संख्या पद्धतियाँ
- स्थानीय मान
- बाइनरी 2k, ऑक्टल 8k, हेक्स 16k
- दशमलव में
- Σ dk·bk
- दशमलव से
- आधार से भाग दें, शेषफल नीचे से ऊपर पढ़ें
- हेक्स ↔ बाइनरी
- एक हेक्स अंक = 4 बिट
- टू’ज़ कॉम्प्लीमेंट
- बिट उलटें और 1 जोड़ें
डिजिटल इलेक्ट्रॉनिकी: क्रैम पैक
सूत्र-पत्रक, हर विषय के मुख्य विधि-चरण और 6 अभ्यास प्रश्न, पूरे हल पीछे दिए गए हैं।
1सूत्र और विधियाँ
डिजिटल लॉजिक: गेट, K-मानचित्र और फ़्लिप-फ़्लॉप
- मूल गेट
- A·B, A + B, A′, (A·B)′, (A + B)′, A ⊕ B
- बूलीय नियम
- X + X′ = 1, X·X′ = 0, X + XY = X, XY + XY′ = X
- डी मॉर्गन
- (X·Y)′ = X′ + Y′, (X + Y)′ = X′·Y′
- कार्नो मानचित्र का क्रम
- 00, 01, 11, 10 (Gray code)
- 2ᵏ खानों का समूह
- k चर खो देता है
- 4-से-1 मल्टीप्लेक्सर
- F = A′B′I0 + A′BI1 + AB′I2 + ABI3
- फ़्लिप-फ़्लॉप
- D: Q⁺ = D, T: Q⁺ = T ⊕ Q, JK: Q⁺ = JQ′ + K′Q
- काउंटर
- n-बिट: 2ⁿ अवस्थाएँ; mod-N: सबसे छोटा n जिसमें 2ⁿ ≥ N; fout = fclk/N
- रिपल काउंटर
- fmax = 1/(n·tpd)
- रिंग और जॉनसन काउंटर
- n और 2n अवस्थाएँ
विधि
- परिपथ के लिए निवेशों से निर्गत तक एक-एक गेट करके काम करें और हर तार पर मान लिखें, या उसका व्यंजक लिखें और सत्यमान सारणी भरें।
- सरलीकरण के लिए 1 (और डोंट-केयर को X के रूप में) को ग्रे-कोड पंक्तियों और स्तंभों वाले कार्नो मानचित्र में रखें: 00, 01, 11, 10।
- 1 को 1, 2, 4, 8 या 16 खानों के जितने कम और जितने बड़े संभव हों उतने समूहों से ढकें, किनारों से लिपटते हुए; हर समूह एक गुणन पद है जो उन चरों से बना है जो स्थिर रहते हैं। POS रूप के लिए 0 को समूहित करें।
- फ़्लिप-फ़्लॉप और काउंटरों के लिए हर सक्रिय क्लॉक कोर पर निवेश पढ़ें, हर कोर के बाद अवस्था लिखें, और याद रखें कि n-बिट काउंटर 2ⁿ अवस्थाओं के बाद लौट जाता है।
डेटा अधिग्रहण और प्रतिचयन
- नाइक्विस्ट मानदंड
- fs > 2·fmax, fN = fs/2
- ऐलियास आवृत्ति
- fa = |f − k·fs|, k = round(f/fs)
- चरण आकार
- 1 LSB = VFSR/2ᴺ
- क्वांटीकरण त्रुटि (निकटतम पूर्णांकन)
- ±½ LSB
- ADC कोड का छाँटना (ट्रंकेशन)
- D = ⌊Vin/LSB⌋
- वियोजन r के लिए बिट
- 2ᴺ ≥ span/r
- आदर्श SQNR, पूर्ण-स्केल ज्यावक्र
- SQNR = 6.02·N + 1.76 dB
- डेटा दर
- चैनल × fs × N bit/s
- मल्टीप्लेक्स्ड ADC
- fs = 1/(n·(tc + tset))
- UART
- Tb = 1/बॉड; 8N1 = प्रति बाइट 10 बिट; बाइट/s = बॉड/प्रति फ़्रेम बिट
- बॉड दर विभाजक
- baud = fclk/(16·D)
विधि
- लिख लें कि क्या दिया है: प्रतिदर्श दर, संकेत आवृत्तियाँ, बिट संख्या, निवेश परिसर, बॉड दर।
- प्रतिचयन के प्रश्नों में हर आवृत्ति की तुलना fs/2 से करें; इससे ऊँची आवृत्ति fa = |f − k·fs| पर दिखती है, जहाँ fs का निकटतम गुणज लिया जाता है।
- वियोजन के प्रश्नों में 1 LSB = VFSR/2ᴺ ज्ञात करें, या सबसे छोटा N ज्ञात करें जिसके लिए 2ᴺ ≥ विस्तार/वियोजन हो।
- डेटा दर और UART लिंक के लिए वह सब गिनें जो भेजा जाता है: चैनल, प्रति सेकंड प्रतिदर्श, प्रति प्रतिदर्श बिट या पूरे बाइट, और हर फ़्रेम के स्टार्ट, पैरिटी और स्टॉप बिट।
2अभ्यास प्रश्न
1.संख्या पद्धतियाँमध्यम
बिट इस तरह सेट करें कि वे 8-बिट 2 के पूरक में −29 संग्रहीत करें। चिह्नरहित संख्या के रूप में पढ़ने पर पैटर्न का मान U क्या है?
N = −298 bit
U =
2.संख्या पद्धतियाँकठिन
एक असंपीड़ित छवि 1280 × 720 पिक्सेल की है, प्रति पिक्सेल 8 बिट। यह KiB में (1 KiB = 1024 बाइट) कितनी मेमोरी M लेती है?
1280 × 720 px8 bit/px1 KiB = 1024 B
M = KiB
3.डिजिटल लॉजिक: गेट, K-मानचित्र और फ़्लिप-फ़्लॉपमध्यम
F(A, B, C) = Σm(0, 1, 2, 3, 7) का न्यूनतम गुणनफलों का योग (SOP) रूप कार्नो मानचित्र से ज्ञात करें। उसमें कितने गुणन पद N हैं?
F(A, B, C) = Σm(0, 1, 2, 3, 7)
N =
4.डिजिटल लॉजिक: गेट, K-मानचित्र और फ़्लिप-फ़्लॉपकठिन
F(A, B, C, D) = Σm(0, 2, 4, 7, 9, 10, 11, 13) + d(3, 8, 12, 15) के लिए, जहाँ d डोंट-केयर स्थितियों को दर्शाता है, अनिवार्य प्रमुख प्रभाव्यों (एसेंशियल प्राइम इम्प्लिकेंट) की संख्या N ज्ञात करें।
F(A, B, C, D) = Σm(0, 2, 4, 7, 9, 10, 11, 13) + d(3, 8, 12, 15)
N =
5.डेटा अधिग्रहण और प्रतिचयनमध्यम
0 से 1 V निवेश परिसर वाले एक ADC को 5 mV या उससे छोटे चरण वियोजित करने हैं। बिटों की न्यूनतम संख्या N ज्ञात कीजिए।
VFSR = 1 Vवियोजन = 5 mV
N =
6.डेटा अधिग्रहण और प्रतिचयनकठिन
एक 24-बिट ADC हर प्रतिदर्श को UART से 230400 बॉड पर, प्रारूप 8N1 (स्टार्ट बिट, 8 डेटा बिट, 1 स्टॉप बिट) में स्ट्रीम करता है। हर प्रतिदर्श 3 पूरे बाइट के रूप में भेजा जाता है और लिंक हर समय व्यस्त रहता है। ऐलियासिंग के बिना प्रतिदर्शित हो सकने वाली उच्चतम संकेत आवृत्ति fmax Hz में ज्ञात कीजिए।
baud = 230400 BdN = 248N1
fmax = Hz
3विलयन
1.संख्या पद्धतियाँ
उत्तर: U = 227
बिट सेट करना: हर बिट दो की एक घात के बराबर है (128, 64, …, 1)। एक हेक्स अंक ठीक चार बिट होता है, और 8-बिट 2 के पूरक में सबसे बाएँ बिट का मान −128 होता है। बिटवाइज़ संक्रियाएँ हर बिट स्थान पर अलग-अलग काम करती हैं।
उलटें और एक जोड़ें
29 = 0001 1101
उलटा हुआ: 1110 0010
+1 → 1110 0011
अचिह्नित रूप में पढ़ें
1110 0011₂ = 256 − 29 = 227
उत्तर
U = 227
2.संख्या पद्धतियाँ
उत्तर: M = 900 KiB
स्थानीय मान संख्या पद्धतियाँ: हर अंक का मान उसके मान गुणा आधार की एक घात होता है। द्विआधारी में स्थान 1, 2, 4, 8, 16, … के होते हैं; षोडशआधारी में 1, 16, 256, …, जहाँ A–F का अर्थ 10–15 है। 8-बिट दो के पूरक में सबसे बाईं बिट +128 के बजाय −128 की होती है; ऋणात्मक संख्याएँ इसी तरह संग्रहीत होती हैं।
बिट और बाइट
1280·720·8 = 7372800 bit = 921600 B
KiB में बदलें
921600/1024 = 900 KiB
उत्तर
M = 900 KiB
3.डिजिटल लॉजिक: गेट, K-मानचित्र और फ़्लिप-फ़्लॉप
उत्तर: N = 2
कार्नो मानचित्र: खाने ग्रे कोड (00, 01, 11, 10) में क्रमबद्ध होते हैं, इसलिए पड़ोसी खाने, किनारों के आर-पार वाले भी, ठीक एक चर में भिन्न होते हैं। 1 को 1, 2, 4, 8 या 16 खानों के आयतों में समूहित करें, जितने बड़े और जितने कम समूह हो सकें, जब तक हर 1 ढक न जाए। हर समूह एक गुणन पद है: वे चर जो उसके भीतर स्थिर रहते हैं। 2ᵏ खानों का समूह k चर खो देता है। डोंट-केयर (X) का उपयोग समूह बड़े करने के लिए किया जा सकता है पर उन्हें ढकना ज़रूरी नहीं है। इसके बजाय 0 को समूहित करने से न्यूनतम POS रूप मिलता है।
1 को समूहित करें
हर समूह 2ᵏ खानों का आयत होता है; किनारे के खाने विपरीत किनारे के खानों के पड़ोसी होते हैं।
BC
A′
न्यूनतम SOP रूप
F = BC + A′
N = 2
उत्तर
N = 2
4.डिजिटल लॉजिक: गेट, K-मानचित्र और फ़्लिप-फ़्लॉप
उत्तर: N = 2
कार्नो मानचित्र: खाने ग्रे कोड (00, 01, 11, 10) में क्रमबद्ध होते हैं, इसलिए पड़ोसी खाने, किनारों के आर-पार वाले भी, ठीक एक चर में भिन्न होते हैं। 1 को 1, 2, 4, 8 या 16 खानों के आयतों में समूहित करें, जितने बड़े और जितने कम समूह हो सकें, जब तक हर 1 ढक न जाए। हर समूह एक गुणन पद है: वे चर जो उसके भीतर स्थिर रहते हैं। 2ᵏ खानों का समूह k चर खो देता है। डोंट-केयर (X) का उपयोग समूह बड़े करने के लिए किया जा सकता है पर उन्हें ढकना ज़रूरी नहीं है। इसके बजाय 0 को समूहित करने से न्यूनतम POS रूप मिलता है।
प्रमुख प्रभाव्य
1 और X से बनने वाले सबसे बड़े समूह।
C′D′, CD, B′D′, B′C, AD, AC′, AB′
अनिवार्य प्रमुख प्रभाव्य
C′D′, CD
N = 2
उत्तर
N = 2
5.डेटा अधिग्रहण और प्रतिचयन
उत्तर: N = 8
ADC वियोजन: N-बिट कन्वर्टर अपने पूर्ण-स्केल परिसर VFSR को 0 से 2ᴺ − 1 तक 2ᴺ कोड में बाँटता है। एक चरण 1 LSB = VFSR/2ᴺ है: वह सबसे छोटा परिवर्तन जो कन्वर्टर दिखा सकता है। छाँटने वाला ADC कोड ⌊Vin/LSB⌋ देता है; निकटतम पूर्णांकन करने वाला ADC वास्तविक मान से कभी ½ LSB से अधिक दूर नहीं होता, यही उसकी क्वांटीकरण त्रुटि है। हर अतिरिक्त बिट LSB को आधा करता है और पूर्ण-स्केल ज्यावक्र के लिए आदर्श संकेत-से-क्वांटीकरण-रव अनुपात SQNR = 6.02·N + 1.76 dB में लगभग 6 dB जोड़ता है। किसी विस्तार पर वियोजन r पाने के लिए सबसे छोटा N चुनें जिसके लिए 2ᴺ ≥ विस्तार/r हो।
आवश्यक चरण
1000 mV/5 mV = 200
बिट
log₂(200) = 7.644
27 = 128 < 200 ≤ 28 = 256
N = 8
उत्तर
N = 8
6.डेटा अधिग्रहण और प्रतिचयन
उत्तर: fmax = 3840 Hz
UART: अतुल्यकालिक सीरियल लिंक हर बाइट को एक फ़्रेम के रूप में भेजता है: एक स्टार्ट बिट (निम्न), डेटा बिट, एक वैकल्पिक पैरिटी बिट और एक या दो स्टॉप बिट (उच्च)। बॉड दर प्रति सेकंड बिटों की संख्या है, इसलिए एक बिट Tb = 1/बॉड चलता है और n बिट का फ़्रेम n/बॉड चलता है। प्रचलित 8N1 प्रारूप में प्रति बाइट 10 बिट होते हैं। बॉड जनरेटर क्लॉक को विभाजित करता है: बॉड = fclk/(16·D), जहाँ D पूर्ण संख्या है, इसलिए वास्तविक बॉड दर लक्ष्य से थोड़ी भिन्न होती है; लगभग 2 % से कम त्रुटि आमतौर पर स्वीकार्य है।
लाइन पर प्रति प्रतिदर्श बिट
3·10 = 30 bit
उच्चतम प्रतिदर्श दर
fs,max = 230400/30 = 7680 Hz
नाइक्विस्ट सीमा
fmax = 7680/2 = 3840 Hz
उत्तर
fmax = 3840 Hz
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