असतत गणित: क्रैम पैक

सूत्र-पत्रक, हर विषय के मुख्य विधि-चरण और 8 अभ्यास प्रश्न, पूरे हल पीछे दिए गए हैं।

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1सूत्र और विधियाँ

प्रस्ताविक तर्क और उपपत्तियाँ

सत्यमान सारणी की पंक्तियाँ: 2ⁿ
निहितार्थ: p → q ≡ ¬p ∨ q ≡ ¬q → ¬p
निषिद्ध निहितार्थ: ¬(p → q) ≡ p ∧ ¬q
द्विनिहितार्थ: p ↔ q ≡ (p → q) ∧ (q → p)
डी मॉर्गन: ¬(p ∧ q) ≡ ¬p ∨ ¬q, ¬(p ∨ q) ≡ ¬p ∧ ¬q
वितरण नियम: p ∨ (q ∧ r) ≡ (p ∨ q) ∧ (p ∨ r), p ∧ (q ∨ r) ≡ (p ∧ q) ∨ (p ∧ r)
निषिद्ध परिमाणक: ¬∀x P(x) ≡ ∃x ¬P(x), ¬∃x P(x) ≡ ∀x ¬P(x)
मोडस पोनेंस, मोडस टोलेंस: p → q, p ⊢ q; p → q, ¬q ⊢ ¬p

विधि

अलग-अलग चरों को गिनें: सत्यमान सारणी में 2ⁿ पंक्तियाँ होती हैं, जो सभी के 1 होने से शुरू होती हैं।
हर उप-सूत्र को अपना अलग स्तंभ दें और स्तंभों को भीतर से बाहर की ओर भरें।
हर संयोजक का नियम लगाएँ: → केवल 1 → 0 के लिए 0 होता है, ↔ तब 1 होता है जब दोनों पक्ष समान हों।
तुल्यता के लिए अंतिम स्तंभों की पंक्ति-दर-पंक्ति तुलना करें; किसी तर्क के लिए केवल उन्हीं पंक्तियों को देखें जिनमें हर आधार-वाक्य 1 हो।
परिमाणक वाले कथन का निषेध करने के लिए ¬ को भीतर ले जाएँ, ∀ और ∃ आपस में बदलें, और भीतरी सूत्र का निषेध करें।

समुच्चय, संबंध और फलन

दो समुच्चय: |A ∪ B| = |A| + |B| − |A ∩ B|
तीन समुच्चय: |A ∪ B ∪ C| = |A| + |B| + |C| − |A ∩ B| − |A ∩ C| − |B ∩ C| + |A ∩ B ∩ C|
अंतर और पूरक: A − B = A ∩ B′, |A′| = |U| − |A|
घात समुच्चय और गुणनफल: |𝒫(A)| = 2^|A|, |A × B| = |A|·|B|
आकार k के उपसमुच्चय: C(n, k) = n!/(k!(n − k)!)
फलन A → B: nᵐ; injective n!/(n − m)!; surjective Σ (−1)ᵏ C(n, k)(n − k)ᵐ
n अवयवों पर संबंध: 2^n²; reflexive 2^{n² − n}; symmetric 2^n(n+1)/2
संयोजन: (g ∘ f)(x) = g(f(x))

विधि

वेन आरेख बनाएँ और क्षेत्र-दर-क्षेत्र तय करें कि समुच्चय व्यंजक में कौन-सा भाग आता है।
गिनती के प्रश्नों में क्षेत्रों को केंद्र से बाहर की ओर भरें: पहले सभी समुच्चय, फिर जोड़े, फिर अकेले समुच्चय, फिर बाहरी भाग।
जाँच के लिए समावेश–अपवर्जन का उपयोग करें: |A ∪ B| = |A| + |B| − |A ∩ B|।
किसी संबंध के लिए हर गुण को हर जोड़े पर जाँचें और गुण विफल होने पर एक प्रति-उदाहरण दें।
किसी फलन के लिए B के हर अवयव पर पहुँचने वाले तीरों को गिनें: अधिकतम एक हो तो एकैकी, कम से कम एक हो तो आच्छादक।

ग्राफ़ सिद्धांत

हैंडशेक लेमा: Σ deg(v) = 2|E|
पूर्ण ग्राफ़: |E(K_n)| = n(n − 1)/2, |E(K_m,n)| = m·n
नियमित ग्राफ़: |E| = n·k/2
वृक्ष और वन: |E| = n − 1, |E| = n − c
वृक्ष के पत्ते: L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
यूलर: परिपथ: सभी घात सम; पथ: ठीक 2 घात विषम
K_n में हैमिल्टन परिपथ: (n − 1)!/2
डाइक्स्ट्रा अद्यतन: d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
लंबाई L की वॉक: (Mᴸ)_ij

विधि

हर शीर्ष की घात लिखें; घातों का योग कोरों की संख्या का दोगुना होता है।
यूलर के प्रश्नों में जाँचें कि ग्राफ़ संबद्ध है और विषम घात वाले शीर्षों को गिनें।
वृक्षों के लिए n − 1 कोरों और हैंडशेक लेमा का उपयोग करें।
डाइक्स्ट्रा के लिए अस्थायी दूरियों की सारणी रखें और हर चक्र में सबसे छोटी दूरी वाले अनिर्धारित शीर्ष को निर्धारित करें।
न्यूनतम स्पैनिंग ट्री के लिए कोरों को भार के अनुसार क्रमबद्ध करें और चक्र बनाने वाली हर कोर छोड़ दें (क्रुस्कल), या किसी प्रारंभिक शीर्ष से एक वृक्ष बढ़ाएँ (प्रिम)।

संख्या सिद्धांत और मॉड्यूलर अंकगणित

शेषफल सहित विभाजन: a = q·n + r, 0 ≤ r < n
यूक्लिड: gcd(a, b) = gcd(b, a mod b)
लघुत्तम समापवर्त्य: lcm(a, b) = a·b/gcd(a, b)
व्युत्क्रम: a·a⁻¹ ≡ 1 (mod n), gcd(a, n) = 1
रैखिक सर्वांगसमता: a·x ≡ b → x ≡ a⁻¹·b (mod n)
यूलर का टोशेंट: φ(n) = n·∏(1 − 1/p), φ(pᵏ) = pᵏ − pᵏ⁻¹
फर्मा: aᵖ⁻¹ ≡ 1 (mod p)
RSA: n = pq, φ = (p − 1)(q − 1), d = e⁻¹ mod φ, c = mᵉ mod n, m = cᵈ mod n

विधि

पहले हर संख्या को n के मापांक में घटाएँ; शेषफल 0 से n − 1 के बीच होते हैं।
gcd के लिए यूक्लिड एल्गोरिथ्म से बार-बार भाग दें; अंतिम अशून्य शेषफल ही gcd है।
प्रतिलोम के लिए विस्तारित एल्गोरिथ्म चलाएँ और a का गुणांक रखें; ऋणात्मक हो तो n जोड़ें।
a·x ≡ b को हल करने के लिए a⁻¹ से गुणा करें; दो सर्वांगसमताओं को x = r₁ + m₁k लिखकर मिलाएँ।
घातों के लिए घातांक को द्विआधारी में लिखें और बार-बार वर्ग करें; RSA में d = e⁻¹ mod φ(n) होता है, जहाँ φ(n) = (p − 1)(q − 1)।

2अभ्यास प्रश्न

1.प्रस्ताविक तर्क और उपपत्तियाँमध्यम

इसकी सत्यमान सारणी की 8 पंक्तियों में से कितनी में ((a → b) ↔ (c ↔ b)) ∨ ¬(a ↔ c) सत्य है? इस संख्या को N कहें।

((a → b) ↔ (c ↔ b)) ∨ ¬(a ↔ c)

N =

2.प्रस्ताविक तर्क और उपपत्तियाँकठिन

सत्यमान सारणी की 16 पंक्तियों में से कितनी ((p ∨ ¬q) ∨ (¬r ∨ s)) ∨ (r → p) को सत्य बनाती हैं? इस संख्या को N कहें।

((p ∨ ¬q) ∨ (¬r ∨ s)) ∨ (r → p)

N =

3.समुच्चय, संबंध और फलनमध्यम

63 प्रथम वर्ष के विद्यार्थियों में से 24 गणित (M) में, 37 भौतिकी (P) में और 30 रसायन (C) में उत्तीर्ण हुए। 13 M और P में, 13 M और C में, 15 P और C में, तथा 5 तीनों में उत्तीर्ण हुए। कितने तीनों समुच्चयों में से ठीक दो में हैं? संख्या को n कहें।

|U| = 63

n =

4.समुच्चय, संबंध और फलनकठिन

यदि |A| = 4 और |B| = 5 हो, तो कितने फलन f: A → B हैं? संख्या को N कहें।

|A| = 4|B| = 5

N =

5.ग्राफ़ सिद्धांतमध्यम

एक संबद्ध ग्राफ़ में 11 शीर्ष और 17 कोरें हैं। स्पैनिंग ट्री बचाने के लिए कितनी कोरें k हटानी होंगी?

|V| = 11|E| = 17

k =

6.ग्राफ़ सिद्धांतकठिन

भारित ग्राफ़ के न्यूनतम स्पैनिंग ट्री का कुल भार W ज्ञात करें।

|V| = 7|E| = 9

W =

7.संख्या सिद्धांत और मॉड्यूलर अंकगणितमध्यम

यूलर का टोशेंट φ(343) ज्ञात करें, यानी 1 से 343 तक के वे पूर्णांक जो 343 से सहअभाज्य हैं।

n = 343 = 7³

φ(343) =

8.संख्या सिद्धांत और मॉड्यूलर अंकगणितकठिन

67 अभाज्य है। 25⁴¹⁷⁷ mod 67 ज्ञात करने के लिए फर्मा के लघु प्रमेय का उपयोग करें।

p = 67k = 4177

25⁴¹⁷⁷ mod 67 =

3विलयन

1.प्रस्ताविक तर्क और उपपत्तियाँ

उत्तर: N = 7

सत्यमान सारणियाँ: n अलग-अलग चरों वाले सूत्र की 2ⁿ पंक्तियाँ होती हैं, सत्यमानों के हर संयोजन के लिए एक (1 = सत्य, 0 = असत्य)। भीतर से बाहर की ओर काम करें और हर उप-सूत्र को अपना स्तंभ दें। ¬a मान उलट देता है; a ∧ b केवल तब 1 होता है जब दोनों 1 हों; a ∨ b केवल तब 0 होता है जब दोनों 0 हों; a → b केवल तब 0 होता है जब a = 1 और b = 0; a ↔ b तब 1 होता है जब दोनों पक्ष बराबर हों।

सत्यमान सारणी पंक्ति-दर-पंक्ति

a = 1, b = 1, c = 1: a → b = 1, c ↔ b = 1, (a → b) ↔ (c ↔ b) = 1, a ↔ c = 1, ¬(a ↔ c) = 0, ((a → b) ↔ (c ↔ b)) ∨ ¬(a ↔ c) = 1

a = 1, b = 1, c = 0: a → b = 1, c ↔ b = 0, (a → b) ↔ (c ↔ b) = 0, a ↔ c = 0, ¬(a ↔ c) = 1, ((a → b) ↔ (c ↔ b)) ∨ ¬(a ↔ c) = 1

a = 1, b = 0, c = 1: a → b = 0, c ↔ b = 0, (a → b) ↔ (c ↔ b) = 1, a ↔ c = 1, ¬(a ↔ c) = 0, ((a → b) ↔ (c ↔ b)) ∨ ¬(a ↔ c) = 1

a = 1, b = 0, c = 0: a → b = 0, c ↔ b = 1, (a → b) ↔ (c ↔ b) = 0, a ↔ c = 0, ¬(a ↔ c) = 1, ((a → b) ↔ (c ↔ b)) ∨ ¬(a ↔ c) = 1

a = 0, b = 1, c = 1: a → b = 1, c ↔ b = 1, (a → b) ↔ (c ↔ b) = 1, a ↔ c = 0, ¬(a ↔ c) = 1, ((a → b) ↔ (c ↔ b)) ∨ ¬(a ↔ c) = 1

a = 0, b = 1, c = 0: a → b = 1, c ↔ b = 0, (a → b) ↔ (c ↔ b) = 0, a ↔ c = 1, ¬(a ↔ c) = 0, ((a → b) ↔ (c ↔ b)) ∨ ¬(a ↔ c) = 0

a = 0, b = 0, c = 1: a → b = 1, c ↔ b = 0, (a → b) ↔ (c ↔ b) = 0, a ↔ c = 0, ¬(a ↔ c) = 1, ((a → b) ↔ (c ↔ b)) ∨ ¬(a ↔ c) = 1

a = 0, b = 0, c = 0: a → b = 1, c ↔ b = 1, (a → b) ↔ (c ↔ b) = 1, a ↔ c = 1, ¬(a ↔ c) = 0, ((a → b) ↔ (c ↔ b)) ∨ ¬(a ↔ c) = 1

मान 1 वाली पंक्तियाँ गिनें

((a → b) ↔ (c ↔ b)) ∨ ¬(a ↔ c): 1, 1, 1, 1, 1, 0, 1, 1

N = 7

उत्तर

N = 7

2.प्रस्ताविक तर्क और उपपत्तियाँ

उत्तर: N = 15

स्तंभ

¬q; p ∨ ¬q; ¬r; ¬r ∨ s; (p ∨ ¬q) ∨ (¬r ∨ s); r → p; ((p ∨ ¬q) ∨ (¬r ∨ s)) ∨ (r → p)

p पर बाँटें

p = 1: 8

p = 0: 7

N = 8 + 7 = 15

उत्तर

N = 15

3.समुच्चय, संबंध और फलन

उत्तर: n = 26

समुच्चय और वेन आरेख: A ∪ B में A या B (या दोनों) के अवयव होते हैं, A ∩ B में दोनों के अवयव, A − B में A के वे अवयव जो B में नहीं हैं, और पूरक A′ में U का वह सब कुछ जो A में नहीं है। वेन आरेख में हर समुच्चय व्यंजक क्षेत्रों का संघ होता है, इसलिए उसे क्षेत्र-दर-क्षेत्र गिनें। समावेश–अपवर्जन: |A ∪ B| = |A| + |B| − |A ∩ B|, और |A ∪ B ∪ C| = |A| + |B| + |C| − |A ∩ B| − |A ∩ C| − |B ∩ C| + |A ∩ B ∩ C|।

केंद्र और जोड़ियाँ

M ∩ P ∩ C: 5

M ∩ P केवल: 13 − 5 = 8

M ∩ C केवल: 13 − 5 = 8

P ∩ C केवल: 15 − 5 = 10

अकेले समुच्चय

M केवल: 24 − 8 − 8 − 5 = 3

P केवल: 37 − 8 − 10 − 5 = 14

C केवल: 30 − 8 − 10 − 5 = 7

उत्तर

8 + 8 + 10 = 26

उत्तर

n = 26

4.समुच्चय, संबंध और फलन

उत्तर: N = 625

फलन और गिनती: फलन f: A → B, A के हर अवयव को B में ठीक एक प्रतिबिंब देता है। f एकैकी (इंजेक्टिव) होता है जब भिन्न अवयवों के प्रतिबिंब भिन्न हों, आच्छादक (सरजेक्टिव) जब B का हर अवयव किसी का प्रतिबिंब हो, और एकैकी आच्छादक (बाइजेक्टिव) जब दोनों हों। |A| = m और |B| = n के साथ nᵐ फलन होते हैं, n!/(n − m)! एकैकी फलन (m ≤ n), और समावेश–अपवर्जन से Σ (−1)ᵏ·C(n, k)·(n − k)ᵐ आच्छादक फलन। |𝒫(A)| = 2ᵐ और |A × B| = m·n।

गिनें

N = 5⁴ = 625

उत्तर

N = 625

5.ग्राफ़ सिद्धांत

उत्तर: k = 7

यूलर, हैमिल्टन और वृक्ष: संबद्ध ग्राफ़ में यूलर परिपथ (हर कोर एक बार, शुरुआत पर वापसी) तब होता है जब हर शीर्ष की घात सम हो, और परिपथ न होने वाला यूलर पथ तब जब ठीक दो शीर्षों की घात विषम हो; तब पथ एक विषम शीर्ष से दूसरे तक चलता है। हैमिल्टन परिपथ हर शीर्ष पर एक बार जाता है; K_n में ऐसे (n − 1)!/2 होते हैं। n शीर्षों वाले वृक्ष में n − 1 कोरें होती हैं, और m कोरों वाला संबद्ध ग्राफ़ m − n + 1 कोरें हटाने के बाद स्पैनिंग ट्री रखता है।

स्पैनिंग ट्री की कोरें

11 − 1 = 10

हटाई जाने वाली कोरें

k = 17 − 10 = 7

उत्तर

k = 7

6.ग्राफ़ सिद्धांत

उत्तर: W = 45

सबसे छोटे पथ और स्पैनिंग ट्री: डाइक्स्ट्रा का एल्गोरिथ्म हर चक्र में एक शीर्ष निर्धारित करता है: सबसे छोटी अस्थायी दूरी वाला अनिर्धारित शीर्ष। तब उसकी दूरी अंतिम होती है, और हर पड़ोसी v को d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)) मिलता है। क्रुस्कल का एल्गोरिथ्म कोरों को हल्की से भारी की ओर लेकर और चक्र बनाने वाली हर कोर छोड़कर न्यूनतम स्पैनिंग ट्री बनाता है; प्रिम का एल्गोरिथ्म प्रारंभिक शीर्ष से एक वृक्ष बढ़ाता है और हमेशा उससे बाहर जाने वाली सबसे हल्की कोर जोड़ता है। n शीर्षों के स्पैनिंग ट्री में n − 1 कोरें होती हैं।

क्रुस्कल का एल्गोरिथ्म

GD (2): लें

DF (4): लें

CE (7): लें

GC (8): लें

AC (9): लें

EF (11): छोड़ें, चक्र बनता है

DE (13): छोड़ें, चक्र बनता है

AB (15): लें

कुल भार

W = 2 + 4 + 7 + 8 + 9 + 15 = 45

उत्तर

W = 45

7.संख्या सिद्धांत और मॉड्यूलर अंकगणित

उत्तर: φ(343) = 294

प्रतिलोम और सर्वांगसमताएँ: a का n के मापांक में प्रतिलोम ठीक तब होता है जब gcd(a, n) = 1। विस्तारित यूक्लिडीय एल्गोरिथ्म 1 = s·n + t·a लिखता है, और तब a⁻¹ ≡ t (mod n)। gcd(a, n) = 1 वाली सर्वांगसमता a·x ≡ b (mod n) का हल x ≡ a⁻¹·b है। सहअभाज्य मापांकों वाली दो सर्वांगसमताओं x ≡ r₁ (mod m₁) और x ≡ r₂ (mod m₂) का m₁·m₂ के मापांक में एक हल होता है (चीनी शेषफल प्रमेय)। यूलर का φ(n) 1 से n तक की उन संख्याओं को गिनता है जो n से सहअभाज्य हैं: φ(n) = n·∏(1 − 1/p)।

अभाज्य गुणनखंड

343 = 7³

टोशेंट

φ(343) = 343 − 49 = 294

उत्तर

φ(343) = 294

8.संख्या सिद्धांत और मॉड्यूलर अंकगणित

उत्तर: 25⁴¹⁷⁷ mod 67 = 24

मॉड्यूलर घात और RSA: aᵏ mod n बार-बार वर्ग करके निकालें: k को द्विआधारी में लिखें, वर्ग करें, हर चरण के बाद घटाएँ और जिन घातों का बिट 1 है उन्हें गुणा करें। फर्मा: अभाज्य p के लिए, जो a को विभाजित नहीं करता, aᵖ⁻¹ ≡ 1 (mod p), इसलिए घातांक को p − 1 के मापांक में घटाया जा सकता है। RSA: अभाज्य p और q चुनें, n = p·q और φ(n) = (p − 1)(q − 1); सार्वजनिक घातांक e, φ(n) से सहअभाज्य है, और निजी घातांक d = e⁻¹ mod φ(n) है। c = mᵉ mod n से एन्क्रिप्ट करें और m = cᵈ mod n से डिक्रिप्ट करें।

घातांक को घटाएँ

4177 mod 66 = 19

25⁴¹⁷⁷ ≡ 25¹⁹ (mod 67)

छोटी घात

25¹⁹ mod 67 = 24

उत्तर

25⁴¹⁷⁷ mod 67 = 24

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