असतत गणित: क्रैम पैक

सूत्र-पत्रक, हर विषय के मुख्य विधि-चरण और 8 अभ्यास प्रश्न, पूरे हल पीछे दिए गए हैं।

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1सूत्र और विधियाँ

प्रस्ताविक तर्क और उपपत्तियाँ

सत्यमान सारणी की पंक्तियाँ: 2ⁿ
निहितार्थ: p → q ≡ ¬p ∨ q ≡ ¬q → ¬p
निषिद्ध निहितार्थ: ¬(p → q) ≡ p ∧ ¬q
द्विनिहितार्थ: p ↔ q ≡ (p → q) ∧ (q → p)
डी मॉर्गन: ¬(p ∧ q) ≡ ¬p ∨ ¬q, ¬(p ∨ q) ≡ ¬p ∧ ¬q
वितरण नियम: p ∨ (q ∧ r) ≡ (p ∨ q) ∧ (p ∨ r), p ∧ (q ∨ r) ≡ (p ∧ q) ∨ (p ∧ r)
निषिद्ध परिमाणक: ¬∀x P(x) ≡ ∃x ¬P(x), ¬∃x P(x) ≡ ∀x ¬P(x)
मोडस पोनेंस, मोडस टोलेंस: p → q, p ⊢ q; p → q, ¬q ⊢ ¬p

विधि

अलग-अलग चरों को गिनें: सत्यमान सारणी में 2ⁿ पंक्तियाँ होती हैं, जो सभी के 1 होने से शुरू होती हैं।
हर उप-सूत्र को अपना अलग स्तंभ दें और स्तंभों को भीतर से बाहर की ओर भरें।
हर संयोजक का नियम लगाएँ: → केवल 1 → 0 के लिए 0 होता है, ↔ तब 1 होता है जब दोनों पक्ष समान हों।
तुल्यता के लिए अंतिम स्तंभों की पंक्ति-दर-पंक्ति तुलना करें; किसी तर्क के लिए केवल उन्हीं पंक्तियों को देखें जिनमें हर आधार-वाक्य 1 हो।
परिमाणक वाले कथन का निषेध करने के लिए ¬ को भीतर ले जाएँ, ∀ और ∃ आपस में बदलें, और भीतरी सूत्र का निषेध करें।

समुच्चय, संबंध और फलन

दो समुच्चय: |A ∪ B| = |A| + |B| − |A ∩ B|
तीन समुच्चय: |A ∪ B ∪ C| = |A| + |B| + |C| − |A ∩ B| − |A ∩ C| − |B ∩ C| + |A ∩ B ∩ C|
अंतर और पूरक: A − B = A ∩ B′, |A′| = |U| − |A|
घात समुच्चय और गुणनफल: |𝒫(A)| = 2^|A|, |A × B| = |A|·|B|
आकार k के उपसमुच्चय: C(n, k) = n!/(k!(n − k)!)
फलन A → B: nᵐ; injective n!/(n − m)!; surjective Σ (−1)ᵏ C(n, k)(n − k)ᵐ
n अवयवों पर संबंध: 2^n²; reflexive 2^{n² − n}; symmetric 2^n(n+1)/2
संयोजन: (g ∘ f)(x) = g(f(x))

विधि

वेन आरेख बनाएँ और क्षेत्र-दर-क्षेत्र तय करें कि समुच्चय व्यंजक में कौन-सा भाग आता है।
गिनती के प्रश्नों में क्षेत्रों को केंद्र से बाहर की ओर भरें: पहले सभी समुच्चय, फिर जोड़े, फिर अकेले समुच्चय, फिर बाहरी भाग।
जाँच के लिए समावेश–अपवर्जन का उपयोग करें: |A ∪ B| = |A| + |B| − |A ∩ B|।
किसी संबंध के लिए हर गुण को हर जोड़े पर जाँचें और गुण विफल होने पर एक प्रति-उदाहरण दें।
किसी फलन के लिए B के हर अवयव पर पहुँचने वाले तीरों को गिनें: अधिकतम एक हो तो एकैकी, कम से कम एक हो तो आच्छादक।

ग्राफ़ सिद्धांत

हैंडशेक लेमा: Σ deg(v) = 2|E|
पूर्ण ग्राफ़: |E(K_n)| = n(n − 1)/2, |E(K_m,n)| = m·n
नियमित ग्राफ़: |E| = n·k/2
वृक्ष और वन: |E| = n − 1, |E| = n − c
वृक्ष के पत्ते: L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
यूलर: परिपथ: सभी घात सम; पथ: ठीक 2 घात विषम
K_n में हैमिल्टन परिपथ: (n − 1)!/2
डाइक्स्ट्रा अद्यतन: d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
लंबाई L की वॉक: (Mᴸ)_ij

विधि

हर शीर्ष की घात लिखें; घातों का योग कोरों की संख्या का दोगुना होता है।
यूलर के प्रश्नों में जाँचें कि ग्राफ़ संबद्ध है और विषम घात वाले शीर्षों को गिनें।
वृक्षों के लिए n − 1 कोरों और हैंडशेक लेमा का उपयोग करें।
डाइक्स्ट्रा के लिए अस्थायी दूरियों की सारणी रखें और हर चक्र में सबसे छोटी दूरी वाले अनिर्धारित शीर्ष को निर्धारित करें।
न्यूनतम स्पैनिंग ट्री के लिए कोरों को भार के अनुसार क्रमबद्ध करें और चक्र बनाने वाली हर कोर छोड़ दें (क्रुस्कल), या किसी प्रारंभिक शीर्ष से एक वृक्ष बढ़ाएँ (प्रिम)।

संख्या सिद्धांत और मॉड्यूलर अंकगणित

शेषफल सहित विभाजन: a = q·n + r, 0 ≤ r < n
यूक्लिड: gcd(a, b) = gcd(b, a mod b)
लघुत्तम समापवर्त्य: lcm(a, b) = a·b/gcd(a, b)
व्युत्क्रम: a·a⁻¹ ≡ 1 (mod n), gcd(a, n) = 1
रैखिक सर्वांगसमता: a·x ≡ b → x ≡ a⁻¹·b (mod n)
यूलर का टोशेंट: φ(n) = n·∏(1 − 1/p), φ(pᵏ) = pᵏ − pᵏ⁻¹
फर्मा: aᵖ⁻¹ ≡ 1 (mod p)
RSA: n = pq, φ = (p − 1)(q − 1), d = e⁻¹ mod φ, c = mᵉ mod n, m = cᵈ mod n

विधि

पहले हर संख्या को n के मापांक में घटाएँ; शेषफल 0 से n − 1 के बीच होते हैं।
gcd के लिए यूक्लिड एल्गोरिथ्म से बार-बार भाग दें; अंतिम अशून्य शेषफल ही gcd है।
प्रतिलोम के लिए विस्तारित एल्गोरिथ्म चलाएँ और a का गुणांक रखें; ऋणात्मक हो तो n जोड़ें।
a·x ≡ b को हल करने के लिए a⁻¹ से गुणा करें; दो सर्वांगसमताओं को x = r₁ + m₁k लिखकर मिलाएँ।
घातों के लिए घातांक को द्विआधारी में लिखें और बार-बार वर्ग करें; RSA में d = e⁻¹ mod φ(n) होता है, जहाँ φ(n) = (p − 1)(q − 1)।

2अभ्यास प्रश्न

1.प्रस्ताविक तर्क और उपपत्तियाँमध्यम

आप q → (p ∨ r) को विरोधाभास द्वारा सिद्ध करना चाहते हैं। शुरू में कौन-सा कथन मानेंगे? उस पर क्लिक करें।

q → (p ∨ r)

1¬q ∧ (p ∨ r)
2q ∧ ¬(p ∨ r)
3¬q → ¬(p ∨ r)
4¬q ∧ ¬(p ∨ r)

2.प्रस्ताविक तर्क और उपपत्तियाँकठिन

आधार-वाक्य b → c; a → c और निष्कर्ष b → a वाला तर्क अवैध है। सत्यमान सारणी की उस पंक्ति पर क्लिक करें जो प्रति-उदाहरण है।

b → ca → c∴ b → a

1a = 1, b = 1, c = 1
2a = 1, b = 1, c = 0
3a = 1, b = 0, c = 1
4a = 1, b = 0, c = 0
5a = 0, b = 1, c = 1
6a = 0, b = 1, c = 0
7a = 0, b = 0, c = 1
8a = 0, b = 0, c = 0

3.समुच्चय, संबंध और फलनमध्यम

{1, 2, 3, 4} पर संबंध R को दिशित ग्राफ़ के रूप में खींचा गया है (लूप का अर्थ (x, x) ∈ R है)। चारों गुणों में से ठीक एक सत्य है। उस पर क्लिक करें।

R = {(1, 1), (2, 4), (3, 4), (4, 2), (4, 3)}

1स्वतुल्य
2सममित
3प्रति-सममित
4संक्रामक

4.समुच्चय, संबंध और फलनकठिन

{1, 2, 3, 4, 5} पर एकैकी आच्छादक फलन f अपनी सारणी से दिया गया है। f⁻¹(2) ज्ञात करें।

f: 1 ↦ 1, 2 ↦ 4, 3 ↦ 3, 4 ↦ 5, 5 ↦ 2

f⁻¹(2) =

5.ग्राफ़ सिद्धांतमध्यम

पूर्ण ग्राफ़ K₈ में कितने भिन्न हैमिल्टन परिपथ H हैं? जो परिपथ केवल प्रारंभिक शीर्ष या दिशा में भिन्न हों, उन्हें एक ही गिना जाता है।

K₈

H =

6.ग्राफ़ सिद्धांतकठिन

भारित ग्राफ़ के न्यूनतम स्पैनिंग ट्री का कुल भार W ज्ञात करें।

|V| = 6|E| = 9

W =

7.संख्या सिद्धांत और मॉड्यूलर अंकगणितमध्यम

9x ≡ 14 (mod 17) हल करें। हल x दें, जहाँ 0 < x < 17।

9x ≡ 14 (mod 17)

x =

8.संख्या सिद्धांत और मॉड्यूलर अंकगणितकठिन

18x ≡ 12 (mod 21) हल करें। सबसे छोटा धनात्मक हल x दें।

18x ≡ 12 (mod 21)

x =

3विलयन

1.प्रस्ताविक तर्क और उपपत्तियाँ

उत्तर: q ∧ ¬(p ∨ r)

तार्किक तुल्यता: दो सूत्र तुल्य (≡) होते हैं जब सत्यमान सारणी की हर पंक्ति में उनका मान समान हो। पुनरुक्ति हर पंक्ति में 1 होती है, विरोधोक्ति हर पंक्ति में 0, और आपातिक कथन इनमें से कुछ नहीं होता। उपयोगी नियम: डी मॉर्गन, ¬(a ∧ b) ≡ ¬a ∨ ¬b और ¬(a ∨ b) ≡ ¬a ∧ ¬b; a → b ≡ ¬a ∨ b ≡ ¬b → ¬a (प्रतिधनात्मक); ¬(a → b) ≡ a ∧ ¬b; और वितरण नियम, a ∨ (b ∧ c) ≡ (a ∨ b) ∧ (a ∨ c)।

निहितार्थ के भाग

a = q, b = p ∨ r

निहितार्थ का निषेध

¬(a → b) ≡ a ∧ ¬b = q ∧ ¬(p ∨ r)

उत्तर

q ∧ ¬(p ∨ r)

यदि मान्यता विरोधाभास की ओर ले जाए, तो निहितार्थ सत्य होना चाहिए।

2.प्रस्ताविक तर्क और उपपत्तियाँ

उत्तर: a = 0, b = 1, c = 1

परिमाणक और तर्क: ¬∀x P(x) ≡ ∃x ¬P(x) और ¬∃x P(x) ≡ ∀x ¬P(x)। निषेध को भीतर ले जाएँ, उसके रास्ते में आने वाले हर परिमाणक को बदलें, और भीतरी सूत्र का निषेध प्रस्ताविक नियमों से करें, जैसे ¬(a → b) ≡ a ∧ ¬b। तर्क वैध होता है जब उन सभी पंक्तियों में निष्कर्ष 1 हो जिनमें सभी आधार-वाक्य 1 हों। सत्य आधार-वाक्यों और असत्य निष्कर्ष वाली एक भी पंक्ति प्रति-उदाहरण है और दिखाती है कि तर्क अवैध है।

आधार-वाक्य और निष्कर्ष पंक्ति-दर-पंक्ति

a = 1, b = 1, c = 1: 1 1 | 1

a = 1, b = 1, c = 0: 0 0 | 1

a = 1, b = 0, c = 1: 1 1 | 1

a = 1, b = 0, c = 0: 1 0 | 1

a = 0, b = 1, c = 1: 1 1 | 0

a = 0, b = 1, c = 0: 0 1 | 0

a = 0, b = 0, c = 1: 1 1 | 1

a = 0, b = 0, c = 0: 1 1 | 1

प्रति-उदाहरण

a = 0, b = 1, c = 1

उत्तर

a = 0, b = 1, c = 1

इस रूप का तर्क वैध नियम जैसा दिखता है, पर यह दिखाने के लिए कि वह वैध नहीं है, एक पंक्ति काफ़ी है।

3.समुच्चय, संबंध और फलन

उत्तर: सममित

संबंध: समुच्चय X पर संबंध R क्रमित युग्मों (x, y) का समुच्चय है। R स्वतुल्य होता है जब X के हर x के लिए (x, x) ∈ R हो; सममित जब (x, y) ∈ R के साथ हमेशा (y, x) ∈ R हो; प्रति-सममित जब (x, y) और (y, x) दोनों R में केवल तभी हों जब x = y; और संक्रामक जब R में (x, y) और (y, z) होने पर (x, z) ∈ R अनिवार्य हो। तुल्यता संबंध स्वतुल्य, सममित और संक्रामक होता है और X को असंयुक्त वर्गों में बाँटता है।

स्वतुल्य

विफल है: (2, 2) ∉ R

सममित

सत्य है

प्रति-सममित

विफल है: (2, 4), (4, 2) ∈ R

संक्रामक

विफल है: (2, 4), (4, 2) ∈ R, (2, 2) ∉ R

उत्तर

सममित

4.समुच्चय, संबंध और फलन

उत्तर: f⁻¹(2) = 5

फलन और गिनती: फलन f: A → B, A के हर अवयव को B में ठीक एक प्रतिबिंब देता है। f एकैकी (इंजेक्टिव) होता है जब भिन्न अवयवों के प्रतिबिंब भिन्न हों, आच्छादक (सरजेक्टिव) जब B का हर अवयव किसी का प्रतिबिंब हो, और एकैकी आच्छादक (बाइजेक्टिव) जब दोनों हों। |A| = m और |B| = n के साथ nᵐ फलन होते हैं, n!/(n − m)! एकैकी फलन (m ≤ n), और समावेश–अपवर्जन से Σ (−1)ᵏ·C(n, k)·(n − k)ᵐ आच्छादक फलन। |𝒫(A)| = 2ᵐ और |A × B| = m·n।

सारणी को उलटकर पढ़ें

f(5) = 2 → f⁻¹(2) = 5

उत्तर

f⁻¹(2) = 5

5.ग्राफ़ सिद्धांत

उत्तर: H = 2520

यूलर, हैमिल्टन और वृक्ष: संबद्ध ग्राफ़ में यूलर परिपथ (हर कोर एक बार, शुरुआत पर वापसी) तब होता है जब हर शीर्ष की घात सम हो, और परिपथ न होने वाला यूलर पथ तब जब ठीक दो शीर्षों की घात विषम हो; तब पथ एक विषम शीर्ष से दूसरे तक चलता है। हैमिल्टन परिपथ हर शीर्ष पर एक बार जाता है; K_n में ऐसे (n − 1)!/2 होते हैं। n शीर्षों वाले वृक्ष में n − 1 कोरें होती हैं, और m कोरों वाला संबद्ध ग्राफ़ m − n + 1 कोरें हटाने के बाद स्पैनिंग ट्री रखता है।

गिनें

H = (8 − 1)!/2 = 5040/2 = 2520

उत्तर

H = 2520

6.ग्राफ़ सिद्धांत

उत्तर: W = 44

सबसे छोटे पथ और स्पैनिंग ट्री: डाइक्स्ट्रा का एल्गोरिथ्म हर चक्र में एक शीर्ष निर्धारित करता है: सबसे छोटी अस्थायी दूरी वाला अनिर्धारित शीर्ष। तब उसकी दूरी अंतिम होती है, और हर पड़ोसी v को d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)) मिलता है। क्रुस्कल का एल्गोरिथ्म कोरों को हल्की से भारी की ओर लेकर और चक्र बनाने वाली हर कोर छोड़कर न्यूनतम स्पैनिंग ट्री बनाता है; प्रिम का एल्गोरिथ्म प्रारंभिक शीर्ष से एक वृक्ष बढ़ाता है और हमेशा उससे बाहर जाने वाली सबसे हल्की कोर जोड़ता है। n शीर्षों के स्पैनिंग ट्री में n − 1 कोरें होती हैं।

क्रुस्कल का एल्गोरिथ्म

AB (3): लें

BC (4): लें

DE (8): लें

DF (13): लें

EF (14): छोड़ें, चक्र बनता है

AC (15): छोड़ें, चक्र बनता है

BE (16): लें

कुल भार

W = 3 + 4 + 8 + 13 + 16 = 44

उत्तर

W = 44

7.संख्या सिद्धांत और मॉड्यूलर अंकगणित

उत्तर: x = 11

प्रतिलोम और सर्वांगसमताएँ: a का n के मापांक में प्रतिलोम ठीक तब होता है जब gcd(a, n) = 1। विस्तारित यूक्लिडीय एल्गोरिथ्म 1 = s·n + t·a लिखता है, और तब a⁻¹ ≡ t (mod n)। gcd(a, n) = 1 वाली सर्वांगसमता a·x ≡ b (mod n) का हल x ≡ a⁻¹·b है। सहअभाज्य मापांकों वाली दो सर्वांगसमताओं x ≡ r₁ (mod m₁) और x ≡ r₂ (mod m₂) का m₁·m₂ के मापांक में एक हल होता है (चीनी शेषफल प्रमेय)। यूलर का φ(n) 1 से n तक की उन संख्याओं को गिनता है जो n से सहअभाज्य हैं: φ(n) = n·∏(1 − 1/p)।

9 का प्रतिलोम

r = 17, t = 0

r = 9, q = 1, t = 1

r = 8, q = 1, t = −1

r = 1, q = 8, t = 2

9⁻¹ ≡ 2 (mod 17)

हल करें

x ≡ 2·14 = 28 ≡ 11 (mod 17)

जाँच: 9·11 = 99 ≡ 14 (mod 17)

उत्तर

x = 11

8.संख्या सिद्धांत और मॉड्यूलर अंकगणित

उत्तर: x = 3

gcd से भाग दें

gcd(18, 21) = 3

6x ≡ 4 (mod 7)

घटी हुई सर्वांगसमता हल करें

6⁻¹ ≡ 6 (mod 7) → x ≡ 3 (mod 7)

21 के मापांक में हल

x ∈ {3, 10, 17}

x = 3

उत्तर

x = 3

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