असतत गणित: क्रैम पैक

सूत्र-पत्रक, हर विषय के मुख्य विधि-चरण और 8 अभ्यास प्रश्न, पूरे हल पीछे दिए गए हैं।

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1सूत्र और विधियाँ

प्रस्ताविक तर्क और उपपत्तियाँ

सत्यमान सारणी की पंक्तियाँ: 2ⁿ
निहितार्थ: p → q ≡ ¬p ∨ q ≡ ¬q → ¬p
निषिद्ध निहितार्थ: ¬(p → q) ≡ p ∧ ¬q
द्विनिहितार्थ: p ↔ q ≡ (p → q) ∧ (q → p)
डी मॉर्गन: ¬(p ∧ q) ≡ ¬p ∨ ¬q, ¬(p ∨ q) ≡ ¬p ∧ ¬q
वितरण नियम: p ∨ (q ∧ r) ≡ (p ∨ q) ∧ (p ∨ r), p ∧ (q ∨ r) ≡ (p ∧ q) ∨ (p ∧ r)
निषिद्ध परिमाणक: ¬∀x P(x) ≡ ∃x ¬P(x), ¬∃x P(x) ≡ ∀x ¬P(x)
मोडस पोनेंस, मोडस टोलेंस: p → q, p ⊢ q; p → q, ¬q ⊢ ¬p

विधि

अलग-अलग चरों को गिनें: सत्यमान सारणी में 2ⁿ पंक्तियाँ होती हैं, जो सभी के 1 होने से शुरू होती हैं।
हर उप-सूत्र को अपना अलग स्तंभ दें और स्तंभों को भीतर से बाहर की ओर भरें।
हर संयोजक का नियम लगाएँ: → केवल 1 → 0 के लिए 0 होता है, ↔ तब 1 होता है जब दोनों पक्ष समान हों।
तुल्यता के लिए अंतिम स्तंभों की पंक्ति-दर-पंक्ति तुलना करें; किसी तर्क के लिए केवल उन्हीं पंक्तियों को देखें जिनमें हर आधार-वाक्य 1 हो।
परिमाणक वाले कथन का निषेध करने के लिए ¬ को भीतर ले जाएँ, ∀ और ∃ आपस में बदलें, और भीतरी सूत्र का निषेध करें।

समुच्चय, संबंध और फलन

दो समुच्चय: |A ∪ B| = |A| + |B| − |A ∩ B|
तीन समुच्चय: |A ∪ B ∪ C| = |A| + |B| + |C| − |A ∩ B| − |A ∩ C| − |B ∩ C| + |A ∩ B ∩ C|
अंतर और पूरक: A − B = A ∩ B′, |A′| = |U| − |A|
घात समुच्चय और गुणनफल: |𝒫(A)| = 2^|A|, |A × B| = |A|·|B|
आकार k के उपसमुच्चय: C(n, k) = n!/(k!(n − k)!)
फलन A → B: nᵐ; injective n!/(n − m)!; surjective Σ (−1)ᵏ C(n, k)(n − k)ᵐ
n अवयवों पर संबंध: 2^n²; reflexive 2^{n² − n}; symmetric 2^n(n+1)/2
संयोजन: (g ∘ f)(x) = g(f(x))

विधि

वेन आरेख बनाएँ और क्षेत्र-दर-क्षेत्र तय करें कि समुच्चय व्यंजक में कौन-सा भाग आता है।
गिनती के प्रश्नों में क्षेत्रों को केंद्र से बाहर की ओर भरें: पहले सभी समुच्चय, फिर जोड़े, फिर अकेले समुच्चय, फिर बाहरी भाग।
जाँच के लिए समावेश–अपवर्जन का उपयोग करें: |A ∪ B| = |A| + |B| − |A ∩ B|।
किसी संबंध के लिए हर गुण को हर जोड़े पर जाँचें और गुण विफल होने पर एक प्रति-उदाहरण दें।
किसी फलन के लिए B के हर अवयव पर पहुँचने वाले तीरों को गिनें: अधिकतम एक हो तो एकैकी, कम से कम एक हो तो आच्छादक।

ग्राफ़ सिद्धांत

हैंडशेक लेमा: Σ deg(v) = 2|E|
पूर्ण ग्राफ़: |E(K_n)| = n(n − 1)/2, |E(K_m,n)| = m·n
नियमित ग्राफ़: |E| = n·k/2
वृक्ष और वन: |E| = n − 1, |E| = n − c
वृक्ष के पत्ते: L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
यूलर: परिपथ: सभी घात सम; पथ: ठीक 2 घात विषम
K_n में हैमिल्टन परिपथ: (n − 1)!/2
डाइक्स्ट्रा अद्यतन: d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
लंबाई L की वॉक: (Mᴸ)_ij

विधि

हर शीर्ष की घात लिखें; घातों का योग कोरों की संख्या का दोगुना होता है।
यूलर के प्रश्नों में जाँचें कि ग्राफ़ संबद्ध है और विषम घात वाले शीर्षों को गिनें।
वृक्षों के लिए n − 1 कोरों और हैंडशेक लेमा का उपयोग करें।
डाइक्स्ट्रा के लिए अस्थायी दूरियों की सारणी रखें और हर चक्र में सबसे छोटी दूरी वाले अनिर्धारित शीर्ष को निर्धारित करें।
न्यूनतम स्पैनिंग ट्री के लिए कोरों को भार के अनुसार क्रमबद्ध करें और चक्र बनाने वाली हर कोर छोड़ दें (क्रुस्कल), या किसी प्रारंभिक शीर्ष से एक वृक्ष बढ़ाएँ (प्रिम)।

संख्या सिद्धांत और मॉड्यूलर अंकगणित

शेषफल सहित विभाजन: a = q·n + r, 0 ≤ r < n
यूक्लिड: gcd(a, b) = gcd(b, a mod b)
लघुत्तम समापवर्त्य: lcm(a, b) = a·b/gcd(a, b)
व्युत्क्रम: a·a⁻¹ ≡ 1 (mod n), gcd(a, n) = 1
रैखिक सर्वांगसमता: a·x ≡ b → x ≡ a⁻¹·b (mod n)
यूलर का टोशेंट: φ(n) = n·∏(1 − 1/p), φ(pᵏ) = pᵏ − pᵏ⁻¹
फर्मा: aᵖ⁻¹ ≡ 1 (mod p)
RSA: n = pq, φ = (p − 1)(q − 1), d = e⁻¹ mod φ, c = mᵉ mod n, m = cᵈ mod n

विधि

पहले हर संख्या को n के मापांक में घटाएँ; शेषफल 0 से n − 1 के बीच होते हैं।
gcd के लिए यूक्लिड एल्गोरिथ्म से बार-बार भाग दें; अंतिम अशून्य शेषफल ही gcd है।
प्रतिलोम के लिए विस्तारित एल्गोरिथ्म चलाएँ और a का गुणांक रखें; ऋणात्मक हो तो n जोड़ें।
a·x ≡ b को हल करने के लिए a⁻¹ से गुणा करें; दो सर्वांगसमताओं को x = r₁ + m₁k लिखकर मिलाएँ।
घातों के लिए घातांक को द्विआधारी में लिखें और बार-बार वर्ग करें; RSA में d = e⁻¹ mod φ(n) होता है, जहाँ φ(n) = (p − 1)(q − 1)।

2अभ्यास प्रश्न

1.प्रस्ताविक तर्क और उपपत्तियाँमध्यम

इसकी सत्यमान सारणी की 8 पंक्तियों में से कितनी में ((¬q ∧ p) → r) ∧ (q ↔ (¬p ↔ ¬r)) सत्य है? इस संख्या को N कहें।

((¬q ∧ p) → r) ∧ (q ↔ (¬p ↔ ¬r))

N =

2.प्रस्ताविक तर्क और उपपत्तियाँकठिन

निषेध को पूरी तरह भीतर ले जाने पर कौन-सा कथन ¬∃x (P(x) → Q(x)) के तुल्य है? उस पर क्लिक करें।

¬∃x (P(x) → Q(x))

1∀x (¬P(x) → ¬Q(x))
2∀x (P(x) → ¬Q(x))
3∃x (P(x) ∧ ¬Q(x))
4∀x (P(x) ∧ ¬Q(x))

3.समुच्चय, संबंध और फलनमध्यम

35 प्रथम वर्ष के विद्यार्थियों में से 19 गणित (M) में, 15 भौतिकी (P) में और 6 दोनों में उत्तीर्ण हुए। कितने दोनों समुच्चयों में से ठीक एक में हैं?

|U| = 35|M| = 19|P| = 15|M ∩ P| = 6

|(M − P) ∪ (P − M)| =

4.समुच्चय, संबंध और फलनकठिन

यदि |A| = 2 और |B| = 4 हो, तो कितने फलन f: A → B हैं? संख्या को N कहें।

|A| = 2|B| = 4

N =

5.ग्राफ़ सिद्धांतमध्यम

पूर्ण ग्राफ़ K₈ में कितने भिन्न हैमिल्टन परिपथ H हैं? जो परिपथ केवल प्रारंभिक शीर्ष या दिशा में भिन्न हों, उन्हें एक ही गिना जाता है।

K₈

H =

6.ग्राफ़ सिद्धांतकठिन

लंबाई 2 की कितनी बंद वॉक B से शुरू और समाप्त होती हैं? वॉक में शीर्ष और कोरें दोहराई जा सकती हैं। संख्या को N कहें।

M = संलग्नता आव्यूहL = 2

N =

7.संख्या सिद्धांत और मॉड्यूलर अंकगणितमध्यम

17x ≡ 3 (mod 22) हल करें। हल x दें, जहाँ 0 < x < 22।

17x ≡ 3 (mod 22)

x =

8.संख्या सिद्धांत और मॉड्यूलर अंकगणितकठिन

9x ≡ 18 (mod 24) हल करें। सबसे छोटा धनात्मक हल x दें।

9x ≡ 18 (mod 24)

x =

3विलयन

1.प्रस्ताविक तर्क और उपपत्तियाँ

उत्तर: N = 3

सत्यमान सारणियाँ: n अलग-अलग चरों वाले सूत्र की 2ⁿ पंक्तियाँ होती हैं, सत्यमानों के हर संयोजन के लिए एक (1 = सत्य, 0 = असत्य)। भीतर से बाहर की ओर काम करें और हर उप-सूत्र को अपना स्तंभ दें। ¬a मान उलट देता है; a ∧ b केवल तब 1 होता है जब दोनों 1 हों; a ∨ b केवल तब 0 होता है जब दोनों 0 हों; a → b केवल तब 0 होता है जब a = 1 और b = 0; a ↔ b तब 1 होता है जब दोनों पक्ष बराबर हों।

सत्यमान सारणी पंक्ति-दर-पंक्ति

p = 1, q = 1, r = 1: ¬q = 0, ¬q ∧ p = 0, (¬q ∧ p) → r = 1, ¬p = 0, ¬r = 0, ¬p ↔ ¬r = 1, q ↔ (¬p ↔ ¬r) = 1, ((¬q ∧ p) → r) ∧ (q ↔ (¬p ↔ ¬r)) = 1

p = 1, q = 1, r = 0: ¬q = 0, ¬q ∧ p = 0, (¬q ∧ p) → r = 1, ¬p = 0, ¬r = 1, ¬p ↔ ¬r = 0, q ↔ (¬p ↔ ¬r) = 0, ((¬q ∧ p) → r) ∧ (q ↔ (¬p ↔ ¬r)) = 0

p = 1, q = 0, r = 1: ¬q = 1, ¬q ∧ p = 1, (¬q ∧ p) → r = 1, ¬p = 0, ¬r = 0, ¬p ↔ ¬r = 1, q ↔ (¬p ↔ ¬r) = 0, ((¬q ∧ p) → r) ∧ (q ↔ (¬p ↔ ¬r)) = 0

p = 1, q = 0, r = 0: ¬q = 1, ¬q ∧ p = 1, (¬q ∧ p) → r = 0, ¬p = 0, ¬r = 1, ¬p ↔ ¬r = 0, q ↔ (¬p ↔ ¬r) = 1, ((¬q ∧ p) → r) ∧ (q ↔ (¬p ↔ ¬r)) = 0

p = 0, q = 1, r = 1: ¬q = 0, ¬q ∧ p = 0, (¬q ∧ p) → r = 1, ¬p = 1, ¬r = 0, ¬p ↔ ¬r = 0, q ↔ (¬p ↔ ¬r) = 0, ((¬q ∧ p) → r) ∧ (q ↔ (¬p ↔ ¬r)) = 0

p = 0, q = 1, r = 0: ¬q = 0, ¬q ∧ p = 0, (¬q ∧ p) → r = 1, ¬p = 1, ¬r = 1, ¬p ↔ ¬r = 1, q ↔ (¬p ↔ ¬r) = 1, ((¬q ∧ p) → r) ∧ (q ↔ (¬p ↔ ¬r)) = 1

p = 0, q = 0, r = 1: ¬q = 1, ¬q ∧ p = 0, (¬q ∧ p) → r = 1, ¬p = 1, ¬r = 0, ¬p ↔ ¬r = 0, q ↔ (¬p ↔ ¬r) = 1, ((¬q ∧ p) → r) ∧ (q ↔ (¬p ↔ ¬r)) = 1

p = 0, q = 0, r = 0: ¬q = 1, ¬q ∧ p = 0, (¬q ∧ p) → r = 1, ¬p = 1, ¬r = 1, ¬p ↔ ¬r = 1, q ↔ (¬p ↔ ¬r) = 0, ((¬q ∧ p) → r) ∧ (q ↔ (¬p ↔ ¬r)) = 0

मान 1 वाली पंक्तियाँ गिनें

((¬q ∧ p) → r) ∧ (q ↔ (¬p ↔ ¬r)): 1, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 0

N = 3

उत्तर

N = 3

2.प्रस्ताविक तर्क और उपपत्तियाँ

उत्तर: ∀x (P(x) ∧ ¬Q(x))

परिमाणक और तर्क: ¬∀x P(x) ≡ ∃x ¬P(x) और ¬∃x P(x) ≡ ∀x ¬P(x)। निषेध को भीतर ले जाएँ, उसके रास्ते में आने वाले हर परिमाणक को बदलें, और भीतरी सूत्र का निषेध प्रस्ताविक नियमों से करें, जैसे ¬(a → b) ≡ a ∧ ¬b। तर्क वैध होता है जब उन सभी पंक्तियों में निष्कर्ष 1 हो जिनमें सभी आधार-वाक्य 1 हों। सत्य आधार-वाक्यों और असत्य निष्कर्ष वाली एक भी पंक्ति प्रति-उदाहरण है और दिखाती है कि तर्क अवैध है।

निषेध को भीतर ले जाएँ

¬∃x (P(x) → Q(x)) ≡ ∀x (P(x) ∧ ¬Q(x))

उत्तर

∀x (P(x) ∧ ¬Q(x))

बाकी विकल्प या तो किसी परिमाणक को अपरिवर्तित रखते हैं, या परिमाणकों का क्रम बदल देते हैं, या भीतरी सूत्र का निषेध गलत करते हैं।

3.समुच्चय, संबंध और फलन

उत्तर: |(M − P) ∪ (P − M)| = 22

समुच्चय और वेन आरेख: A ∪ B में A या B (या दोनों) के अवयव होते हैं, A ∩ B में दोनों के अवयव, A − B में A के वे अवयव जो B में नहीं हैं, और पूरक A′ में U का वह सब कुछ जो A में नहीं है। वेन आरेख में हर समुच्चय व्यंजक क्षेत्रों का संघ होता है, इसलिए उसे क्षेत्र-दर-क्षेत्र गिनें। समावेश–अपवर्जन: |A ∪ B| = |A| + |B| − |A ∩ B|, और |A ∪ B ∪ C| = |A| + |B| + |C| − |A ∩ B| − |A ∩ C| − |B ∩ C| + |A ∩ B ∩ C|।

क्षेत्र

M ∩ P: 6

M − P: 19 − 6 = 13

P − M: 15 − 6 = 9

(M ∪ P)′: 35 − (13 + 9 + 6) = 7

उत्तर

|(M − P) ∪ (P − M)| = 22

उत्तर

|(M − P) ∪ (P − M)| = 22

4.समुच्चय, संबंध और फलन

उत्तर: N = 16

फलन और गिनती: फलन f: A → B, A के हर अवयव को B में ठीक एक प्रतिबिंब देता है। f एकैकी (इंजेक्टिव) होता है जब भिन्न अवयवों के प्रतिबिंब भिन्न हों, आच्छादक (सरजेक्टिव) जब B का हर अवयव किसी का प्रतिबिंब हो, और एकैकी आच्छादक (बाइजेक्टिव) जब दोनों हों। |A| = m और |B| = n के साथ nᵐ फलन होते हैं, n!/(n − m)! एकैकी फलन (m ≤ n), और समावेश–अपवर्जन से Σ (−1)ᵏ·C(n, k)·(n − k)ᵐ आच्छादक फलन। |𝒫(A)| = 2ᵐ और |A × B| = m·n।

गिनें

N = 4² = 16

उत्तर

N = 16

5.ग्राफ़ सिद्धांत

उत्तर: H = 2520

यूलर, हैमिल्टन और वृक्ष: संबद्ध ग्राफ़ में यूलर परिपथ (हर कोर एक बार, शुरुआत पर वापसी) तब होता है जब हर शीर्ष की घात सम हो, और परिपथ न होने वाला यूलर पथ तब जब ठीक दो शीर्षों की घात विषम हो; तब पथ एक विषम शीर्ष से दूसरे तक चलता है। हैमिल्टन परिपथ हर शीर्ष पर एक बार जाता है; K_n में ऐसे (n − 1)!/2 होते हैं। n शीर्षों वाले वृक्ष में n − 1 कोरें होती हैं, और m कोरों वाला संबद्ध ग्राफ़ m − n + 1 कोरें हटाने के बाद स्पैनिंग ट्री रखता है।

गिनें

H = (8 − 1)!/2 = 5040/2 = 2520

उत्तर

H = 2520

6.ग्राफ़ सिद्धांत

उत्तर: N = 4

घात: किसी शीर्ष की घात उससे मिलने वाली कोरों की संख्या है। हर कोर के दो सिरे होते हैं, इसलिए घातों का योग कोरों की संख्या का दोगुना होता है: Σ deg(v) = 2|E| (हैंडशेक लेमा)। अतः विषम घात वाले शीर्षों की संख्या सम होती है। K_n में n(n − 1)/2 कोरें होती हैं, n शीर्षों पर k-नियमित ग्राफ़ में nk/2, और n शीर्षों वाले वृक्ष में n − 1 कोरें।

संलग्नता आव्यूह

A: 0 1 1 0 0

B: 1 0 1 1 1

C: 1 1 0 0 1

D: 0 1 0 0 1

E: 0 1 1 1 0

उभयनिष्ठ पड़ोसी

(M²)_BB = 1·1 + 0·0 + 1·1 + 1·1 + 1·1 = 4

उत्तर

N = 4

7.संख्या सिद्धांत और मॉड्यूलर अंकगणित

उत्तर: x = 17

प्रतिलोम और सर्वांगसमताएँ: a का n के मापांक में प्रतिलोम ठीक तब होता है जब gcd(a, n) = 1। विस्तारित यूक्लिडीय एल्गोरिथ्म 1 = s·n + t·a लिखता है, और तब a⁻¹ ≡ t (mod n)। gcd(a, n) = 1 वाली सर्वांगसमता a·x ≡ b (mod n) का हल x ≡ a⁻¹·b है। सहअभाज्य मापांकों वाली दो सर्वांगसमताओं x ≡ r₁ (mod m₁) और x ≡ r₂ (mod m₂) का m₁·m₂ के मापांक में एक हल होता है (चीनी शेषफल प्रमेय)। यूलर का φ(n) 1 से n तक की उन संख्याओं को गिनता है जो n से सहअभाज्य हैं: φ(n) = n·∏(1 − 1/p)।

17 का प्रतिलोम

r = 22, t = 0

r = 17, q = 1, t = 1

r = 5, q = 3, t = −1

r = 2, q = 2, t = 4

r = 1, q = 2, t = −9

17⁻¹ ≡ 13 (mod 22)

हल करें

x ≡ 13·3 = 39 ≡ 17 (mod 22)

जाँच: 17·17 = 289 ≡ 3 (mod 22)

उत्तर

x = 17

8.संख्या सिद्धांत और मॉड्यूलर अंकगणित

उत्तर: x = 2

gcd से भाग दें

gcd(9, 24) = 3

3x ≡ 6 (mod 8)

घटी हुई सर्वांगसमता हल करें

3⁻¹ ≡ 3 (mod 8) → x ≡ 2 (mod 8)

24 के मापांक में हल

x ∈ {2, 10, 18}

x = 2

उत्तर

x = 2

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