गतिकी: क्रैम पैक

सूत्र-पत्रक, हर विषय के मुख्य विधि-चरण और 20 अभ्यास प्रश्न, पूरे हल पीछे दिए गए हैं।

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1सूत्र और विधियाँ

शुद्ध गतिकी

वेग: v = v₀ + a·t
विस्थापन: s = v₀·t + ½·a·t²
समय के बिना: v² = v₀² + 2·a·s
इकाइयाँ: 1 m/s = 3.6 km/h

विधि

जो ज्ञात है उसे सूचीबद्ध करें: v₀, v, a, t और s, इकाइयों सहित।
वह समीकरण चुनें जिसमें आपकी तीन ज्ञात राशियाँ और अज्ञात हो।
एक धनात्मक दिशा चुनें और विपरीत राशियों को ऋण चिह्न दें।
हल करें और जाँचें कि उत्तर भौतिक रूप से उचित है।

न्यूटन के नियम

द्वितीय नियम: ΣF = m·a
भार: W = m·g
गतिज घर्षण: F_f = μ·N
ढलान पर: ढलान के अनुदिश: m·g·sin θ, अभिलंब: m·g·cos θ

विधि

पिंड पर हर बल के साथ मुक्त-पिंड आरेख बनाएँ।
गति के अनुदिश एक धनात्मक दिशा चुनें।
बलों को गति के अनुदिश और उसके लंबवत घटकों में विभाजित करें (ढलान पर: अनुदिश m·g·sin θ, ढलान में m·g·cos θ)।
गति के अनुदिश ΣF = m·a लगाएँ; घर्षण गति के विरुद्ध μ·N है।

प्रक्षेप्य गति

घटक: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
स्थिति: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
अधिकतम ऊँचाई: H = h + v_y²/(2g)
परास (समतल भूमि): R = v₀²·sin 2θ/g

विधि

प्रक्षेपण वेग को घटकों में विभाजित करें: v_x = v₀·cos θ और v_y = v₀·sin θ।
क्षैतिज गति की चाल नियत होती है; ऊर्ध्वाधर गति का त्वरण −g होता है।
ऊर्ध्वाधर गति से उड़ान का समय ज्ञात करें।
परास ज्ञात करने के लिए उस समय का क्षैतिज गति में उपयोग करें।

वृत्तीय गति

अभिकेंद्र त्वरण: a = v²/r = ω²·r
अभिकेंद्र बल: F = m·v²/r
कोणीय चाल: ω = v/r = 2π/T
समतल मोड़, घर्षण: v_max = √(μ·g·r)

कार्य और ऊर्जा

गतिज ऊर्जा: E_k = ½mv²
स्थितिज ऊर्जा: E_p = mgh
ऊर्जा संतुलन: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
घर्षण का कार्य: W = μ·N·d
शक्ति: P = W/t

संवेग और टक्करें

संवेग: p = m·v
संरक्षण: Σm·v (before) = Σm·v (after)
पूर्णतः अप्रत्यास्थ: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
आवेग: J = F·Δt = m·Δv

विधि

एक धनात्मक दिशा चुनें और हर वेग को उसका चिह्न दें।
पहले का कुल संवेग लिखें: Σm·v।
पूर्णतः अप्रत्यास्थ टक्कर में पिंड बाद में साथ चलते हैं; प्रत्यास्थ टक्कर में गतिज ऊर्जा भी संरक्षित रहती है।
पहले के संवेग को बाद के संवेग के बराबर रखें और हल करें।

दृढ़-पिंड घूर्णन

G के परितः जड़त्व आघूर्ण: छड़ mL²/12, डिस्क ½mR², वलय mR², ठोस गोला (2/5)mR², खोखला गोला (2/3)mR²
समांतर अक्ष प्रमेय: I = I_G + m·d²
परिभ्रमण त्रिज्या: I = m·k²
सिरे के परितः छड़: I = mL²/3
गति का समीकरण: ΣM = I·α
rad/s में चाल: ω = 2π·n/60
गतिज ऊर्जा: E = ½·I·ω²
कार्य और शक्ति: W = T·θ, P = T·ω
बिना फिसले लुढ़कना: v = ω·r, E = ½mv²(1 + I/(mr²)), a = g·sin θ/(1 + I/(mr²))
कोणीय संवेग: L = I·ω, I₁ω₁ = I₂ω₂
धुरी के परितः टक्कर: m·v·d = I·ω

विधि

अक्ष चुनें: एक स्थिर धुरी, या लुढ़कते पिंडों के लिए द्रव्यमान केंद्र।
मानक परिणामों से उस अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण ज्ञात करें, खिसकी हुई अक्ष के लिए I = I_G + m·d² का उपयोग करते हुए।
विधि चुनें: त्वरणों और बलों के लिए ΣM = I·α, चालों के लिए ऊर्जा (½·I·ω² + ½·m·v² + m·g·h), टक्करों और अचानक परिवर्तनों के लिए कोणीय संवेग।
रैखिक और कोणीय गति को v = ω·r और a = α·r से जोड़ें, और rpm को rad/s में बदलें।

गियर और गियर ट्रेन

परस्पर जुड़े गियर: n₁·N₁ = n₂·N₂
बलाघूर्ण: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
शक्ति: P = T·ω, ω = 2π·n/60
संयुक्त गियर ट्रेन: कुल अनुपात = चरण अनुपातों का गुणनफल

स्प्रिंग और लोलक

स्प्रिंग पर द्रव्यमान: T = 2π·√(m/k)
लोलक: T = 2π·√(L/g)
कोणीय आवृत्ति: ω = √(k/m) = 2π/T
अधिकतम चाल और त्वरण: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
ऊर्जा: E = ½·k·A²

यांत्रिक कंपन

प्राकृतिक आवृत्ति: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
स्थैतिक विक्षेप से: ω_n = √(g/δ_st)
क्रांतिक अवमंदन: c_c = 2√(km) = 2mω_n
अवमंदन अनुपात: ζ = c/c_c
अवमंदित आवृत्ति: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
लघुगणकीय ह्रास: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
समांतर में स्प्रिंग: k = k₁ + k₂
श्रेणी में स्प्रिंग: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2अभ्यास प्रश्न

1.शुद्ध गतिकीमध्यम

45 km/h से चल रही एक कार रुकने तक 8 m/s² के नियत मंदन से ब्रेक लगाती है। ब्रेकिंग दूरी s ज्ञात कीजिए।

v₀ = 45 km/ha = −8 m/s²v = 0

s = m

2.शुद्ध गतिकीकठिन

गेंद A को 35 m की ऊँचाई से विराम से गिराया जाता है। उसी क्षण गेंद B को ठीक नीचे ज़मीन से 17 m/s से सीधे ऊपर फेंका जाता है। वायु प्रतिरोध को नगण्य मानें और g = 9.81 m/s² लें। गेंदें कब मिलती हैं? t ज्ञात कीजिए।

H = 35 mv_0B = 17 m/sg = 9.81 m/s²

t = s

3.न्यूटन के नियममध्यम

2 kg का एक गुटका क्षैतिज से 20° पर झुकी ढलान पर नीचे फिसलता है। गतिज घर्षण गुणांक 0.1 है। g = 9.81 m/s² लें। ढलान के अनुदिश गुटके का त्वरण a ज्ञात कीजिए।

m = 2 kgθ = 20°μ = 0.1g = 9.81 m/s²

a = m/s²

4.न्यूटन के नियमकठिन

क्षैतिज मेज़ पर रखा 4 kg का एक गुटका एक हल्की डोरी द्वारा, जो घर्षणरहित घिरनी के ऊपर से जाती है, 6 kg के लटकते द्रव्यमान से जुड़ा है। गुटके और मेज़ के बीच गतिज घर्षण गुणांक 0.1 है। g = 9.81 m/s² लें। डोरी में तनाव T ज्ञात कीजिए।

m₁ = 4 kgm₂ = 6 kgμ = 0.1g = 9.81 m/s²

T = N

5.प्रक्षेप्य गतिमध्यम

समतल ज़मीन से एक गेंद को 40 m/s से क्षैतिज से 25° ऊपर 75 m दूर एक दीवार की ओर किक मारी जाती है। वायु प्रतिरोध को नगण्य मानें और g = 9.81 m/s² लें। गेंद किस ऊँचाई y पर दीवार से गुज़रती है?

v₀ = 40 m/sθ = 25°x = 75 mg = 9.81 m/s²

y = m

6.प्रक्षेप्य गतिकठिन

ज़मीन के स्तर से एक गेंद 31 m/s से क्षैतिज से 35° ऊपर फेंकी जाती है। यह नीचे आते समय 5 m ऊँची इमारत की समतल छत पर गिरती है। वायु प्रतिरोध को नगण्य मानें और g = 9.81 m/s² लें। प्रक्षेपण बिंदु से गिरने के स्थान तक क्षैतिज दूरी x ज्ञात कीजिए।

v₀ = 31 m/sθ = 35°h_roof = 5 mg = 9.81 m/s²

x = m

7.वृत्तीय गतिमध्यम

एक कार 45 m त्रिज्या वाला समतल मोड़ लेती है। टायरों और सड़क के बीच स्थैतिक घर्षण गुणांक 0.3 है। g = 9.81 m/s² लें। वह अधिकतम चाल v_max ज्ञात कीजिए जिस पर कार बिना फिसले मोड़ ले सकती है।

r = 45 mμ_s = 0.3g = 9.81 m/s²

v_max = m/s

8.वृत्तीय गतिकठिन

एक 2 kg गाड़ी घर्षणरहित ट्रैक पर 22.55 m की ऊँचाई पर विराम से छोड़ी जाती है और 5.5 m त्रिज्या वाले ऊर्ध्वाधर लूप से गुज़रती है। g = 9.81 m/s² लें। लूप के शीर्ष पर ट्रैक द्वारा गाड़ी पर अभिलंब बल N_top ज्ञात कीजिए।

m = 2 kgh = 22.55 mR = 5.5 mg = 9.81 m/s²

N_top = N

9.कार्य और ऊर्जामध्यम

एक 1 kg गेंद 0.8 m लंबी हल्की डोरी पर लटकी है। उसे तब तक एक ओर खींचा जाता है जब तक डोरी ऊर्ध्वाधर से 45° न बना ले, और विराम से छोड़ा जाता है। जब गेंद निम्नतम बिंदु से गुज़रती है तब डोरी में तनाव T ज्ञात कीजिए।

m = 1 kgL = 0.8 mθ = 45°g = 9.81 m/s²

T = N

10.कार्य और ऊर्जाकठिन

एक 1 kg गाड़ी 9.6 m की ऊँचाई पर विराम से एक चिकने ट्रैक पर छोड़ी जाती है जो 3 m त्रिज्या वाले ऊर्ध्वाधर वृत्ताकार लूप में जाता है। लूप के शीर्ष पर ट्रैक द्वारा गाड़ी पर लगाया गया अभिलंब बल N ज्ञात कीजिए।

m = 1 kgh = 9.6 mR = 3 mg = 9.81 m/s²

N = N

11.संवेग और टक्करेंमध्यम

9 m/s से चल रहा 3 kg का एक ग्लाइडर घर्षणरहित पटरी पर विरामावस्था में रखे 2.5 kg के ग्लाइडर से पूर्णतः प्रत्यास्थ आमने-सामने टक्कर करता है। टक्कर के बाद पहले ग्लाइडर का वेग v′₁ ज्ञात कीजिए (उसकी मूल दिशा में धनात्मक)।

m₁ = 3 kgm₂ = 2.5 kgv₁ = 9 m/sv₂ = 0

v′₁ = m/s

12.संवेग और टक्करेंकठिन

0.1 kg की एक गेंद 27 m/s से दीवार से टकराती है और 6 m/s से सीधे वापस लौटती है। संपर्क 20 ms तक रहता है। दीवार द्वारा गेंद को दिए गए आवेग का परिमाण J ज्ञात कीजिए।

m = 0.1 kgv_in = 27 m/sv_out = 6 m/sΔt = 20 ms

J = N·s

13.दृढ़-पिंड घूर्णनमध्यम

16.5 kg द्रव्यमान और 1.1 m लंबाई वाली एक एकसमान पतली छड़ एक सिरे पर पिन से जुड़ी है और क्षैतिज रखी गई है। इसे विराम से छोड़ा जाता है। g = 9.81 m/s² लें। छोड़ने के ठीक बाद इसका कोणीय त्वरण α ज्ञात कीजिए।

m = 16.5 kgL = 1.1 mg = 9.81 m/s²

α = rad/s²

14.दृढ़-पिंड घूर्णनकठिन

एक एकसमान ठोस डिस्क (द्रव्यमान 39 kg, त्रिज्या 0.45 m) एक ऊर्ध्वाधर घर्षणरहित शाफ़्ट के परितः 600 rpm पर मुक्त रूप से घूमती है। 5 kg द्रव्यमान और समान त्रिज्या का एक पतला वलय शाफ़्ट पर केंद्रित करके विराम से उस पर गिराया जाता है, और दोनों जल्दी ही साथ घूमने लगते हैं। इस प्रक्रिया में कितनी गतिज ऊर्जा ΔE नष्ट होती है?

M_disc = 39 kgM_ring = 5 kgR = 0.45 mn₁ = 600 rpm

ΔE = J

15.गियर और गियर ट्रेनमध्यम

1440 rpm पर चल रही एक 15 kW मोटर 20 दाँतों वाले पिनियन को चलाती है, जो 36 दाँतों वाले गियर से जुड़ा है। गियर युग्म की दक्षता 98% है। मोटर शाफ़्ट पर बलाघूर्ण T₁ ज्ञात कीजिए।

P = 15 kWn₁ = 1440 rpmN₁ = 20N₂ = 36η = 98%

T₁ = N·m

16.गियर और गियर ट्रेनकठिन

एक संयुक्त गियर ट्रेन में, 1440 rpm पर घूम रहे निवेश शाफ़्ट पर लगा गियर A (24 दाँत) गियर B (32 दाँत) को चलाता है। गियर C (32 दाँत) B वाले शाफ़्ट पर ही लगा है और निर्गत शाफ़्ट पर लगे गियर D (36 दाँत) को चलाता है। निर्गत चाल n_out ज्ञात कीजिए।

n_in = 1440 rpmA = 24B = 32C = 32D = 36

n_out = rpm

17.स्प्रिंग और लोलकमध्यम

k = 310 N/m वाले स्प्रिंग पर एक 3.3 kg द्रव्यमान को धनात्मक दिशा में 5 cm खींचकर t = 0 पर विराम से छोड़ा जाता है। t = 0.05 s पर उसका वेग v (चिह्न सहित) ज्ञात कीजिए।

m = 3.3 kgk = 310 N/mA = 5 cmt = 0.05 s

v = m/s

18.स्प्रिंग और लोलककठिन

k = 70 N/m वाले एक बिना खिंचे ऊर्ध्वाधर स्प्रिंग के निचले सिरे पर एक 2.1 kg द्रव्यमान जोड़कर विराम से छोड़ा जाता है। g = 9.81 m/s² लें। द्रव्यमान की अधिकतम चाल v_max ज्ञात कीजिए।

m = 2.1 kgk = 70 N/mg = 9.81 m/s²

v_max = m/s

19.यांत्रिक कंपनमध्यम

एक 10 kg द्रव्यमान 50 kN/m दृढ़ता वाले स्प्रिंग और 110 N·s/m अवमंदन गुणांक वाले श्यान अवमंदक पर टिका है। अवमंदन अनुपात ζ ज्ञात कीजिए।

m = 10 kgk = 50 kN/mc = 110 N·s/m

ζ =

20.यांत्रिक कंपनकठिन

एक 10 kg द्रव्यमान सिरे-से-सिरे जुड़े (श्रेणी में) दो स्प्रिंगों से लटका है: ऊपरी स्प्रिंग k₁ = 30 kN/m और निचला k₂ = 100 kN/m है। अवमंदन और स्प्रिंगों के द्रव्यमान की उपेक्षा करें। ऊर्ध्वाधर कंपन की प्राकृतिक आवृत्ति f_n Hz में ज्ञात कीजिए।

m = 10 kgk₁ = 30 kN/mk₂ = 100 kN/m

f_n = Hz

3विलयन

1.शुद्ध गतिकी

उत्तर: s = 9.766 m

नियत त्वरण वाली गति: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² और v² = v₀² + 2·a·s। वह समीकरण चुनें जिसमें आपकी तीन ज्ञात राशियाँ और एक वांछित राशि हो, और एक धनात्मक दिशा के अनुसार चिह्न एकसमान रखें।

इकाइयाँ

v₀ = 45/3.6 = 12.5 m/s

ब्रेकिंग दूरी

0 = v₀² − 2·a·s → s = v₀²/(2a) = 12.5²/(2·8) = 9.766 m

उत्तर

s = 9.766 m

2.शुद्ध गतिकी

उत्तर: t = 2.059 s

Motion with constant acceleration: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² and v² = v₀² + 2·a·s. Pick the equation that contains the three things you know and the one you want, and keep the signs consistent with one positive direction.

मिलने का समय

ऊपर धनात्मक है, ज़मीन y = 0 है।

35 − ½g·t² = 17·t − ½g·t² → t = 35/17 = 2.059 s

उत्तर

t = 2.059 s

3.न्यूटन के नियम

उत्तर: a = 2.433 m/s²

न्यूटन का द्वितीय नियम: किसी पिंड पर नेट बल उसके द्रव्यमान और त्वरण के गुणनफल के बराबर होता है, ΣF = m·a। एक मुक्त-पिंड आरेख बनाएँ, गति की दिशा में एक धनात्मक दिशा चुनें, और उस दिशा में सभी बल जोड़ें: लगाए गए बल, गति के विरुद्ध घर्षण μ·N, और गुरुत्व के घटक।

ढलान के अनुदिश बल

ढलान से नीचे की दिशा धनात्मक है।

m·a = m·g·sin θ − μ·m·g·cos θ

त्वरण

a = 9.81·(sin 20° − 0.1·cos 20°) = 9.81·(0.342 − 0.09397) = 2.433 m/s²

उत्तर

a = 2.433 m/s²

4.न्यूटन के नियम

उत्तर: T = 25.9 N

निकाय का त्वरण

a = (m₂·g − μ·m₁·g)/(m₁ + m₂) = (58.86 − 3.924)/10 = 5.494 m/s²

मेज़ पर रखे गुटके से तनाव

T − μ·m₁·g = m₁·a

T = 4·5.494 + 3.924 = 25.9 N

उत्तर

T = 25.9 N

5.प्रक्षेप्य गति

उत्तर: y = 13.98 m

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

दीवार तक समय

v_x = 40·cos 25° = 36.25 m/s

t = x/v_x = 75/36.25 = 2.069 s

उस समय ऊँचाई

y = 16.9·2.069 − ½·9.81·2.069² = 13.98 m

उत्तर

y = 13.98 m

दीवार पर गेंद पहले से नीचे आ रही है।

6.प्रक्षेप्य गति

उत्तर: x = 84.25 m

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

प्रक्षेपण वेग को विभाजित करें

v_x = 25.39 m/s, v_y = 17.78 m/s

छत पर गिरने का समय

बड़ा मूल: गेंद नीचे आ रही है।

5 = 17.78·t − 4.905·t²

t = (17.78 + √(17.78² − 2·9.81·5))/9.81 = 3.318 s

क्षैतिज दूरी

x = v_x·t = 25.39·3.318 = 84.25 m

उत्तर

x = 84.25 m

7.वृत्तीय गति

उत्तर: v_max = 11.51 m/s

एकसमान वृत्तीय गति: r त्रिज्या के वृत्त पर v चाल से चलती वस्तु केंद्र की ओर a = v²/r से त्वरित होती है, इसलिए उसे भीतर की ओर नेट बल F = m·v²/r चाहिए। यह बल किसी वास्तविक स्रोत से आता है: घर्षण, तनाव, गुरुत्व या अभिलंब बल।

घर्षण अभिकेंद्र बल प्रदान करता है

m·v²/r = μ·m·g

v = √(μ·g·r) = √(0.3·9.81·45) = 11.51 m/s

उत्तर

v_max = 11.51 m/s (41.43 km/h)

8.वृत्तीय गति

उत्तर: N_top = 62.78 N

Uniform circular motion: an object moving at speed v on a circle of radius r accelerates towards the centre with a = v²/r, so it needs a net inward force F = m·v²/r. That force is supplied by something real: friction, tension, gravity or a normal force.

ऊर्जा संरक्षण से चाल

v² = 2·9.81·(22.55 − 2·5.5) = 226.6 m²/s²

बल

केंद्र की ओर धनात्मक है।

N = m·v²/R − m·g = 2·226.6/5.5 − 19.62 = 62.78 N

उत्तर

N_top = 62.78 N

9.कार्य और ऊर्जा

उत्तर: T = 15.56 N

कार्य–ऊर्जा सिद्धांत: गतिज ऊर्जा में परिवर्तन सभी बलों द्वारा किए गए कार्य के बराबर है। गुरुत्व और स्प्रिंग को स्थितिज ऊर्जा (mgh और ½kx²) के रूप में लिखने से यह एक संतुलन बन जाता है: प्रारंभिक ऊर्जा = अंतिम ऊर्जा + घर्षण में खोई ऊर्जा (μN·d)। वृत्तीय पथ पर केंद्र की ओर नेट बल mv²/r के बराबर होना चाहिए।

तल पर चाल

v² = 2gL(1 − cos θ) = 2·9.81·0.8·(1 − cos 45°) = 4.597 m²/s²

तल पर बल

m·g = 1·9.81 = 9.81 N

T = mg + mv²/L = 9.81 + 1·4.597/0.8 = 15.56 N

उत्तर

T = 15.56 N

जाँच: T = mg(3 − 2cos θ) = 15.56 N।

10.कार्य और ऊर्जा

उत्तर: N = 13.73 N

शीर्ष पर चाल

v² = 2g(h − 2R) = 2·9.81·(9.6 − 6) = 70.63 m²/s²

शीर्ष पर बल

m·g = 1·9.81 = 9.81 N

N = mv²/R − mg = 1·70.63/3 − 9.81 = 13.73 N

उत्तर

N = 13.73 N

गाड़ी ठीक तब लूप पूरा करती है जब h = 2.5R; तब शीर्ष पर N = 0।

11.संवेग और टक्करें

उत्तर: v′₁ = 0.8182 m/s

संवेग संरक्षण: जब टक्कर के दौरान कोई बाह्य बल कार्य नहीं करता, तो पहले का कुल संवेग Σm·v बाद के कुल संवेग के बराबर होता है। वेगों की दिशा होती है, इसलिए एक धनात्मक दिशा चुनें और विपरीत दिशा के वेगों को ऋण चिह्न दें। प्रत्यास्थ टक्कर में गतिज ऊर्जा भी संरक्षित रहती है; पूर्णतः अप्रत्यास्थ टक्कर में पिंड आपस में चिपक जाते हैं।

विरामावस्था वाले लक्ष्य से प्रत्यास्थ टक्कर

संवेग और ऊर्जा संरक्षण को साथ हल करने पर ये दो परिणाम मिलते हैं।

v′₁ = (3 − 2.5)/(3 + 2.5)·9 = 0.8182 m/s

v′₂ = 2·3/(3 + 2.5)·9 = 9.818 m/s

उत्तर

v′₁ = 0.8182 m/s

12.संवेग और टक्करें

उत्तर: J = 3.3 N·s

संवेग में परिवर्तन

J = m·Δv = 0.1·(6 + 27) = 3.3 N·s

उत्तर

J = 3.3 N·s

13.दृढ़-पिंड घूर्णन

उत्तर: α = 13.38 rad/s²

Rotation about a fixed axis: the sum of the moments about the axis equals I·α (ΣM = I·α), just as ΣF = m·a for translation. In energy form, a torque T turning through an angle θ (in radians) does work T·θ, which changes the kinetic energy ½·I·ω²; gravity adds or removes m·g·Δh of the centre of mass. Power is P = T·ω.

पिन के परितः आघूर्ण

छोड़ने के क्षण ω = 0, इसलिए कोई अभिकेंद्र त्वरण नहीं है और केंद्र सीधे नीचे की ओर त्वरित होता है।

m·g·L/2 = (m·L²/3)·α → α = 3g/(2L) = 3·9.81/(2·1.1) = 13.38 rad/s²

उत्तर

α = 13.38 rad/s²

14.दृढ़-पिंड घूर्णन

उत्तर: ΔE = 1591 J

Rolling and angular momentum: a body rolling without slipping has v = ω·r, so its kinetic energy is ½·m·v² + ½·I·ω² = ½·m·v²·(1 + I/(m·r²)). Down a slope that gives a = g·sin θ/(1 + I/(m·r²)). When no external moment acts about an axis, the angular momentum about that axis stays constant, I₁·ω₁ = I₂·ω₂, even if kinetic energy is lost.

जड़त्व आघूर्ण

I₁ = ½·39·0.45² = 3.949 kg·m²

I₂ = 5·0.45² = 1.012 kg·m²

कोणीय संवेग संरक्षण

n₂ = n₁·I₁/(I₁ + I₂) = 600·3.949/4.961 = 477.6 rpm

पहले और बाद की गतिज ऊर्जा

E₁ = ½·3.949·62.83² = 7795 J

E₂ = ½·4.961·50.01² = 6204 J

ΔE = 7795 − 6204 = 1591 J

उत्तर

ΔE = 1591 J

15.गियर और गियर ट्रेन

उत्तर: T₁ = 99.47 N·m

गियर ट्रेन: परस्पर जुड़े गियरों के दाँतों पर चाल समान होती है, इसलिए n₁·N₁ = n₂·N₂: कम दाँतों वाला गियर तेज़ घूमता है। एक ही शाफ़्ट पर लगे गियर समान चाल से घूमते हैं। शक्ति आगे पहुँचती है (हानियों को घटाकर), इसलिए चाल घटने पर बलाघूर्ण बढ़ता है: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, और P = T·ω, जहाँ ω = 2π·n/60।

मोटर बलाघूर्ण

ω₁ = 2π·1440/60 = 150.8 rad/s

T₁ = P/ω₁ = 15000/150.8 = 99.47 N·m

उत्तर

T₁ = 99.47 N·m

16.गियर और गियर ट्रेन

उत्तर: n_out = 960 rpm

पहला चरण

n_B = 1440·24/32 = 1080 rpm = n_C

दूसरा चरण

n_out = 1080·32/36 = 960 rpm

उत्तर

n_out = 960 rpm

कुल अनुपात = 1.5 : 1

17.स्प्रिंग और लोलक

उत्तर: v = −0.2258 m/s

Simple harmonic motion: a mass m on a spring of stiffness k oscillates with angular frequency ω = √(k/m) and period T = 2π/ω = 2π·√(m/k). A simple pendulum of length L has T = 2π·√(L/g). With amplitude A, the largest speed is A·ω, the largest acceleration A·ω² and the energy ½·k·A².

कोणीय आवृत्ति

ω = √(310/3.3) = 9.692 rad/s

ω·t = 9.692·0.05 = 0.4846 rad

वेग

v = −A·ω·sin(ω·t) = −0.05·9.692·sin(0.4846) = −0.2258 m/s

उत्तर

v = −0.2258 m/s

18.स्प्रिंग और लोलक

उत्तर: v_max = 1.699 m/s

संतुलन और आयाम

x₀ = m·g/k = 2.1·9.81/70 = 0.2943 m = A

अधिकतम चाल

चाल संतुलन पर सबसे अधिक होती है।

ω = √(70/2.1) = 5.774 rad/s

v_max = A·ω = 0.2943·5.774 = 1.699 m/s

उत्तर

v_max = 1.699 m/s

19.यांत्रिक कंपन

उत्तर: ζ = 0.07778

द्रव्यमान–स्प्रिंग तंत्र का मुक्त कंपन: अनवमंदित प्राकृतिक आवृत्ति rad/s में ω_n = √(k/m) है, और Hz में f_n = ω_n/(2π)। एक श्यान अवमंदक c अवमंदन अनुपात ζ = c/c_c देता है, जहाँ क्रांतिक अवमंदन c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n। अल्प-अवमंदित तंत्र (ζ < 1) ω_d = ω_n·√(1 − ζ²) पर दोलन करता है। समांतर में स्प्रिंग जुड़ते हैं, k = k₁ + k₂; श्रेणी में स्प्रिंग व्युत्क्रम के रूप में जुड़ते हैं, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂।

क्रांतिक अवमंदन

c_c = 2·√(k·m) = 2·√(50000·10) = 1414 N·s/m

अवमंदन अनुपात

ζ = c/c_c = 110/1414 = 0.07778

उत्तर

ζ = 0.07778

ζ < 1, इसलिए तंत्र अल्प-अवमंदित है और क्षीण होते हुए दोलन करता है।

20.यांत्रिक कंपन

उत्तर: f_n = 7.646 Hz

तुल्य दृढ़ता

श्रेणी में स्प्रिंग समान बल साझा करते हैं और उनके विक्षेप जुड़ते हैं, इसलिए वे व्युत्क्रम के रूप में मिलते हैं: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂।

1/k_eq = 1/30 + 1/100 → k_eq = 30·100/(30 + 100) = 23.08 kN/m

प्राकृतिक आवृत्ति

ω_n = √(23077/10) = 48.04 rad/s

f_n = 48.04/(2π) = 7.646 Hz

उत्तर

f_n = 7.646 Hz

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