डेटा संरचना और एल्गोरिदम: क्रैम पैक

सूत्र-पत्रक, हर विषय के मुख्य विधि-चरण और 6 अभ्यास प्रश्न, पूरे हल पीछे दिए गए हैं।

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1सूत्र और विधियाँ

ग्राफ़ सिद्धांत

हैंडशेक लेमा
Σ deg(v) = 2|E|
पूर्ण ग्राफ़
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
नियमित ग्राफ़
|E| = n·k/2
वृक्ष और वन
|E| = n − 1, |E| = n − c
वृक्ष के पत्ते
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
यूलर
परिपथ: सभी घात सम; पथ: ठीक 2 घात विषम
Kn में हैमिल्टन परिपथ
(n − 1)!/2
डाइक्स्ट्रा अद्यतन
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
लंबाई L की वॉक
(Mᴸ)ij

विधि

  1. हर शीर्ष की घात लिखें; घातों का योग कोरों की संख्या का दोगुना होता है।
  2. यूलर के प्रश्नों में जाँचें कि ग्राफ़ संबद्ध है और विषम घात वाले शीर्षों को गिनें।
  3. वृक्षों के लिए n − 1 कोरों और हैंडशेक लेमा का उपयोग करें।
  4. डाइक्स्ट्रा के लिए अस्थायी दूरियों की सारणी रखें और हर चक्र में सबसे छोटी दूरी वाले अनिर्धारित शीर्ष को निर्धारित करें।
  5. न्यूनतम स्पैनिंग ट्री के लिए कोरों को भार के अनुसार क्रमबद्ध करें और चक्र बनाने वाली हर कोर छोड़ दें (क्रुस्कल), या किसी प्रारंभिक शीर्ष से एक वृक्ष बढ़ाएँ (प्रिम)।

2अभ्यास प्रश्न

1.एल्गोरिदम और जटिलतामध्यम

एक सरल रिकर्सिव फ़ैक्टोरियल फ़ंक्शन fact(n) = n × fact(n − 1) कितना स्टैक स्पेस उपयोग करता है?

  1. AO(1)
  2. BO(log n)
  3. CO(n)
  4. DO(n²)
2.एल्गोरिदम और जटिलताकठिन

करात्सुबा गुणन T(n) = 3T(n/2) + O(n) को संतुष्ट करता है। इसका हल क्या है?

  1. AΘ(n²)
  2. BΘ(n3)
  3. CΘ(nlog₂ 3), लगभग n1.585
  4. DΘ(n log n)
3.डेटा संरचनाएँमध्यम

निश्चित वर्णमाला वाले ट्राई (trie) में L लंबाई के शब्द को खोजने में कितना समय लगता है?

  1. AO(n), जहाँ n शब्दों की संख्या है
  2. BO(log n), जहाँ n शब्दों की संख्या है
  3. CO(L), संग्रहीत शब्दों की संख्या से स्वतंत्र
  4. DO(L × n)
4.डेटा संरचनाएँकठिन

AVL ट्री में एक कुंजी डालने से किसी नोड का बायाँ सबट्री बहुत ऊँचा हो जाता है, और नई कुंजी उसके बाएँ चाइल्ड के बाएँ सबट्री में गई (left-left स्थिति)। कौन-सा सुधार लागू होता है?

  1. Aनोड और उसके चाइल्ड का रंग बदलना
  2. Bअसंतुलित नोड पर एक एकल बायाँ रोटेशन
  3. Cचाइल्ड पर बायाँ रोटेशन, फिर नोड पर दायाँ रोटेशन
  4. Dअसंतुलित नोड पर एक एकल दायाँ रोटेशन
5.ग्राफ़ सिद्धांतमध्यम

एक वृक्ष में घात 4 वाले 4 शीर्ष, घात 5 वाले 2 शीर्ष है, और उसके बाकी सभी शीर्ष पत्ते (घात 1) हैं। उसमें कितने पत्ते L हैं?

4 × deg 42 × deg 5
L =
6.ग्राफ़ सिद्धांतकठिन
1510311015121215ABCDEFG

भारित ग्राफ़ में A से F तक के सबसे छोटे पथ की लंबाई d(F) डाइक्स्ट्रा के एल्गोरिथ्म से ज्ञात करें।

प्रारंभ: Aअंत: F
d(F) =

3विलयन

1.एल्गोरिदम और जटिलता

उत्तर: C · O(n)

यह उत्तर क्यों है

कोई भी कॉल लौटने से पहले रिकर्शन n कॉल गहरा होता है, और हर कॉल को एक स्टैक फ़्रेम चाहिए, इसलिए यह O(n) स्पेस लेता है।

उत्तर

C · O(n)
2.एल्गोरिदम और जटिलता

उत्तर: C · Θ(nlog₂ 3), लगभग n1.585

यह उत्तर क्यों है

चूँकि log₂ 3 ≈ 1.585 > 1, मास्टर प्रमेय से पत्तियाँ (leaves) प्रभावी होती हैं, जो O(n²) पारंपरिक विधि से बेहतर है।

उत्तर

C · Θ(nlog₂ 3), लगभग n1.585
3.डेटा संरचनाएँ

उत्तर: C · O(L), संग्रहीत शब्दों की संख्या से स्वतंत्र

यह उत्तर क्यों है

हर अक्षर एक चाइल्ड चुनता है, इसलिए ट्राई में कितने भी शब्द हों, खोज में L चरण लगते हैं।

उत्तर

C · O(L), संग्रहीत शब्दों की संख्या से स्वतंत्र
4.डेटा संरचनाएँ

उत्तर: D · असंतुलित नोड पर एक एकल दायाँ रोटेशन

यह उत्तर क्यों है

Left-left स्थिति में एक दायाँ रोटेशन बाएँ चाइल्ड को ऊपर उठाकर संतुलन बहाल करता है; zig-zag स्थितियों में दोहरा रोटेशन चाहिए।

उत्तर

D · असंतुलित नोड पर एक एकल दायाँ रोटेशन
5.ग्राफ़ सिद्धांत

उत्तर: L = 16

यूलर, हैमिल्टन और वृक्ष: संबद्ध ग्राफ़ में यूलर परिपथ (हर कोर एक बार, शुरुआत पर वापसी) तब होता है जब हर शीर्ष की घात सम हो, और परिपथ न होने वाला यूलर पथ तब जब ठीक दो शीर्षों की घात विषम हो; तब पथ एक विषम शीर्ष से दूसरे तक चलता है। हैमिल्टन परिपथ हर शीर्ष पर एक बार जाता है; Kn में ऐसे (n − 1)!/2 होते हैं। n शीर्षों वाले वृक्ष में n − 1 कोरें होती हैं, और m कोरों वाला संबद्ध ग्राफ़ m − n + 1 कोरें हटाने के बाद स्पैनिंग ट्री रखता है।

वृक्ष के लिए हैंडशेक लेमा

L + 26 = 2(L + 6) − 2
L = 16

उत्तर

L = 16

शॉर्टकट: L = 2 + Σ (d − 2), घात d ≥ 3 वाले शीर्षों पर।

6.ग्राफ़ सिद्धांत

उत्तर: d(F) = 23

सबसे छोटे पथ और स्पैनिंग ट्री: डाइक्स्ट्रा का एल्गोरिथ्म हर चक्र में एक शीर्ष निर्धारित करता है: सबसे छोटी अस्थायी दूरी वाला अनिर्धारित शीर्ष। तब उसकी दूरी अंतिम होती है, और हर पड़ोसी v को d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)) मिलता है। क्रुस्कल का एल्गोरिथ्म कोरों को हल्की से भारी की ओर लेकर और चक्र बनाने वाली हर कोर छोड़कर न्यूनतम स्पैनिंग ट्री बनाता है; प्रिम का एल्गोरिथ्म प्रारंभिक शीर्ष से एक वृक्ष बढ़ाता है और हमेशा उससे बाहर जाने वाली सबसे हल्की कोर जोड़ता है। n शीर्षों के स्पैनिंग ट्री में n − 1 कोरें होती हैं।

डाइक्स्ट्रा चक्र-दर-चक्र

हर पंक्ति: निर्धारित शीर्ष, उसकी अंतिम दूरी, और वे पड़ोसी जिनकी दूरी सुधरती है।

A (0): B: 15, C: 10
C (10): B: 13, E: 11, G: 25
E (11): D: 21, F: 23
B (13)
D (21)
F (23)
G (25)

सबसे छोटा पथ

A → C → E → F
d(F) = 23

उत्तर

d(F) = 23

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