संख्या पद्धतियाँ
- स्थानीय मान
- बाइनरी 2k, ऑक्टल 8k, हेक्स 16k
- दशमलव में
- Σ dk·bk
- दशमलव से
- आधार से भाग दें, शेषफल नीचे से ऊपर पढ़ें
- हेक्स ↔ बाइनरी
- एक हेक्स अंक = 4 बिट
- टू’ज़ कॉम्प्लीमेंट
- बिट उलटें और 1 जोड़ें
डिजिटल इलेक्ट्रॉनिकी: क्रैम पैक
सूत्र-पत्रक, हर विषय के मुख्य विधि-चरण और 6 अभ्यास प्रश्न, पूरे हल पीछे दिए गए हैं।
1सूत्र और विधियाँ
डिजिटल लॉजिक: गेट, K-मानचित्र और फ़्लिप-फ़्लॉप
- मूल गेट
- A·B, A + B, A′, (A·B)′, (A + B)′, A ⊕ B
- बूलीय नियम
- X + X′ = 1, X·X′ = 0, X + XY = X, XY + XY′ = X
- डी मॉर्गन
- (X·Y)′ = X′ + Y′, (X + Y)′ = X′·Y′
- कार्नो मानचित्र का क्रम
- 00, 01, 11, 10 (Gray code)
- 2ᵏ खानों का समूह
- k चर खो देता है
- 4-से-1 मल्टीप्लेक्सर
- F = A′B′I0 + A′BI1 + AB′I2 + ABI3
- फ़्लिप-फ़्लॉप
- D: Q⁺ = D, T: Q⁺ = T ⊕ Q, JK: Q⁺ = JQ′ + K′Q
- काउंटर
- n-बिट: 2ⁿ अवस्थाएँ; mod-N: सबसे छोटा n जिसमें 2ⁿ ≥ N; fout = fclk/N
- रिपल काउंटर
- fmax = 1/(n·tpd)
- रिंग और जॉनसन काउंटर
- n और 2n अवस्थाएँ
विधि
- परिपथ के लिए निवेशों से निर्गत तक एक-एक गेट करके काम करें और हर तार पर मान लिखें, या उसका व्यंजक लिखें और सत्यमान सारणी भरें।
- सरलीकरण के लिए 1 (और डोंट-केयर को X के रूप में) को ग्रे-कोड पंक्तियों और स्तंभों वाले कार्नो मानचित्र में रखें: 00, 01, 11, 10।
- 1 को 1, 2, 4, 8 या 16 खानों के जितने कम और जितने बड़े संभव हों उतने समूहों से ढकें, किनारों से लिपटते हुए; हर समूह एक गुणन पद है जो उन चरों से बना है जो स्थिर रहते हैं। POS रूप के लिए 0 को समूहित करें।
- फ़्लिप-फ़्लॉप और काउंटरों के लिए हर सक्रिय क्लॉक कोर पर निवेश पढ़ें, हर कोर के बाद अवस्था लिखें, और याद रखें कि n-बिट काउंटर 2ⁿ अवस्थाओं के बाद लौट जाता है।
डेटा अधिग्रहण और प्रतिचयन
- नाइक्विस्ट मानदंड
- fs > 2·fmax, fN = fs/2
- ऐलियास आवृत्ति
- fa = |f − k·fs|, k = round(f/fs)
- चरण आकार
- 1 LSB = VFSR/2ᴺ
- क्वांटीकरण त्रुटि (निकटतम पूर्णांकन)
- ±½ LSB
- ADC कोड का छाँटना (ट्रंकेशन)
- D = ⌊Vin/LSB⌋
- वियोजन r के लिए बिट
- 2ᴺ ≥ span/r
- आदर्श SQNR, पूर्ण-स्केल ज्यावक्र
- SQNR = 6.02·N + 1.76 dB
- डेटा दर
- चैनल × fs × N bit/s
- मल्टीप्लेक्स्ड ADC
- fs = 1/(n·(tc + tset))
- UART
- Tb = 1/बॉड; 8N1 = प्रति बाइट 10 बिट; बाइट/s = बॉड/प्रति फ़्रेम बिट
- बॉड दर विभाजक
- baud = fclk/(16·D)
विधि
- लिख लें कि क्या दिया है: प्रतिदर्श दर, संकेत आवृत्तियाँ, बिट संख्या, निवेश परिसर, बॉड दर।
- प्रतिचयन के प्रश्नों में हर आवृत्ति की तुलना fs/2 से करें; इससे ऊँची आवृत्ति fa = |f − k·fs| पर दिखती है, जहाँ fs का निकटतम गुणज लिया जाता है।
- वियोजन के प्रश्नों में 1 LSB = VFSR/2ᴺ ज्ञात करें, या सबसे छोटा N ज्ञात करें जिसके लिए 2ᴺ ≥ विस्तार/वियोजन हो।
- डेटा दर और UART लिंक के लिए वह सब गिनें जो भेजा जाता है: चैनल, प्रति सेकंड प्रतिदर्श, प्रति प्रतिदर्श बिट या पूरे बाइट, और हर फ़्रेम के स्टार्ट, पैरिटी और स्टॉप बिट।
2अभ्यास प्रश्न
1.संख्या पद्धतियाँमध्यम
बिट इस तरह सेट करें कि वे 8-बिट 2 के पूरक में −32 संग्रहीत करें। चिह्नरहित संख्या के रूप में पढ़ने पर पैटर्न का मान U क्या है?
N = −328 bit
U =
2.संख्या पद्धतियाँकठिन
बिट को 1011 1000 AND 1011 1111 के 8-बिट परिणाम पर सेट करें। दशमलव में परिणाम का मान R क्या है?
1011 1000AND1011 1111
R =
3.डिजिटल लॉजिक: गेट, K-मानचित्र और फ़्लिप-फ़्लॉपमध्यम
F(A, B, C) = Σm(0, 4, 5, 7) का न्यूनतम योगों का गुणनफल (POS) रूप कार्नो मानचित्र से ज्ञात करें। उसमें कितने योग पद (गुणक) N हैं?
F(A, B, C) = Σm(0, 4, 5, 7)
N =
4.डिजिटल लॉजिक: गेट, K-मानचित्र और फ़्लिप-फ़्लॉपकठिन
एक 4-बिट द्विआधारी डाउन काउंटर 12 (दशमलव, Q = 1100) से शुरू होता है। 51 क्लॉक पल्स के बाद वह कौन-सी गिनती Q (दशमलव में) दिखाएगा?
Q0 = 1251n = 4
Q =
5.डेटा अधिग्रहण और प्रतिचयनमध्यम
एक सेंसर तापमान को 120 °C के विस्तार में मापता है, और उसका निर्गत ADC के पूरे निवेश परिसर को भरता है। पाठ्यांक को 0.25 °C तक वियोजित करना है। ADC को चाहिए बिटों की न्यूनतम संख्या N ज्ञात कीजिए।
विस्तार = 120 °Cवियोजन = 0.25 °C
N =
6.डेटा अधिग्रहण और प्रतिचयनकठिन
एक ऑडियो मापन को पूर्ण-स्केल ज्यावक्र के लिए कम से कम 75 dB का आदर्श संकेत-से-क्वांटीकरण-रव अनुपात चाहिए। ADC के बिटों की न्यूनतम संख्या N ज्ञात कीजिए।
SQNR ≥ 75 dB
N =
3विलयन
1.संख्या पद्धतियाँ
उत्तर: U = 224
बिट सेट करना: हर बिट दो की एक घात के बराबर है (128, 64, …, 1)। एक हेक्स अंक ठीक चार बिट होता है, और 8-बिट 2 के पूरक में सबसे बाएँ बिट का मान −128 होता है। बिटवाइज़ संक्रियाएँ हर बिट स्थान पर अलग-अलग काम करती हैं।
उलटें और एक जोड़ें
32 = 0010 0000
उलटा हुआ: 1101 1111
+1 → 1110 0000
अचिह्नित रूप में पढ़ें
1110 0000₂ = 256 − 32 = 224
उत्तर
U = 224
2.संख्या पद्धतियाँ
उत्तर: R = 184
बिट सेट करना: हर बिट दो की एक घात के बराबर है (128, 64, …, 1)। एक हेक्स अंक ठीक चार बिट होता है, और 8-बिट 2 के पूरक में सबसे बाएँ बिट का मान −128 होता है। बिटवाइज़ संक्रियाएँ हर बिट स्थान पर अलग-अलग काम करती हैं।
बिट-दर-बिट
AND केवल वहीं 1 देता है जहाँ दोनों बिट 1 हों।
1011 1000
AND 1011 1111
= 1011 1000
परिणाम का मान
1011 1000₂ = 184
उत्तर
R = 184
3.डिजिटल लॉजिक: गेट, K-मानचित्र और फ़्लिप-फ़्लॉप
उत्तर: N = 2
कार्नो मानचित्र: खाने ग्रे कोड (00, 01, 11, 10) में क्रमबद्ध होते हैं, इसलिए पड़ोसी खाने, किनारों के आर-पार वाले भी, ठीक एक चर में भिन्न होते हैं। 1 को 1, 2, 4, 8 या 16 खानों के आयतों में समूहित करें, जितने बड़े और जितने कम समूह हो सकें, जब तक हर 1 ढक न जाए। हर समूह एक गुणन पद है: वे चर जो उसके भीतर स्थिर रहते हैं। 2ᵏ खानों का समूह k चर खो देता है। डोंट-केयर (X) का उपयोग समूह बड़े करने के लिए किया जा सकता है पर उन्हें ढकना ज़रूरी नहीं है। इसके बजाय 0 को समूहित करने से न्यूनतम POS रूप मिलता है।
0 को समूहित करें
हर समूह 2ᵏ खानों का आयत होता है; किनारे के खाने विपरीत किनारे के खानों के पड़ोसी होते हैं।
(B′ + C)
(A + C′)
न्यूनतम POS रूप
F = (B′ + C)(A + C′)
N = 2
उत्तर
N = 2
4.डिजिटल लॉजिक: गेट, K-मानचित्र और फ़्लिप-फ़्लॉप
उत्तर: Q = 9
फ़्लिप-फ़्लॉप और काउंटर: फ़्लिप-फ़्लॉप केवल सक्रिय क्लॉक कोर पर बदलता है। D अपना निवेश कॉपी करता है (Q⁺ = D); T तब टॉगल करता है जब T = 1; JK 00 पर स्थिर रहता है, 01 पर रीसेट करता है, 10 पर सेट करता है और 11 पर टॉगल करता है। n-बिट द्विआधारी काउंटर की 2ⁿ अवस्थाएँ होती हैं और वह 2ⁿ के मापांक में गिनता है; mod-N काउंटर 0, 1, …, N − 1 तक जाकर फिर 0 पर लौटता है, और उसे ऐसे सबसे छोटे n फ़्लिप-फ़्लॉप चाहिए जिसमें 2ⁿ ≥ N हो। रिपल काउंटर का हर चरण आवृत्ति को आधा कर देता है, इसलिए mod-N काउंटर का अंतिम निर्गत fclk/N पर चलता है। n फ़्लिप-फ़्लॉप वाले जॉनसन काउंटर की 2n अवस्थाएँ होती हैं, रिंग काउंटर की n।
पूरे चक्र
हर 16 पल्स काउंटर को उसी अवस्था में वापस ले आते हैं।
51 = 3·16 + 3
शेष पल्स के बाद गिनती
Q = (12 − 3) mod 16 = 9
Q = 1001₂
उत्तर
Q = 9
5.डेटा अधिग्रहण और प्रतिचयन
उत्तर: N = 9
ADC वियोजन: N-बिट कन्वर्टर अपने पूर्ण-स्केल परिसर VFSR को 0 से 2ᴺ − 1 तक 2ᴺ कोड में बाँटता है। एक चरण 1 LSB = VFSR/2ᴺ है: वह सबसे छोटा परिवर्तन जो कन्वर्टर दिखा सकता है। छाँटने वाला ADC कोड ⌊Vin/LSB⌋ देता है; निकटतम पूर्णांकन करने वाला ADC वास्तविक मान से कभी ½ LSB से अधिक दूर नहीं होता, यही उसकी क्वांटीकरण त्रुटि है। हर अतिरिक्त बिट LSB को आधा करता है और पूर्ण-स्केल ज्यावक्र के लिए आदर्श संकेत-से-क्वांटीकरण-रव अनुपात SQNR = 6.02·N + 1.76 dB में लगभग 6 dB जोड़ता है। किसी विस्तार पर वियोजन r पाने के लिए सबसे छोटा N चुनें जिसके लिए 2ᴺ ≥ विस्तार/r हो।
आवश्यक चरण
120/0.25 = 480
बिट
log₂(480) = 8.907
28 = 256 < 480 ≤ 29 = 512
N = 9
उत्तर
N = 9
6.डेटा अधिग्रहण और प्रतिचयन
उत्तर: N = 13
ADC वियोजन: N-बिट कन्वर्टर अपने पूर्ण-स्केल परिसर VFSR को 0 से 2ᴺ − 1 तक 2ᴺ कोड में बाँटता है। एक चरण 1 LSB = VFSR/2ᴺ है: वह सबसे छोटा परिवर्तन जो कन्वर्टर दिखा सकता है। छाँटने वाला ADC कोड ⌊Vin/LSB⌋ देता है; निकटतम पूर्णांकन करने वाला ADC वास्तविक मान से कभी ½ LSB से अधिक दूर नहीं होता, यही उसकी क्वांटीकरण त्रुटि है। हर अतिरिक्त बिट LSB को आधा करता है और पूर्ण-स्केल ज्यावक्र के लिए आदर्श संकेत-से-क्वांटीकरण-रव अनुपात SQNR = 6.02·N + 1.76 dB में लगभग 6 dB जोड़ता है। किसी विस्तार पर वियोजन r पाने के लिए सबसे छोटा N चुनें जिसके लिए 2ᴺ ≥ विस्तार/r हो।
N के लिए हल करें
N ≥ (75 − 1.76)/6.02 = 12.17
ऊपर पूर्णांकित करें
N = 13
जाँच: 6.02·13 + 1.76 = 80.02 dB ≥ 75 dB
उत्तर
N = 13
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