डेटा संरचना और एल्गोरिदम: क्रैम पैक

सूत्र-पत्रक, हर विषय के मुख्य विधि-चरण और 6 अभ्यास प्रश्न, पूरे हल पीछे दिए गए हैं।

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1सूत्र और विधियाँ

ग्राफ़ सिद्धांत

हैंडशेक लेमा
Σ deg(v) = 2|E|
पूर्ण ग्राफ़
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
नियमित ग्राफ़
|E| = n·k/2
वृक्ष और वन
|E| = n − 1, |E| = n − c
वृक्ष के पत्ते
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
यूलर
परिपथ: सभी घात सम; पथ: ठीक 2 घात विषम
Kn में हैमिल्टन परिपथ
(n − 1)!/2
डाइक्स्ट्रा अद्यतन
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
लंबाई L की वॉक
(Mᴸ)ij

विधि

  1. हर शीर्ष की घात लिखें; घातों का योग कोरों की संख्या का दोगुना होता है।
  2. यूलर के प्रश्नों में जाँचें कि ग्राफ़ संबद्ध है और विषम घात वाले शीर्षों को गिनें।
  3. वृक्षों के लिए n − 1 कोरों और हैंडशेक लेमा का उपयोग करें।
  4. डाइक्स्ट्रा के लिए अस्थायी दूरियों की सारणी रखें और हर चक्र में सबसे छोटी दूरी वाले अनिर्धारित शीर्ष को निर्धारित करें।
  5. न्यूनतम स्पैनिंग ट्री के लिए कोरों को भार के अनुसार क्रमबद्ध करें और चक्र बनाने वाली हर कोर छोड़ दें (क्रुस्कल), या किसी प्रारंभिक शीर्ष से एक वृक्ष बढ़ाएँ (प्रिम)।

2अभ्यास प्रश्न

1.एल्गोरिदम और जटिलतामध्यम

1,000,000 तत्वों के सॉर्टेड ऐरे पर बाइनरी सर्च को वर्स्ट केस में लगभग कितनी तुलनाएँ चाहिए?

  1. Aलगभग 500,000
  2. Bलगभग 100
  3. Cलगभग 1,000
  4. Dलगभग 20
2.एल्गोरिदम और जटिलताकठिन

इनमें से कौन-सी संतुष्टि समस्या बहुपदी समय में हल होने योग्य ज्ञात है?

  1. A2-SAT, जिसमें हर क्लॉज़ में अधिकतम दो लिटरल होते हैं
  2. B3-SAT, जिसमें हर क्लॉज़ में ठीक तीन लिटरल होते हैं
  3. Cकंजंक्टिव नॉर्मल फ़ॉर्म में सूत्रों पर सामान्य SAT
  4. Dसर्किट संतुष्टि
3.डेटा संरचनाएँमध्यम

"{[()]}" में कोष्ठक संतुलित हैं या नहीं, यह जाँचने के लिए कौन-सी डेटा संरचना उपयोग होती है?

  1. Aहैश टेबल
  2. Bक्यू
  3. Cबाइनरी सर्च ट्री
  4. Dस्टैक
4.डेटा संरचनाएँकठिन

कौन-सा गुण हर B-ट्री को पूर्णतः संतुलित रखता है?

  1. Aसभी लीफ़ समान गहराई पर होते हैं
  2. Bहर नोड के ठीक दो चाइल्ड होते हैं
  3. Cहर नोड एक कुंजी संग्रहीत करता है
  4. Dकुंजियाँ केवल रूट में संग्रहीत होती हैं
5.ग्राफ़ सिद्धांतमध्यम
ABCDEयूलर परिपथयूलर पथ, परिपथ नहींदोनों में से कुछ नहीं

क्या संबद्ध ग्राफ़ में यूलर परिपथ है, परिपथ न होने वाला यूलर पथ है, या दोनों में से कुछ नहीं? अपना उत्तर क्लिक करें।

|V| = 5|E| = 5
  1. 1यूलर परिपथ
  2. 2यूलर पथ, परिपथ नहीं
  3. 3दोनों में से कुछ नहीं
6.ग्राफ़ सिद्धांतकठिन
ABCDE

लंबाई 3 की कितनी वॉक A से D तक जाती हैं? वॉक में शीर्ष और कोरें दोहराई जा सकती हैं। संख्या को N कहें।

M = संलग्नता आव्यूहL = 3
N =

3विलयन

1.एल्गोरिदम और जटिलता

उत्तर: D · लगभग 20

यह उत्तर क्यों है

220 ≈ 1,048,576, इसलिए लगभग 20 बार आधा करने के बाद केवल एक तत्व बचता है।

उत्तर

D · लगभग 20
2.एल्गोरिदम और जटिलता

उत्तर: A · 2-SAT, जिसमें हर क्लॉज़ में अधिकतम दो लिटरल होते हैं

यह उत्तर क्यों है

2-SAT, P में है (स्ट्रॉन्गली कनेक्टेड कंपोनेंट्स से रैखिक समय), जबकि 3-SAT NP-complete है।

उत्तर

A · 2-SAT, जिसमें हर क्लॉज़ में अधिकतम दो लिटरल होते हैं
3.डेटा संरचनाएँ

उत्तर: D · स्टैक

यह उत्तर क्यों है

हर खुलने वाले कोष्ठक को push करें और बंद होने वाला कोष्ठक आने पर pop करें; वह pop किए गए कोष्ठक से मेल खाना चाहिए और अंत में स्टैक ख़ाली होना चाहिए।

उत्तर

D · स्टैक
4.डेटा संरचनाएँ

उत्तर: A · सभी लीफ़ समान गहराई पर होते हैं

यह उत्तर क्यों है

भरने पर नोड ऊपर की ओर विभाजित होते हैं और ट्री तभी ऊँचा होता है जब रूट विभाजित हो, इसलिए सभी लीफ़ हमेशा एक ही स्तर पर रहते हैं।

उत्तर

A · सभी लीफ़ समान गहराई पर होते हैं
5.ग्राफ़ सिद्धांत

उत्तर: यूलर परिपथ

यूलर, हैमिल्टन और वृक्ष: संबद्ध ग्राफ़ में यूलर परिपथ (हर कोर एक बार, शुरुआत पर वापसी) तब होता है जब हर शीर्ष की घात सम हो, और परिपथ न होने वाला यूलर पथ तब जब ठीक दो शीर्षों की घात विषम हो; तब पथ एक विषम शीर्ष से दूसरे तक चलता है। हैमिल्टन परिपथ हर शीर्ष पर एक बार जाता है; Kn में ऐसे (n − 1)!/2 होते हैं। n शीर्षों वाले वृक्ष में n − 1 कोरें होती हैं, और m कोरों वाला संबद्ध ग्राफ़ m − n + 1 कोरें हटाने के बाद स्पैनिंग ट्री रखता है।

घात

deg(A) = 2, deg(B) = 2, deg(C) = 2, deg(D) = 2, deg(E) = 2

विषम शीर्ष

0
यूलर परिपथ

उत्तर

यूलर परिपथ
6.ग्राफ़ सिद्धांत

उत्तर: N = 3

घात: किसी शीर्ष की घात उससे मिलने वाली कोरों की संख्या है। हर कोर के दो सिरे होते हैं, इसलिए घातों का योग कोरों की संख्या का दोगुना होता है: Σ deg(v) = 2|E| (हैंडशेक लेमा)। अतः विषम घात वाले शीर्षों की संख्या सम होती है। Kn में n(n − 1)/2 कोरें होती हैं, n शीर्षों पर k-नियमित ग्राफ़ में nk/2, और n शीर्षों वाले वृक्ष में n − 1 कोरें।

संलग्नता आव्यूह

A: 0 1 1 0 0
B: 1 0 1 1 1
C: 1 1 0 0 1
D: 0 1 0 0 1
E: 0 1 1 1 0

एक कदम और

(M³)AD = 2·0 + 1·1 + 1·0 + 1·0 + 2·1 = 3

उत्तर

N = 3

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