डेटा संरचना और एल्गोरिदम: क्रैम पैक

सूत्र-पत्रक, हर विषय के मुख्य विधि-चरण और 6 अभ्यास प्रश्न, पूरे हल पीछे दिए गए हैं।

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1सूत्र और विधियाँ

ग्राफ़ सिद्धांत

हैंडशेक लेमा
Σ deg(v) = 2|E|
पूर्ण ग्राफ़
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
नियमित ग्राफ़
|E| = n·k/2
वृक्ष और वन
|E| = n − 1, |E| = n − c
वृक्ष के पत्ते
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
यूलर
परिपथ: सभी घात सम; पथ: ठीक 2 घात विषम
Kn में हैमिल्टन परिपथ
(n − 1)!/2
डाइक्स्ट्रा अद्यतन
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
लंबाई L की वॉक
(Mᴸ)ij

विधि

  1. हर शीर्ष की घात लिखें; घातों का योग कोरों की संख्या का दोगुना होता है।
  2. यूलर के प्रश्नों में जाँचें कि ग्राफ़ संबद्ध है और विषम घात वाले शीर्षों को गिनें।
  3. वृक्षों के लिए n − 1 कोरों और हैंडशेक लेमा का उपयोग करें।
  4. डाइक्स्ट्रा के लिए अस्थायी दूरियों की सारणी रखें और हर चक्र में सबसे छोटी दूरी वाले अनिर्धारित शीर्ष को निर्धारित करें।
  5. न्यूनतम स्पैनिंग ट्री के लिए कोरों को भार के अनुसार क्रमबद्ध करें और चक्र बनाने वाली हर कोर छोड़ दें (क्रुस्कल), या किसी प्रारंभिक शीर्ष से एक वृक्ष बढ़ाएँ (प्रिम)।

2अभ्यास प्रश्न

1.एल्गोरिदम और जटिलतामध्यम

1,000,000 तत्वों के सॉर्टेड ऐरे पर बाइनरी सर्च को वर्स्ट केस में लगभग कितनी तुलनाएँ चाहिए?

  1. Aलगभग 100
  2. Bलगभग 1,000
  3. Cलगभग 500,000
  4. Dलगभग 20
2.एल्गोरिदम और जटिलताकठिन

यह दिखाने के लिए कि कोई नई समस्या X NP-hard है, आपको क्या करना होगा?

  1. Aदिखाना कि X बहुपदी समय में सत्यापित हो सकती है
  2. Bकिसी ज्ञात NP-hard समस्या को बहुपदी समय में X में रिड्यूस करना
  3. Cदिखाना कि छोटे इनपुट के लिए X का कोई बहुपदी एल्गोरिदम नहीं है
  4. DX को बहुपदी समय में किसी ज्ञात NP-hard समस्या में रिड्यूस करना
3.डेटा संरचनाएँमध्यम

n तत्वों के ऐरे के बीच में एक तत्व डालने की लागत क्या है?

  1. AO(n²), क्योंकि हर तत्व n बार खिसकता है
  2. BO(log n), बाइनरी सर्च के कारण
  3. CO(1), क्योंकि इंडेक्स ज्ञात है
  4. DO(n), क्योंकि बाद के तत्वों को खिसकना पड़ता है
4.डेटा संरचनाएँकठिन

हीपसॉर्ट के बारे में कौन-सा कथन सही है?

  1. Aयह O(n log n) वर्स्ट-केस समय में इन-प्लेस सॉर्ट करता है पर स्टेबल नहीं है
  2. Bइसे अतिरिक्त भंडारण के रूप में बाइनरी सर्च ट्री चाहिए, इसलिए यह O(n) अतिरिक्त मेमोरी लेता है
  3. Cयह किसी भी इनपुट पर O(n) समय में चलता है
  4. Dयह स्टेबल है और O(n) अतिरिक्त मेमोरी चाहता है
5.ग्राफ़ सिद्धांतमध्यम
ABCDEFयूलर परिपथयूलर पथ, परिपथ नहींदोनों में से कुछ नहीं

क्या संबद्ध ग्राफ़ में यूलर परिपथ है, परिपथ न होने वाला यूलर पथ है, या दोनों में से कुछ नहीं? अपना उत्तर क्लिक करें।

|V| = 6|E| = 6
  1. 1यूलर परिपथ
  2. 2यूलर पथ, परिपथ नहीं
  3. 3दोनों में से कुछ नहीं
6.ग्राफ़ सिद्धांतकठिन
11858913713ABCDEF

भारित ग्राफ़ में A से F तक के सबसे छोटे पथ की लंबाई d(F) डाइक्स्ट्रा के एल्गोरिथ्म से ज्ञात करें।

प्रारंभ: Aअंत: F
d(F) =

3विलयन

1.एल्गोरिदम और जटिलता

उत्तर: D · लगभग 20

यह उत्तर क्यों है

220 ≈ 1,048,576, इसलिए लगभग 20 बार आधा करने के बाद केवल एक तत्व बचता है।

उत्तर

D · लगभग 20
2.एल्गोरिदम और जटिलता

उत्तर: B · किसी ज्ञात NP-hard समस्या को बहुपदी समय में X में रिड्यूस करना

यह उत्तर क्यों है

यदि किसी ज्ञात कठिन समस्या को कुशलता से X में बदला जा सके, तो X का तेज़ एल्गोरिदम ज्ञात समस्या को भी हल कर देगा।

उत्तर

B · किसी ज्ञात NP-hard समस्या को बहुपदी समय में X में रिड्यूस करना
3.डेटा संरचनाएँ

उत्तर: D · O(n), क्योंकि बाद के तत्वों को खिसकना पड़ता है

यह उत्तर क्यों है

डालने के बिंदु के बाद के सभी तत्व एक स्थान दाएँ खिसकते हैं, जिसमें n के अनुपाती समय लगता है।

उत्तर

D · O(n), क्योंकि बाद के तत्वों को खिसकना पड़ता है
4.डेटा संरचनाएँ

उत्तर: A · यह O(n log n) वर्स्ट-केस समय में इन-प्लेस सॉर्ट करता है पर स्टेबल नहीं है

यह उत्तर क्यों है

हीपसॉर्ट एक मैक्स-हीप बनाता है और उसी ऐरे के भीतर n बार अधिकतम निकालता है; लंबी दूरी के स्वैप समान कुंजियों का क्रम बदल सकते हैं।

उत्तर

A · यह O(n log n) वर्स्ट-केस समय में इन-प्लेस सॉर्ट करता है पर स्टेबल नहीं है
5.ग्राफ़ सिद्धांत

उत्तर: यूलर पथ, परिपथ नहीं

यूलर, हैमिल्टन और वृक्ष: संबद्ध ग्राफ़ में यूलर परिपथ (हर कोर एक बार, शुरुआत पर वापसी) तब होता है जब हर शीर्ष की घात सम हो, और परिपथ न होने वाला यूलर पथ तब जब ठीक दो शीर्षों की घात विषम हो; तब पथ एक विषम शीर्ष से दूसरे तक चलता है। हैमिल्टन परिपथ हर शीर्ष पर एक बार जाता है; Kn में ऐसे (n − 1)!/2 होते हैं। n शीर्षों वाले वृक्ष में n − 1 कोरें होती हैं, और m कोरों वाला संबद्ध ग्राफ़ m − n + 1 कोरें हटाने के बाद स्पैनिंग ट्री रखता है।

घात

deg(A) = 2, deg(B) = 2, deg(C) = 1, deg(D) = 2, deg(E) = 3, deg(F) = 2

विषम शीर्ष

C, E → 2
यूलर पथ, परिपथ नहीं

उत्तर

यूलर पथ, परिपथ नहीं

यूलर पथ एक विषम शीर्ष से शुरू होता है और दूसरे पर समाप्त होता है।

6.ग्राफ़ सिद्धांत

उत्तर: d(F) = 31

सबसे छोटे पथ और स्पैनिंग ट्री: डाइक्स्ट्रा का एल्गोरिथ्म हर चक्र में एक शीर्ष निर्धारित करता है: सबसे छोटी अस्थायी दूरी वाला अनिर्धारित शीर्ष। तब उसकी दूरी अंतिम होती है, और हर पड़ोसी v को d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)) मिलता है। क्रुस्कल का एल्गोरिथ्म कोरों को हल्की से भारी की ओर लेकर और चक्र बनाने वाली हर कोर छोड़कर न्यूनतम स्पैनिंग ट्री बनाता है; प्रिम का एल्गोरिथ्म प्रारंभिक शीर्ष से एक वृक्ष बढ़ाता है और हमेशा उससे बाहर जाने वाली सबसे हल्की कोर जोड़ता है। n शीर्षों के स्पैनिंग ट्री में n − 1 कोरें होती हैं।

डाइक्स्ट्रा चक्र-दर-चक्र

हर पंक्ति: निर्धारित शीर्ष, उसकी अंतिम दूरी, और वे पड़ोसी जिनकी दूरी सुधरती है।

A (0): B: 11, C: 8
C (8)
B (11): D: 19, E: 24
D (19): F: 32
E (24): F: 31
F (31)

सबसे छोटा पथ

A → B → E → F
d(F) = 31

उत्तर

d(F) = 31

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