO(n²)
  3. CO(n)
  4. DO(α(n)), व्युत्क्रम एकरमान फ़ंक्शन, जो व्यवहार में लगभग स्थिर है
5.ग्राफ़ सिद्धांतमध्यम

एक संबद्ध ग्राफ़ में 17 शीर्ष और 22 कोरें हैं। स्पैनिंग ट्री बचाने के लिए कितनी कोरें k हटानी होंगी?

|V| = 17|E| = 22
k =
6.ग्राफ़ सिद्धांतकठिन
5615109715116ABCDEFG

भारित ग्राफ़ में A से F तक के सबसे छोटे पथ की लंबाई d(F) डाइक्स्ट्रा के एल्गोरिथ्म से ज्ञात करें।

प्रारंभ: Aअंत: F
d(F) =

3विलयन

1.एल्गोरिदम और जटिलता

उत्तर: A · O(n)

यह उत्तर क्यों है

n + n = 2n, और स्थिर गुणक हटा दिए जाते हैं, इसलिए फ़ंक्शन O(n) है।

उत्तर

A · O(n)
2.एल्गोरिदम और जटिलता

उत्तर: A · नहीं, निचली सीमा सभी इनपुट पर वर्स्ट केस पर लागू होती है, हर इनपुट पर नहीं

यह उत्तर क्यों है

सीमा कहती है कि हर तुलना-आधारित सॉर्ट को n आकार के किसी इनपुट पर लगभग n log n तुलनाएँ चाहिए; विशेष इनपुट बहुत तेज़ हो सकते हैं।

उत्तर

A · नहीं, निचली सीमा सभी इनपुट पर वर्स्ट केस पर लागू होती है, हर इनपुट पर नहीं
3.डेटा संरचनाएँ

उत्तर: D · O(V + E)

यह उत्तर क्यों है

हर शीर्ष की एक लिस्ट है और हर किनारा एक बार (डायरेक्टेड) या दो बार (अनडायरेक्टेड) आता है, जिससे O(V + E) मिलता है।

उत्तर

D · O(V + E)
4.डेटा संरचनाएँ

उत्तर: D · O(α(n)), व्युत्क्रम एकरमान फ़ंक्शन, जो व्यवहार में लगभग स्थिर है

यह उत्तर क्यों है

दोनों अनुकूलनों के साथ ऑपरेशन O(α(n)) परिशोधित समय लेते हैं; किसी भी यथार्थवादी n के लिए α(n) ≤ 4 होता है।

उत्तर

D · O(α(n)), व्युत्क्रम एकरमान फ़ंक्शन, जो व्यवहार में लगभग स्थिर है
5.ग्राफ़ सिद्धांत

उत्तर: k = 6

यूलर, हैमिल्टन और वृक्ष: संबद्ध ग्राफ़ में यूलर परिपथ (हर कोर एक बार, शुरुआत पर वापसी) तब होता है जब हर शीर्ष की घात सम हो, और परिपथ न होने वाला यूलर पथ तब जब ठीक दो शीर्षों की घात विषम हो; तब पथ एक विषम शीर्ष से दूसरे तक चलता है। हैमिल्टन परिपथ हर शीर्ष पर एक बार जाता है; Kn में ऐसे (n − 1)!/2 होते हैं। n शीर्षों वाले वृक्ष में n − 1 कोरें होती हैं, और m कोरों वाला संबद्ध ग्राफ़ m − n + 1 कोरें हटाने के बाद स्पैनिंग ट्री रखता है।

स्पैनिंग ट्री की कोरें

17 − 1 = 16

हटाई जाने वाली कोरें

k = 22 − 16 = 6

उत्तर

k = 6
6.ग्राफ़ सिद्धांत

उत्तर: d(F) = 30

सबसे छोटे पथ और स्पैनिंग ट्री: डाइक्स्ट्रा का एल्गोरिथ्म हर चक्र में एक शीर्ष निर्धारित करता है: सबसे छोटी अस्थायी दूरी वाला अनिर्धारित शीर्ष। तब उसकी दूरी अंतिम होती है, और हर पड़ोसी v को d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)) मिलता है। क्रुस्कल का एल्गोरिथ्म कोरों को हल्की से भारी की ओर लेकर और चक्र बनाने वाली हर कोर छोड़कर न्यूनतम स्पैनिंग ट्री बनाता है; प्रिम का एल्गोरिथ्म प्रारंभिक शीर्ष से एक वृक्ष बढ़ाता है और हमेशा उससे बाहर जाने वाली सबसे हल्की कोर जोड़ता है। n शीर्षों के स्पैनिंग ट्री में n − 1 कोरें होती हैं।

डाइक्स्ट्रा चक्र-दर-चक्र

हर पंक्ति: निर्धारित शीर्ष, उसकी अंतिम दूरी, और वे पड़ोसी जिनकी दूरी सुधरती है।

A (0): B: 5, C: 6
B (5): D: 15, G: 16
C (6): E: 15, G: 12
G (12)
D (15)
E (15): F: 30
F (30)

सबसे छोटा पथ

A → C → E → F
d(F) = 30

उत्तर

d(F) = 30

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