डेटा संरचना और एल्गोरिदम: क्रैम पैक

सूत्र-पत्रक, हर विषय के मुख्य विधि-चरण और 6 अभ्यास प्रश्न, पूरे हल पीछे दिए गए हैं।

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1सूत्र और विधियाँ

ग्राफ़ सिद्धांत

हैंडशेक लेमा
Σ deg(v) = 2|E|
पूर्ण ग्राफ़
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
नियमित ग्राफ़
|E| = n·k/2
वृक्ष और वन
|E| = n − 1, |E| = n − c
वृक्ष के पत्ते
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
यूलर
परिपथ: सभी घात सम; पथ: ठीक 2 घात विषम
Kn में हैमिल्टन परिपथ
(n − 1)!/2
डाइक्स्ट्रा अद्यतन
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
लंबाई L की वॉक
(Mᴸ)ij

विधि

  1. हर शीर्ष की घात लिखें; घातों का योग कोरों की संख्या का दोगुना होता है।
  2. यूलर के प्रश्नों में जाँचें कि ग्राफ़ संबद्ध है और विषम घात वाले शीर्षों को गिनें।
  3. वृक्षों के लिए n − 1 कोरों और हैंडशेक लेमा का उपयोग करें।
  4. डाइक्स्ट्रा के लिए अस्थायी दूरियों की सारणी रखें और हर चक्र में सबसे छोटी दूरी वाले अनिर्धारित शीर्ष को निर्धारित करें।
  5. न्यूनतम स्पैनिंग ट्री के लिए कोरों को भार के अनुसार क्रमबद्ध करें और चक्र बनाने वाली हर कोर छोड़ दें (क्रुस्कल), या किसी प्रारंभिक शीर्ष से एक वृक्ष बढ़ाएँ (प्रिम)।

2अभ्यास प्रश्न

1.एल्गोरिदम और जटिलतामध्यम

रिकरेंस T(n) = 2T(n/2) + O(n) का हल क्या है?

  1. AO(n²)
  2. BO(n)
  3. CO(n log n)
  4. DO(log n)
2.एल्गोरिदम और जटिलताकठिन

for i = 1 to n: for (j = i; j ≤ n; j = j + i) O(1) कार्य करें — इसकी टाइम कॉम्प्लेक्सिटी क्या है?

  1. AO(n)
  2. BO(n √n)
  3. CO(n²)
  4. DO(n log n)
3.डेटा संरचनाएँमध्यम

AVL ट्री हर नोड पर कौन-सी संतुलन शर्त बनाए रखता है?

  1. Aहर नोड के दोनों सबट्री में ठीक समान संख्या में नोड होते हैं
  2. Bसभी लीफ़ ठीक समान गहराई पर होते हैं
  3. Cहर नोड लाल या काले रंग का होता है
  4. Dबाएँ और दाएँ सबट्री की ऊँचाइयों में अधिकतम 1 का अंतर
4.डेटा संरचनाएँकठिन

हैश टेबल के सही काम करने के लिए हैश और समानता (equality) को कौन-सा नियम मानना चाहिए?

  1. Aसमान कुंजियों के हैश मान समान होने चाहिए
  2. Bसमान हैश मानों का अर्थ है समान कुंजियाँ
  3. Cअलग कुंजियों के हैश मान अलग होने चाहिए
  4. Dहैश मान अभाज्य संख्याएँ होने चाहिए
5.ग्राफ़ सिद्धांतमध्यम

पूर्ण ग्राफ़ K5 में कितने भिन्न हैमिल्टन परिपथ H हैं? जो परिपथ केवल प्रारंभिक शीर्ष या दिशा में भिन्न हों, उन्हें एक ही गिना जाता है।

K5
H =
6.ग्राफ़ सिद्धांतकठिन
ABCDEF

लंबाई 3 की कितनी वॉक A से F तक जाती हैं? वॉक में शीर्ष और कोरें दोहराई जा सकती हैं। संख्या को N कहें।

M = संलग्नता आव्यूहL = 3
N =

3विलयन

1.एल्गोरिदम और जटिलता

उत्तर: C · O(n log n)

यह उत्तर क्यों है

मास्टर प्रमेय (master theorem) से (a = 2, b = 2, f(n) = n), T(n) = Θ(n log n)।

उत्तर

C · O(n log n)
2.एल्गोरिदम और जटिलता

उत्तर: D · O(n log n)

यह उत्तर क्यों है

कुल n / 1 + n / 2 + ... + n / n = n × Hn है, और हार्मोनिक संख्या Hn, Θ(log n) है।

उत्तर

D · O(n log n)
3.डेटा संरचनाएँ

उत्तर: D · बाएँ और दाएँ सबट्री की ऊँचाइयों में अधिकतम 1 का अंतर

यह उत्तर क्यों है

बैलेंस फ़ैक्टर (बाएँ की ऊँचाई − दाएँ की ऊँचाई) −1, 0 या 1 होना चाहिए; इंसर्ट और डिलीट के बाद रोटेशन इसे बहाल करते हैं।

उत्तर

D · बाएँ और दाएँ सबट्री की ऊँचाइयों में अधिकतम 1 का अंतर
4.डेटा संरचनाएँ

उत्तर: A · समान कुंजियों के हैश मान समान होने चाहिए

यह उत्तर क्यों है

यदि दो समान कुंजियों के हैश अलग हों, तो वे अलग बकेटों में संग्रहीत होंगी और खोज विफल होगी; असमान कुंजियाँ फिर भी एक हैश साझा कर सकती हैं।

उत्तर

A · समान कुंजियों के हैश मान समान होने चाहिए
5.ग्राफ़ सिद्धांत

उत्तर: H = 12

यूलर, हैमिल्टन और वृक्ष: संबद्ध ग्राफ़ में यूलर परिपथ (हर कोर एक बार, शुरुआत पर वापसी) तब होता है जब हर शीर्ष की घात सम हो, और परिपथ न होने वाला यूलर पथ तब जब ठीक दो शीर्षों की घात विषम हो; तब पथ एक विषम शीर्ष से दूसरे तक चलता है। हैमिल्टन परिपथ हर शीर्ष पर एक बार जाता है; Kn में ऐसे (n − 1)!/2 होते हैं। n शीर्षों वाले वृक्ष में n − 1 कोरें होती हैं, और m कोरों वाला संबद्ध ग्राफ़ m − n + 1 कोरें हटाने के बाद स्पैनिंग ट्री रखता है।

गिनें

H = (5 − 1)!/2 = 24/2 = 12

उत्तर

H = 12
6.ग्राफ़ सिद्धांत

उत्तर: N = 2

घात: किसी शीर्ष की घात उससे मिलने वाली कोरों की संख्या है। हर कोर के दो सिरे होते हैं, इसलिए घातों का योग कोरों की संख्या का दोगुना होता है: Σ deg(v) = 2|E| (हैंडशेक लेमा)। अतः विषम घात वाले शीर्षों की संख्या सम होती है। Kn में n(n − 1)/2 कोरें होती हैं, n शीर्षों पर k-नियमित ग्राफ़ में nk/2, और n शीर्षों वाले वृक्ष में n − 1 कोरें।

संलग्नता आव्यूह

A: 0 1 1 0 0 0
B: 1 0 1 1 1 0
C: 1 1 0 0 1 0
D: 0 1 0 0 1 0
E: 0 1 1 1 0 1
F: 0 0 0 0 1 0

एक कदम और

(M³)AF = 2·0 + 1·0 + 1·0 + 1·0 + 2·1 + 0·0 = 2

उत्तर

N = 2

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