डेटा संरचना और एल्गोरिदम: क्रैम पैक

सूत्र-पत्रक, हर विषय के मुख्य विधि-चरण और 6 अभ्यास प्रश्न, पूरे हल पीछे दिए गए हैं।

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1सूत्र और विधियाँ

ग्राफ़ सिद्धांत

हैंडशेक लेमा
Σ deg(v) = 2|E|
पूर्ण ग्राफ़
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
नियमित ग्राफ़
|E| = n·k/2
वृक्ष और वन
|E| = n − 1, |E| = n − c
वृक्ष के पत्ते
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
यूलर
परिपथ: सभी घात सम; पथ: ठीक 2 घात विषम
Kn में हैमिल्टन परिपथ
(n − 1)!/2
डाइक्स्ट्रा अद्यतन
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
लंबाई L की वॉक
(Mᴸ)ij

विधि

  1. हर शीर्ष की घात लिखें; घातों का योग कोरों की संख्या का दोगुना होता है।
  2. यूलर के प्रश्नों में जाँचें कि ग्राफ़ संबद्ध है और विषम घात वाले शीर्षों को गिनें।
  3. वृक्षों के लिए n − 1 कोरों और हैंडशेक लेमा का उपयोग करें।
  4. डाइक्स्ट्रा के लिए अस्थायी दूरियों की सारणी रखें और हर चक्र में सबसे छोटी दूरी वाले अनिर्धारित शीर्ष को निर्धारित करें।
  5. न्यूनतम स्पैनिंग ट्री के लिए कोरों को भार के अनुसार क्रमबद्ध करें और चक्र बनाने वाली हर कोर छोड़ दें (क्रुस्कल), या किसी प्रारंभिक शीर्ष से एक वृक्ष बढ़ाएँ (प्रिम)।

2अभ्यास प्रश्न

1.एल्गोरिदम और जटिलतामध्यम

क्विकसॉर्ट हमेशा पहले तत्व को पिवट के रूप में उपयोग करता है। किस इनपुट पर यह अपना वर्स्ट-केस व्यवहार दिखाता है?

  1. Aयादृच्छिक क्रम वाला ऐरे
  2. Bएक ऐरे जो पहले से सॉर्टेड है
  3. Cऐसा ऐरे जिसके सभी तत्व भिन्न हैं
  4. Dलंबाई 2 का ऐरे
2.एल्गोरिदम और जटिलताकठिन

नैपसैक के किस रूप के लिए ग्रीडी नियम "वस्तुओं को प्रति भार मूल्य के क्रम में लें" हमेशा इष्टतम उत्तर देता है?

  1. A0/1 नैपसैक, जिसमें वस्तुएँ हमेशा पूरी ली जानी चाहिए
  2. Bकोई भी रूप नहीं
  3. Cफ़्रैक्शनल नैपसैक, जिसमें वस्तुएँ बाँटी जा सकती हैं
  4. Dदोनों रूप
3.डेटा संरचनाएँमध्यम

एक बाइनरी ट्री का रूट 1 है, जिसका बायाँ चाइल्ड 2 और दायाँ चाइल्ड 3 है; नोड 2 के चाइल्ड 4 (बायाँ) और 5 (दायाँ) हैं। प्रीऑर्डर ट्रैवर्सल क्या है?

  1. A4 2 5 1 3
  2. B1 2 4 5 3
  3. C1 2 3 4 5
  4. D4 5 2 3 1
4.डेटा संरचनाएँकठिन

कौन-सी संरचना ऐरे में आकार k की हर विंडो का अधिकतम कुल O(n) में निकालने देती है?

  1. Aविंडो के तत्वों की सिंगली लिंक्ड लिस्ट
  2. Bखिसकाकर अपडेट किया जाने वाला सॉर्टेड ऐरे
  3. Cहर विंडो के लिए फिर से बनाया गया मिन-हीप
  4. Dमान के घटते क्रम में इंडेक्स रखने वाला डीक
5.ग्राफ़ सिद्धांतमध्यम
ABCDEFयूलर परिपथयूलर पथ, परिपथ नहींदोनों में से कुछ नहीं

क्या संबद्ध ग्राफ़ में यूलर परिपथ है, परिपथ न होने वाला यूलर पथ है, या दोनों में से कुछ नहीं? अपना उत्तर क्लिक करें।

|V| = 6|E| = 6
  1. 1यूलर परिपथ
  2. 2यूलर पथ, परिपथ नहीं
  3. 3दोनों में से कुछ नहीं
6.ग्राफ़ सिद्धांतकठिन
1221395112510ABCDEFG

भारित ग्राफ़ में A से F तक के सबसे छोटे पथ की लंबाई d(F) डाइक्स्ट्रा के एल्गोरिथ्म से ज्ञात करें।

प्रारंभ: Aअंत: F
d(F) =

3विलयन

1.एल्गोरिदम और जटिलता

उत्तर: B · एक ऐरे जो पहले से सॉर्टेड है

यह उत्तर क्यों है

सॉर्टेड इनपुट पर पिवट हमेशा न्यूनतम होता है, इसलिए एक भाग ख़ाली होता है और दूसरे में n − 1 तत्व, जिससे O(n²) मिलता है।

उत्तर

B · एक ऐरे जो पहले से सॉर्टेड है
2.एल्गोरिदम और जटिलता

उत्तर: C · फ़्रैक्शनल नैपसैक, जिसमें वस्तुएँ बाँटी जा सकती हैं

यह उत्तर क्यों है

जब वस्तुएँ बाँटी जा सकती हैं, तो पहले सर्वोत्तम अनुपात इष्टतम है; 0/1 नैपसैक में ऊँचे अनुपात वाली वस्तु बेहतर संयोजन को रोक सकती है, इसलिए डायनेमिक प्रोग्रामिंग चाहिए।

उत्तर

C · फ़्रैक्शनल नैपसैक, जिसमें वस्तुएँ बाँटी जा सकती हैं
3.डेटा संरचनाएँ

उत्तर: B · 1 2 4 5 3

यह उत्तर क्यों है

प्रीऑर्डर 1, फिर उसका बायाँ सबट्री (2, 4, 5), फिर 3 देखता है; अन्य विकल्प इनऑर्डर, पोस्टऑर्डर और लेवल-ऑर्डर हैं।

उत्तर

B · 1 2 4 5 3
4.डेटा संरचनाएँ

उत्तर: D · मान के घटते क्रम में इंडेक्स रखने वाला डीक

यह उत्तर क्यों है

डीक का आगे वाला तत्व हमेशा विंडो का अधिकतम होता है; हर इंडेक्स डीक में एक बार आता और जाता है, इसलिए कार्य रैखिक है।

उत्तर

D · मान के घटते क्रम में इंडेक्स रखने वाला डीक
5.ग्राफ़ सिद्धांत

उत्तर: यूलर पथ, परिपथ नहीं

यूलर, हैमिल्टन और वृक्ष: संबद्ध ग्राफ़ में यूलर परिपथ (हर कोर एक बार, शुरुआत पर वापसी) तब होता है जब हर शीर्ष की घात सम हो, और परिपथ न होने वाला यूलर पथ तब जब ठीक दो शीर्षों की घात विषम हो; तब पथ एक विषम शीर्ष से दूसरे तक चलता है। हैमिल्टन परिपथ हर शीर्ष पर एक बार जाता है; Kn में ऐसे (n − 1)!/2 होते हैं। n शीर्षों वाले वृक्ष में n − 1 कोरें होती हैं, और m कोरों वाला संबद्ध ग्राफ़ m − n + 1 कोरें हटाने के बाद स्पैनिंग ट्री रखता है।

घात

deg(A) = 2, deg(B) = 3, deg(C) = 2, deg(D) = 2, deg(E) = 1, deg(F) = 2

विषम शीर्ष

B, E → 2
यूलर पथ, परिपथ नहीं

उत्तर

यूलर पथ, परिपथ नहीं

यूलर पथ एक विषम शीर्ष से शुरू होता है और दूसरे पर समाप्त होता है।

6.ग्राफ़ सिद्धांत

उत्तर: d(F) = 12

सबसे छोटे पथ और स्पैनिंग ट्री: डाइक्स्ट्रा का एल्गोरिथ्म हर चक्र में एक शीर्ष निर्धारित करता है: सबसे छोटी अस्थायी दूरी वाला अनिर्धारित शीर्ष। तब उसकी दूरी अंतिम होती है, और हर पड़ोसी v को d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)) मिलता है। क्रुस्कल का एल्गोरिथ्म कोरों को हल्की से भारी की ओर लेकर और चक्र बनाने वाली हर कोर छोड़कर न्यूनतम स्पैनिंग ट्री बनाता है; प्रिम का एल्गोरिथ्म प्रारंभिक शीर्ष से एक वृक्ष बढ़ाता है और हमेशा उससे बाहर जाने वाली सबसे हल्की कोर जोड़ता है। n शीर्षों के स्पैनिंग ट्री में n − 1 कोरें होती हैं।

डाइक्स्ट्रा चक्र-दर-चक्र

हर पंक्ति: निर्धारित शीर्ष, उसकी अंतिम दूरी, और वे पड़ोसी जिनकी दूरी सुधरती है।

A (0): B: 12, C: 2
C (2): E: 7
E (7): D: 8, F: 12
D (8): G: 18
B (12)
F (12)
G (18)

सबसे छोटा पथ

A → C → E → F
d(F) = 12

उत्तर

d(F) = 12

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