संख्या पद्धतियाँ
- स्थानीय मान
- बाइनरी 2k, ऑक्टल 8k, हेक्स 16k
- दशमलव में
- Σ dk·bk
- दशमलव से
- आधार से भाग दें, शेषफल नीचे से ऊपर पढ़ें
- हेक्स ↔ बाइनरी
- एक हेक्स अंक = 4 बिट
- टू’ज़ कॉम्प्लीमेंट
- बिट उलटें और 1 जोड़ें
डिजिटल इलेक्ट्रॉनिकी: क्रैम पैक
सूत्र-पत्रक, हर विषय के मुख्य विधि-चरण और 6 अभ्यास प्रश्न, पूरे हल पीछे दिए गए हैं।
1सूत्र और विधियाँ
डिजिटल लॉजिक: गेट, K-मानचित्र और फ़्लिप-फ़्लॉप
- मूल गेट
- A·B, A + B, A′, (A·B)′, (A + B)′, A ⊕ B
- बूलीय नियम
- X + X′ = 1, X·X′ = 0, X + XY = X, XY + XY′ = X
- डी मॉर्गन
- (X·Y)′ = X′ + Y′, (X + Y)′ = X′·Y′
- कार्नो मानचित्र का क्रम
- 00, 01, 11, 10 (Gray code)
- 2ᵏ खानों का समूह
- k चर खो देता है
- 4-से-1 मल्टीप्लेक्सर
- F = A′B′I0 + A′BI1 + AB′I2 + ABI3
- फ़्लिप-फ़्लॉप
- D: Q⁺ = D, T: Q⁺ = T ⊕ Q, JK: Q⁺ = JQ′ + K′Q
- काउंटर
- n-बिट: 2ⁿ अवस्थाएँ; mod-N: सबसे छोटा n जिसमें 2ⁿ ≥ N; fout = fclk/N
- रिपल काउंटर
- fmax = 1/(n·tpd)
- रिंग और जॉनसन काउंटर
- n और 2n अवस्थाएँ
विधि
- परिपथ के लिए निवेशों से निर्गत तक एक-एक गेट करके काम करें और हर तार पर मान लिखें, या उसका व्यंजक लिखें और सत्यमान सारणी भरें।
- सरलीकरण के लिए 1 (और डोंट-केयर को X के रूप में) को ग्रे-कोड पंक्तियों और स्तंभों वाले कार्नो मानचित्र में रखें: 00, 01, 11, 10।
- 1 को 1, 2, 4, 8 या 16 खानों के जितने कम और जितने बड़े संभव हों उतने समूहों से ढकें, किनारों से लिपटते हुए; हर समूह एक गुणन पद है जो उन चरों से बना है जो स्थिर रहते हैं। POS रूप के लिए 0 को समूहित करें।
- फ़्लिप-फ़्लॉप और काउंटरों के लिए हर सक्रिय क्लॉक कोर पर निवेश पढ़ें, हर कोर के बाद अवस्था लिखें, और याद रखें कि n-बिट काउंटर 2ⁿ अवस्थाओं के बाद लौट जाता है।
डेटा अधिग्रहण और प्रतिचयन
- नाइक्विस्ट मानदंड
- fs > 2·fmax, fN = fs/2
- ऐलियास आवृत्ति
- fa = |f − k·fs|, k = round(f/fs)
- चरण आकार
- 1 LSB = VFSR/2ᴺ
- क्वांटीकरण त्रुटि (निकटतम पूर्णांकन)
- ±½ LSB
- ADC कोड का छाँटना (ट्रंकेशन)
- D = ⌊Vin/LSB⌋
- वियोजन r के लिए बिट
- 2ᴺ ≥ span/r
- आदर्श SQNR, पूर्ण-स्केल ज्यावक्र
- SQNR = 6.02·N + 1.76 dB
- डेटा दर
- चैनल × fs × N bit/s
- मल्टीप्लेक्स्ड ADC
- fs = 1/(n·(tc + tset))
- UART
- Tb = 1/बॉड; 8N1 = प्रति बाइट 10 बिट; बाइट/s = बॉड/प्रति फ़्रेम बिट
- बॉड दर विभाजक
- baud = fclk/(16·D)
विधि
- लिख लें कि क्या दिया है: प्रतिदर्श दर, संकेत आवृत्तियाँ, बिट संख्या, निवेश परिसर, बॉड दर।
- प्रतिचयन के प्रश्नों में हर आवृत्ति की तुलना fs/2 से करें; इससे ऊँची आवृत्ति fa = |f − k·fs| पर दिखती है, जहाँ fs का निकटतम गुणज लिया जाता है।
- वियोजन के प्रश्नों में 1 LSB = VFSR/2ᴺ ज्ञात करें, या सबसे छोटा N ज्ञात करें जिसके लिए 2ᴺ ≥ विस्तार/वियोजन हो।
- डेटा दर और UART लिंक के लिए वह सब गिनें जो भेजा जाता है: चैनल, प्रति सेकंड प्रतिदर्श, प्रति प्रतिदर्श बिट या पूरे बाइट, और हर फ़्रेम के स्टार्ट, पैरिटी और स्टॉप बिट।
2अभ्यास प्रश्न
1.संख्या पद्धतियाँमध्यम
8-बिट पैटर्न 1111 1111 दो के पूरक में एक चिह्नित पूर्णांक संग्रहीत करता है। दशमलव में इसका मान N क्या है?
1111 11118 bit
N =
2.संख्या पद्धतियाँकठिन
एक प्रणाली को 2978 वस्तुओं में से हर एक को समान लंबाई का अपना द्विआधारी कोड देना है। कम से कम कितनी बिटें b चाहिए?
2978
b = bit
3.डिजिटल लॉजिक: गेट, K-मानचित्र और फ़्लिप-फ़्लॉपमध्यम
F = ABC′ + ABC + B′C′ + A′BC′ को उसके न्यूनतम गुणनफलों के योग रूप में सरल करें। सरल किए गए व्यंजक में कितने लिटरल L हैं?
F = ABC′ + ABC + B′C′ + A′BC′
L =
4.डिजिटल लॉजिक: गेट, K-मानचित्र और फ़्लिप-फ़्लॉपकठिन
F(A, B, C, D) = Σm(3, 7, 9, 10) + d(1, 2, 14) का न्यूनतम SOP रूप ज्ञात करें, जहाँ d डोंट-केयर स्थितियों को दर्शाता है। उसमें कितने लिटरल L हैं?
F(A, B, C, D) = Σm(3, 7, 9, 10) + d(1, 2, 14)
L =
5.डेटा अधिग्रहण और प्रतिचयनमध्यम
एक सेंसर दाब को 1000 kPa के विस्तार में मापता है, और उसका निर्गत ADC के पूरे निवेश परिसर को भरता है। पाठ्यांक को 1 kPa तक वियोजित करना है। ADC को चाहिए बिटों की न्यूनतम संख्या N ज्ञात कीजिए।
विस्तार = 1000 kPaवियोजन = 1 kPa
N =
6.डेटा अधिग्रहण और प्रतिचयनकठिन
एक 2-चैनल मल्टीप्लेक्सर एक ADC को निवेश देता है। हर रूपांतरण में 1 µs लगते हैं, और हर चैनल बदलने के बाद निवेश को स्थिर होने में 1 µs चाहिए। चैनलों को बिना रुके बारी-बारी से स्कैन किया जाता है। हर चैनल की प्रतिदर्श दर fs kHz में ज्ञात कीजिए।
n = 2tc = 1 µstset = 1 µs
fs = kHz
3विलयन
1.संख्या पद्धतियाँ
उत्तर: N = −1
स्थानीय मान संख्या पद्धतियाँ: हर अंक का मान उसके मान गुणा आधार की एक घात होता है। द्विआधारी में स्थान 1, 2, 4, 8, 16, … के होते हैं; षोडशआधारी में 1, 16, 256, …, जहाँ A–F का अर्थ 10–15 है। 8-बिट दो के पूरक में सबसे बाईं बिट +128 के बजाय −128 की होती है; ऋणात्मक संख्याएँ इसी तरह संग्रहीत होती हैं।
मान जोड़ें
बाकी बिटें अपने सामान्य धनात्मक मान रखती हैं।
−128 + 64 + 32 + 16 + 8 + 4 + 2 + 1 = −1
उत्तर
N = −1
2.संख्या पद्धतियाँ
उत्तर: b = 12 bit
स्थानीय मान संख्या पद्धतियाँ: हर अंक का मान उसके मान गुणा आधार की एक घात होता है। द्विआधारी में स्थान 1, 2, 4, 8, 16, … के होते हैं; षोडशआधारी में 1, 16, 256, …, जहाँ A–F का अर्थ 10–15 है। 8-बिट दो के पूरक में सबसे बाईं बिट +128 के बजाय −128 की होती है; ऋणात्मक संख्याएँ इसी तरह संग्रहीत होती हैं।
दो की घातें
211 = 2048 < 2978
212 = 4096 ≥ 2978
उत्तर
b = 12
3.डिजिटल लॉजिक: गेट, K-मानचित्र और फ़्लिप-फ़्लॉप
उत्तर: L = 3
बूलीय बीजगणित: व्यंजकों को सरल करने वाले नियम हैं X + X′ = 1 और X·X′ = 0, X + X = X, अवशोषण X + X·Y = X, संयोजन नियम X·Y + X·Y′ = X, X + X′Y = X + Y और सहमति प्रमेय XY + X′Z + YZ = XY + X′Z। डी मॉर्गन के नियम (X·Y)′ को X′ + Y′ में और (X + Y)′ को X′·Y′ में बदलते हैं। कार्नो मानचित्र इन नियमों को चित्रात्मक रूप से लगाता है: दो पड़ोसी खानों का हर समूह XY + XY′ = X का एक उपयोग है।
व्यंजक के मिनटर्म
ABC′ → m(6)
ABC → m(7)
B′C′ → m(0, 4)
A′BC′ → m(2)
समूहित करें और पढ़ें
F = C′ + AB
लिटरल गिनें
L = 3
उत्तर
L = 3
4.डिजिटल लॉजिक: गेट, K-मानचित्र और फ़्लिप-फ़्लॉप
उत्तर: L = 9
कार्नो मानचित्र: खाने ग्रे कोड (00, 01, 11, 10) में क्रमबद्ध होते हैं, इसलिए पड़ोसी खाने, किनारों के आर-पार वाले भी, ठीक एक चर में भिन्न होते हैं। 1 को 1, 2, 4, 8 या 16 खानों के आयतों में समूहित करें, जितने बड़े और जितने कम समूह हो सकें, जब तक हर 1 ढक न जाए। हर समूह एक गुणन पद है: वे चर जो उसके भीतर स्थिर रहते हैं। 2ᵏ खानों का समूह k चर खो देता है। डोंट-केयर (X) का उपयोग समूह बड़े करने के लिए किया जा सकता है पर उन्हें ढकना ज़रूरी नहीं है। इसके बजाय 0 को समूहित करने से न्यूनतम POS रूप मिलता है।
प्रमुख प्रभाव्य
1 और X से बनने वाले सबसे बड़े समूह।
B′C′D, B′CD′, A′CD, ACD′, A′B′D, A′B′C
न्यूनतम आवरण
F = B′C′D + B′CD′ + A′CD
L = 9
उत्तर
L = 9
उसी आकार का एक और समूहन संभव है; उसमें पदों और लिटरलों की संख्या वही है।
5.डेटा अधिग्रहण और प्रतिचयन
उत्तर: N = 10
ADC वियोजन: N-बिट कन्वर्टर अपने पूर्ण-स्केल परिसर VFSR को 0 से 2ᴺ − 1 तक 2ᴺ कोड में बाँटता है। एक चरण 1 LSB = VFSR/2ᴺ है: वह सबसे छोटा परिवर्तन जो कन्वर्टर दिखा सकता है। छाँटने वाला ADC कोड ⌊Vin/LSB⌋ देता है; निकटतम पूर्णांकन करने वाला ADC वास्तविक मान से कभी ½ LSB से अधिक दूर नहीं होता, यही उसकी क्वांटीकरण त्रुटि है। हर अतिरिक्त बिट LSB को आधा करता है और पूर्ण-स्केल ज्यावक्र के लिए आदर्श संकेत-से-क्वांटीकरण-रव अनुपात SQNR = 6.02·N + 1.76 dB में लगभग 6 dB जोड़ता है। किसी विस्तार पर वियोजन r पाने के लिए सबसे छोटा N चुनें जिसके लिए 2ᴺ ≥ विस्तार/r हो।
आवश्यक चरण
1000/1 = 1000
बिट
log₂(1000) = 9.966
29 = 512 < 1000 ≤ 210 = 1024
N = 10
उत्तर
N = 10
6.डेटा अधिग्रहण और प्रतिचयन
उत्तर: fs = 250 kHz
डेटा दरें: हर चैनल प्रति सेकंड N बिट के fs प्रतिदर्श देता है, इसलिए कच्ची दर चैनल × fs × N bit/s है। मेमोरी में एक प्रतिदर्श पूरे बाइट लेता है (12-बिट प्रतिदर्श 2 बाइट में सहेजा जाता है), इसलिए किसी रिकॉर्डिंग की मेमोरी चैनल × fs × प्रति प्रतिदर्श बाइट × समय है। मल्टीप्लेक्स्ड ADC चैनलों को एक के बाद एक रूपांतरित करता है: हर रूपांतरण (स्थिरीकरण सहित) में समय t लगता है, इसलिए n चैनलों का एक चक्कर n·t लेता है और हर चैनल 1/(n·t) पर प्रतिदर्शित होता है।
प्रति चैनल समय
1 + 1 = 2 µs
प्रति स्कैन समय
2·2 = 4 µs
प्रति चैनल प्रतिदर्श दर
fs = 1/4 µs = 250 kHz
उत्तर
fs = 250 kHz
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