डेटा संरचना और एल्गोरिदम: क्रैम पैक

सूत्र-पत्रक, हर विषय के मुख्य विधि-चरण और 6 अभ्यास प्रश्न, पूरे हल पीछे दिए गए हैं।

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1सूत्र और विधियाँ

ग्राफ़ सिद्धांत

हैंडशेक लेमा
Σ deg(v) = 2|E|
पूर्ण ग्राफ़
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
नियमित ग्राफ़
|E| = n·k/2
वृक्ष और वन
|E| = n − 1, |E| = n − c
वृक्ष के पत्ते
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
यूलर
परिपथ: सभी घात सम; पथ: ठीक 2 घात विषम
Kn में हैमिल्टन परिपथ
(n − 1)!/2
डाइक्स्ट्रा अद्यतन
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
लंबाई L की वॉक
(Mᴸ)ij

विधि

  1. हर शीर्ष की घात लिखें; घातों का योग कोरों की संख्या का दोगुना होता है।
  2. यूलर के प्रश्नों में जाँचें कि ग्राफ़ संबद्ध है और विषम घात वाले शीर्षों को गिनें।
  3. वृक्षों के लिए n − 1 कोरों और हैंडशेक लेमा का उपयोग करें।
  4. डाइक्स्ट्रा के लिए अस्थायी दूरियों की सारणी रखें और हर चक्र में सबसे छोटी दूरी वाले अनिर्धारित शीर्ष को निर्धारित करें।
  5. न्यूनतम स्पैनिंग ट्री के लिए कोरों को भार के अनुसार क्रमबद्ध करें और चक्र बनाने वाली हर कोर छोड़ दें (क्रुस्कल), या किसी प्रारंभिक शीर्ष से एक वृक्ष बढ़ाएँ (प्रिम)।

2अभ्यास प्रश्न

1.एल्गोरिदम और जटिलतामध्यम

फ़्लॉयड–वॉर्शल एल्गोरिदम क्या गणना करता है, और कितनी तेज़ी से?

  1. Aएक स्रोत शीर्ष से बाकी सभी तक सबसे छोटे पथ, O(V + E) में
  2. Bएक मिनिमम स्पैनिंग ट्री, O(E log V) में
  3. Cएक टोपोलॉजिकल क्रम, O(V²) में
  4. Dशीर्षों के सभी युग्मों के बीच सबसे छोटे पथ, O(V³) में
2.एल्गोरिदम और जटिलताकठिन

केवल अंतिम दो मान रखने वाले लूप से n-वीं फ़िबोनाची संख्या की गणना की समय और स्पेस लागत क्या है?

  1. AO(n) समय और O(n) स्पेस
  2. BO(2ⁿ) समय और O(1) स्पेस
  3. CO(log n) समय और O(n) स्पेस
  4. DO(n) समय और O(1) स्पेस
3.डेटा संरचनाएँमध्यम

ट्राई (प्रीफ़िक्स ट्री) विशेष रूप से किसके लिए कुशल है?

  1. Aसबसे छोटे पथ खोजने के लिए
  2. Bमैट्रिक्स संग्रहीत करने के लिए
  3. Cसंख्याओं को क्रमबद्ध करने के लिए
  4. Dऑटोकम्प्लीट जैसी प्रीफ़िक्स खोजों के लिए
4.डेटा संरचनाएँकठिन

बाइनरी हीप में decrease-key की समय जटिलता (तत्व की स्थिति ज्ञात होने पर) क्या है?

  1. AO(n log n)
  2. BO(log n)
  3. CO(n)
  4. DO(1)
5.ग्राफ़ सिद्धांतमध्यम
ABCDEयूलर परिपथयूलर पथ, परिपथ नहींदोनों में से कुछ नहीं

क्या संबद्ध ग्राफ़ में यूलर परिपथ है, परिपथ न होने वाला यूलर पथ है, या दोनों में से कुछ नहीं? अपना उत्तर क्लिक करें।

|V| = 5|E| = 6
  1. 1यूलर परिपथ
  2. 2यूलर पथ, परिपथ नहीं
  3. 3दोनों में से कुछ नहीं
6.ग्राफ़ सिद्धांतकठिन
ABCDE

लंबाई 2 की कितनी बंद वॉक D से शुरू और समाप्त होती हैं? वॉक में शीर्ष और कोरें दोहराई जा सकती हैं। संख्या को N कहें।

M = संलग्नता आव्यूहL = 2
N =

3विलयन

1.एल्गोरिदम और जटिलता

उत्तर: D · शीर्षों के सभी युग्मों के बीच सबसे छोटे पथ, O(V³) में

यह उत्तर क्यों है

फ़्लॉयड–वॉर्शल एक डायनेमिक प्रोग्रामिंग एल्गोरिदम है जो बारी-बारी से हर शीर्ष को मध्यवर्ती बिंदु के रूप में अनुमति देता है, O(V³) समय में।

उत्तर

D · शीर्षों के सभी युग्मों के बीच सबसे छोटे पथ, O(V³) में
2.एल्गोरिदम और जटिलता

उत्तर: D · O(n) समय और O(1) स्पेस

यह उत्तर क्यों है

हर चरण को केवल पिछले दो मान चाहिए, इसलिए बॉटम-अप विधि की तालिका को दो वेरिएबल से बदला जा सकता है।

उत्तर

D · O(n) समय और O(1) स्पेस
3.डेटा संरचनाएँ

उत्तर: D · ऑटोकम्प्लीट जैसी प्रीफ़िक्स खोजों के लिए

यह उत्तर क्यों है

ट्राई स्ट्रिंग्स को पथों के साथ अक्षरों के रूप में संग्रहीत करता है, इसलिए लुकअप और प्रीफ़िक्स क्वेरी में कुंजी की लंबाई के अनुपात में समय लगता है।

उत्तर

D · ऑटोकम्प्लीट जैसी प्रीफ़िक्स खोजों के लिए
4.डेटा संरचनाएँ

उत्तर: B · O(log n)

यह उत्तर क्यों है

कुंजी घटाने के बाद तत्व अधिकतम हीप की ऊँचाई तक ऊपर खिसकता है (sift up)। फ़िबोनाची हीप O(1) परिशोधित decrease-key प्राप्त करते हैं।

उत्तर

B · O(log n)
5.ग्राफ़ सिद्धांत

उत्तर: यूलर परिपथ

यूलर, हैमिल्टन और वृक्ष: संबद्ध ग्राफ़ में यूलर परिपथ (हर कोर एक बार, शुरुआत पर वापसी) तब होता है जब हर शीर्ष की घात सम हो, और परिपथ न होने वाला यूलर पथ तब जब ठीक दो शीर्षों की घात विषम हो; तब पथ एक विषम शीर्ष से दूसरे तक चलता है। हैमिल्टन परिपथ हर शीर्ष पर एक बार जाता है; Kn में ऐसे (n − 1)!/2 होते हैं। n शीर्षों वाले वृक्ष में n − 1 कोरें होती हैं, और m कोरों वाला संबद्ध ग्राफ़ m − n + 1 कोरें हटाने के बाद स्पैनिंग ट्री रखता है।

घात

deg(A) = 2, deg(B) = 4, deg(C) = 2, deg(D) = 2, deg(E) = 2

विषम शीर्ष

0
यूलर परिपथ

उत्तर

यूलर परिपथ
6.ग्राफ़ सिद्धांत

उत्तर: N = 1

घात: किसी शीर्ष की घात उससे मिलने वाली कोरों की संख्या है। हर कोर के दो सिरे होते हैं, इसलिए घातों का योग कोरों की संख्या का दोगुना होता है: Σ deg(v) = 2|E| (हैंडशेक लेमा)। अतः विषम घात वाले शीर्षों की संख्या सम होती है। Kn में n(n − 1)/2 कोरें होती हैं, n शीर्षों पर k-नियमित ग्राफ़ में nk/2, और n शीर्षों वाले वृक्ष में n − 1 कोरें।

संलग्नता आव्यूह

A: 0 1 1 0 0
B: 1 0 1 1 1
C: 1 1 0 0 1
D: 0 1 0 0 0
E: 0 1 1 0 0

उभयनिष्ठ पड़ोसी

(M²)DD = 0·0 + 1·1 + 0·0 + 0·0 + 0·0 = 1

उत्तर

N = 1

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