डेटा संरचना और एल्गोरिदम: क्रैम पैक

सूत्र-पत्रक, हर विषय के मुख्य विधि-चरण और 6 अभ्यास प्रश्न, पूरे हल पीछे दिए गए हैं।

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1सूत्र और विधियाँ

ग्राफ़ सिद्धांत

हैंडशेक लेमा
Σ deg(v) = 2|E|
पूर्ण ग्राफ़
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
नियमित ग्राफ़
|E| = n·k/2
वृक्ष और वन
|E| = n − 1, |E| = n − c
वृक्ष के पत्ते
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
यूलर
परिपथ: सभी घात सम; पथ: ठीक 2 घात विषम
Kn में हैमिल्टन परिपथ
(n − 1)!/2
डाइक्स्ट्रा अद्यतन
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
लंबाई L की वॉक
(Mᴸ)ij

विधि

  1. हर शीर्ष की घात लिखें; घातों का योग कोरों की संख्या का दोगुना होता है।
  2. यूलर के प्रश्नों में जाँचें कि ग्राफ़ संबद्ध है और विषम घात वाले शीर्षों को गिनें।
  3. वृक्षों के लिए n − 1 कोरों और हैंडशेक लेमा का उपयोग करें।
  4. डाइक्स्ट्रा के लिए अस्थायी दूरियों की सारणी रखें और हर चक्र में सबसे छोटी दूरी वाले अनिर्धारित शीर्ष को निर्धारित करें।
  5. न्यूनतम स्पैनिंग ट्री के लिए कोरों को भार के अनुसार क्रमबद्ध करें और चक्र बनाने वाली हर कोर छोड़ दें (क्रुस्कल), या किसी प्रारंभिक शीर्ष से एक वृक्ष बढ़ाएँ (प्रिम)।

2अभ्यास प्रश्न

1.एल्गोरिदम और जटिलतामध्यम

बॉटम-अप तालिका से n-वीं फ़िबोनाची संख्या की गणना की टाइम कॉम्प्लेक्सिटी क्या है?

  1. AO(log n)
  2. BO(n)
  3. CO(2ⁿ)
  4. DO(n²)
2.एल्गोरिदम और जटिलताकठिन

log(n!) के लिए कौन-सी सीमा सही है?

  1. AΘ(n)
  2. BΘ(n log n)
  3. CΘ(log n)
  4. DΘ(n²)
3.डेटा संरचनाएँमध्यम

आपके पास एक लिस्ट के बीच के नोड का संदर्भ है। किस लिस्ट में आप उसे O(1) में हटा सकते हैं?

  1. Aसॉर्टेड ऐरे
  2. Bडबली लिंक्ड लिस्ट
  3. Cडायनेमिक ऐरे
  4. Dसिंगली लिंक्ड लिस्ट
4.डेटा संरचनाएँकठिन

क्रमबद्ध लिंक्ड लिस्ट की तुलना में स्किप लिस्ट का मुख्य लाभ क्या है?

  1. Aयह कोई अतिरिक्त मेमोरी नहीं लेती
  2. Bआगे के पॉइंटरों के कई स्तरों का उपयोग करके अपेक्षित O(log n) खोज
  3. Cयह कुंजियों को बिना क्रम के संग्रहीत करती है
  4. Dगारंटीकृत O(1) खोज, क्योंकि हर नोड बाकी हर नोड का पॉइंटर रखता है
5.ग्राफ़ सिद्धांतमध्यम

एक संबद्ध ग्राफ़ में 10 शीर्ष और 15 कोरें हैं। स्पैनिंग ट्री बचाने के लिए कितनी कोरें k हटानी होंगी?

|V| = 10|E| = 15
k =
6.ग्राफ़ सिद्धांतकठिन
468711514219ABCDEFG

भारित ग्राफ़ के न्यूनतम स्पैनिंग ट्री का कुल भार W ज्ञात करें।

|V| = 7|E| = 9
W =

3विलयन

1.एल्गोरिदम और जटिलता

उत्तर: B · O(n)

यह उत्तर क्यों है

0 से n तक तालिका भरने में प्रति प्रविष्टि एक जोड़ लगता है, इसलिए कार्य घातांकी के बजाय रैखिक है।

उत्तर

B · O(n)
2.एल्गोरिदम और जटिलता

उत्तर: B · Θ(n log n)

यह उत्तर क्यों है

log(n!) ≤ n log n, और सबसे बड़े n / 2 गुणक log(n!) ≥ (n / 2) log(n / 2) देते हैं; इसीलिए तुलना-आधारित सॉर्टिंग को Ω(n log n) चाहिए।

उत्तर

B · Θ(n log n)
3.डेटा संरचनाएँ

उत्तर: B · डबली लिंक्ड लिस्ट

यह उत्तर क्यों है

डबली लिंक्ड नोड अपने पूर्ववर्ती को जानता है, इसलिए आप prev और next को सीधे जोड़ सकते हैं; सिंगली लिंक्ड लिस्ट में पूर्ववर्ती खोजना पड़ता है।

उत्तर

B · डबली लिंक्ड लिस्ट
4.डेटा संरचनाएँ

उत्तर: B · आगे के पॉइंटरों के कई स्तरों का उपयोग करके अपेक्षित O(log n) खोज

यह उत्तर क्यों है

यादृच्छिक स्तर खोज को कई नोड्स छोड़ने देते हैं, जिससे खोज, इंसर्ट और डिलीट अपेक्षित O(log n) होते हैं।

उत्तर

B · आगे के पॉइंटरों के कई स्तरों का उपयोग करके अपेक्षित O(log n) खोज
5.ग्राफ़ सिद्धांत

उत्तर: k = 6

यूलर, हैमिल्टन और वृक्ष: संबद्ध ग्राफ़ में यूलर परिपथ (हर कोर एक बार, शुरुआत पर वापसी) तब होता है जब हर शीर्ष की घात सम हो, और परिपथ न होने वाला यूलर पथ तब जब ठीक दो शीर्षों की घात विषम हो; तब पथ एक विषम शीर्ष से दूसरे तक चलता है। हैमिल्टन परिपथ हर शीर्ष पर एक बार जाता है; Kn में ऐसे (n − 1)!/2 होते हैं। n शीर्षों वाले वृक्ष में n − 1 कोरें होती हैं, और m कोरों वाला संबद्ध ग्राफ़ m − n + 1 कोरें हटाने के बाद स्पैनिंग ट्री रखता है।

स्पैनिंग ट्री की कोरें

10 − 1 = 9

हटाई जाने वाली कोरें

k = 15 − 9 = 6

उत्तर

k = 6
6.ग्राफ़ सिद्धांत

उत्तर: W = 35

सबसे छोटे पथ और स्पैनिंग ट्री: डाइक्स्ट्रा का एल्गोरिथ्म हर चक्र में एक शीर्ष निर्धारित करता है: सबसे छोटी अस्थायी दूरी वाला अनिर्धारित शीर्ष। तब उसकी दूरी अंतिम होती है, और हर पड़ोसी v को d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)) मिलता है। क्रुस्कल का एल्गोरिथ्म कोरों को हल्की से भारी की ओर लेकर और चक्र बनाने वाली हर कोर छोड़कर न्यूनतम स्पैनिंग ट्री बनाता है; प्रिम का एल्गोरिथ्म प्रारंभिक शीर्ष से एक वृक्ष बढ़ाता है और हमेशा उससे बाहर जाने वाली सबसे हल्की कोर जोड़ता है। n शीर्षों के स्पैनिंग ट्री में n − 1 कोरें होती हैं।

क्रुस्कल का एल्गोरिथ्म

GC (2): लें
AB (4): लें
EF (5): लें
AC (6): लें
BD (7): लें
BC (8): छोड़ें, चक्र बनता है
DE (11): लें

कुल भार

W = 2 + 4 + 5 + 6 + 7 + 11 = 35

उत्तर

W = 35

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