गतिकी: क्रैम पैक

सूत्र-पत्रक, हर विषय के मुख्य विधि-चरण और 20 अभ्यास प्रश्न, पूरे हल पीछे दिए गए हैं।

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1सूत्र और विधियाँ

शुद्ध गतिकी

वेग: v = v₀ + a·t
विस्थापन: s = v₀·t + ½·a·t²
समय के बिना: v² = v₀² + 2·a·s
इकाइयाँ: 1 m/s = 3.6 km/h

विधि

जो ज्ञात है उसे सूचीबद्ध करें: v₀, v, a, t और s, इकाइयों सहित।
वह समीकरण चुनें जिसमें आपकी तीन ज्ञात राशियाँ और अज्ञात हो।
एक धनात्मक दिशा चुनें और विपरीत राशियों को ऋण चिह्न दें।
हल करें और जाँचें कि उत्तर भौतिक रूप से उचित है।

न्यूटन के नियम

द्वितीय नियम: ΣF = m·a
भार: W = m·g
गतिज घर्षण: F_f = μ·N
ढलान पर: ढलान के अनुदिश: m·g·sin θ, अभिलंब: m·g·cos θ

विधि

पिंड पर हर बल के साथ मुक्त-पिंड आरेख बनाएँ।
गति के अनुदिश एक धनात्मक दिशा चुनें।
बलों को गति के अनुदिश और उसके लंबवत घटकों में विभाजित करें (ढलान पर: अनुदिश m·g·sin θ, ढलान में m·g·cos θ)।
गति के अनुदिश ΣF = m·a लगाएँ; घर्षण गति के विरुद्ध μ·N है।

प्रक्षेप्य गति

घटक: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
स्थिति: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
अधिकतम ऊँचाई: H = h + v_y²/(2g)
परास (समतल भूमि): R = v₀²·sin 2θ/g

विधि

प्रक्षेपण वेग को घटकों में विभाजित करें: v_x = v₀·cos θ और v_y = v₀·sin θ।
क्षैतिज गति की चाल नियत होती है; ऊर्ध्वाधर गति का त्वरण −g होता है।
ऊर्ध्वाधर गति से उड़ान का समय ज्ञात करें।
परास ज्ञात करने के लिए उस समय का क्षैतिज गति में उपयोग करें।

वृत्तीय गति

अभिकेंद्र त्वरण: a = v²/r = ω²·r
अभिकेंद्र बल: F = m·v²/r
कोणीय चाल: ω = v/r = 2π/T
समतल मोड़, घर्षण: v_max = √(μ·g·r)

कार्य और ऊर्जा

गतिज ऊर्जा: E_k = ½mv²
स्थितिज ऊर्जा: E_p = mgh
ऊर्जा संतुलन: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
घर्षण का कार्य: W = μ·N·d
शक्ति: P = W/t

संवेग और टक्करें

संवेग: p = m·v
संरक्षण: Σm·v (before) = Σm·v (after)
पूर्णतः अप्रत्यास्थ: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
आवेग: J = F·Δt = m·Δv

विधि

एक धनात्मक दिशा चुनें और हर वेग को उसका चिह्न दें।
पहले का कुल संवेग लिखें: Σm·v।
पूर्णतः अप्रत्यास्थ टक्कर में पिंड बाद में साथ चलते हैं; प्रत्यास्थ टक्कर में गतिज ऊर्जा भी संरक्षित रहती है।
पहले के संवेग को बाद के संवेग के बराबर रखें और हल करें।

दृढ़-पिंड घूर्णन

G के परितः जड़त्व आघूर्ण: छड़ mL²/12, डिस्क ½mR², वलय mR², ठोस गोला (2/5)mR², खोखला गोला (2/3)mR²
समांतर अक्ष प्रमेय: I = I_G + m·d²
परिभ्रमण त्रिज्या: I = m·k²
सिरे के परितः छड़: I = mL²/3
गति का समीकरण: ΣM = I·α
rad/s में चाल: ω = 2π·n/60
गतिज ऊर्जा: E = ½·I·ω²
कार्य और शक्ति: W = T·θ, P = T·ω
बिना फिसले लुढ़कना: v = ω·r, E = ½mv²(1 + I/(mr²)), a = g·sin θ/(1 + I/(mr²))
कोणीय संवेग: L = I·ω, I₁ω₁ = I₂ω₂
धुरी के परितः टक्कर: m·v·d = I·ω

विधि

अक्ष चुनें: एक स्थिर धुरी, या लुढ़कते पिंडों के लिए द्रव्यमान केंद्र।
मानक परिणामों से उस अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण ज्ञात करें, खिसकी हुई अक्ष के लिए I = I_G + m·d² का उपयोग करते हुए।
विधि चुनें: त्वरणों और बलों के लिए ΣM = I·α, चालों के लिए ऊर्जा (½·I·ω² + ½·m·v² + m·g·h), टक्करों और अचानक परिवर्तनों के लिए कोणीय संवेग।
रैखिक और कोणीय गति को v = ω·r और a = α·r से जोड़ें, और rpm को rad/s में बदलें।

गियर और गियर ट्रेन

परस्पर जुड़े गियर: n₁·N₁ = n₂·N₂
बलाघूर्ण: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
शक्ति: P = T·ω, ω = 2π·n/60
संयुक्त गियर ट्रेन: कुल अनुपात = चरण अनुपातों का गुणनफल

स्प्रिंग और लोलक

स्प्रिंग पर द्रव्यमान: T = 2π·√(m/k)
लोलक: T = 2π·√(L/g)
कोणीय आवृत्ति: ω = √(k/m) = 2π/T
अधिकतम चाल और त्वरण: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
ऊर्जा: E = ½·k·A²

यांत्रिक कंपन

प्राकृतिक आवृत्ति: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
स्थैतिक विक्षेप से: ω_n = √(g/δ_st)
क्रांतिक अवमंदन: c_c = 2√(km) = 2mω_n
अवमंदन अनुपात: ζ = c/c_c
अवमंदित आवृत्ति: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
लघुगणकीय ह्रास: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
समांतर में स्प्रिंग: k = k₁ + k₂
श्रेणी में स्प्रिंग: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2अभ्यास प्रश्न

1.शुद्ध गतिकीमध्यम

50 km/h से चल रही एक चालक एक बाधा देखती है। उसका प्रतिक्रिया समय 1.5 s है, जिसके बाद कार 7 m/s² के स्थिर मंदन से ब्रेक लगाती है। बाधा देखने के क्षण से कुल रुकने की दूरी d ज्ञात कीजिए।

v₀ = 50 km/ht_r = 1.5 sa = −7 m/s²

d = m

2.शुद्ध गतिकीकठिन

एक पत्थर कुएँ में विराम से गिराया जाता है। पत्थर छोड़ने के 4.6 s बाद छपाक की आवाज़ सुनाई देती है। ध्वनि की चाल 343 m/s है; वायु प्रतिरोध को नगण्य मानें और g = 9.81 m/s² लें। कुएँ की गहराई d ज्ञात कीजिए।

t_total = 4.6 sv_sound = 343 m/sg = 9.81 m/s²

d = m

3.न्यूटन के नियममध्यम

8 kg और 3 kg के द्रव्यमान एक हल्की, घर्षणरहित घिरनी के दोनों ओर लटके हैं, एक हल्की डोरी से जुड़े। तंत्र को विराम से छोड़ा जाता है। g = 9.81 m/s² लें। द्रव्यमानों का त्वरण a ज्ञात कीजिए।

m₁ = 8 kgm₂ = 3 kgg = 9.81 m/s²

a = m/s²

4.न्यूटन के नियमकठिन

40° पर झुके रैंप पर एक 6 kg गुटका रैंप के शीर्ष पर एक घर्षणरहित घिरनी के ऊपर से हल्की डोरी द्वारा एक लटकते 8.5 kg द्रव्यमान से जुड़ा है। लटकता द्रव्यमान नीचे चलता है। गुटके और रैंप के बीच गतिज घर्षण गुणांक 0.1 है। g = 9.81 m/s² लें। डोरी में तनाव T ज्ञात कीजिए।

m₁ = 6 kgm₂ = 8.5 kgθ = 40°μ = 0.1g = 9.81 m/s²

T = N

5.प्रक्षेप्य गतिमध्यम

एक गेंद समतल ज़मीन से क्षैतिज से 50° ऊपर फेंकी जाती है। वायु प्रतिरोध नगण्य मानें। गेंद द्वारा प्राप्त अधिकतम ऊँचाई H ज्ञात कीजिए।

v₀ = 36 m/sθ = 50°g = 9.81 m/s²

H = m

6.प्रक्षेप्य गतिकठिन

एक गेंद 60 m ऊँची चट्टान के शीर्ष से क्षैतिज से 30° ऊपर फेंकी जाती है। वायु प्रतिरोध नगण्य मानें। गेंद के ज़मीन से टकराने से पहले तय की गई क्षैतिज दूरी x ज्ञात कीजिए।

v₀ = 21 m/sθ = 30°h = 60 mg = 9.81 m/s²

x = m

7.वृत्तीय गतिमध्यम

एक कार 75 m त्रिज्या वाला समतल मोड़ लेती है। टायरों और सड़क के बीच स्थैतिक घर्षण गुणांक 0.4 है। g = 9.81 m/s² लें। वह अधिकतम चाल v_max ज्ञात कीजिए जिस पर कार बिना फिसले मोड़ ले सकती है।

r = 75 mμ_s = 0.4g = 9.81 m/s²

v_max = m/s

8.वृत्तीय गतिकठिन

1.2 m लंबी डोरी से बँधी 0.6 kg की एक गेंद ऊर्ध्वाधर वृत्त में घुमाई जाती है। निम्नतम बिंदु पर वह 5 m/s से चलती है। g = 9.81 m/s² लें। निम्नतम बिंदु पर डोरी में तनाव T ज्ञात कीजिए।

m = 0.6 kgr = 1.2 mv = 5 m/sg = 9.81 m/s²

T = N

9.कार्य और ऊर्जामध्यम

5 kg का एक गुटका क्षैतिज से 45° पर झुकी ढलान पर 16 m फिसलता है, गतिज घर्षण गुणांक 0.1 है। घर्षण के विरुद्ध किया गया कार्य W_f ज्ञात कीजिए।

m = 5 kgθ = 45°μ = 0.1d = 16 mg = 9.81 m/s²

W_f = J

10.कार्य और ऊर्जाकठिन

10 kg का एक गुटका चिकने रैम्प पर 3.5 m ऊँचाई से विराम से छोड़ा जाता है। नीचे वह 3 m लंबी खुरदरी क्षैतिज पट्टी (μ = 0.25) पार करता है और फिर चिकनी सतह पर एक स्प्रिंग (k = 2000 N/m) से टकराता है। स्प्रिंग का अधिकतम संपीडन x ज्ञात कीजिए।

m = 10 kgh = 3.5 mL = 3 mμ = 0.25k = 2000 N/mg = 9.81 m/s²

x = cm

11.संवेग और टक्करेंमध्यम

11 m/s से चल रहा 1.5 kg का एक ग्लाइडर घर्षणरहित पटरी पर विरामावस्था में रखे 3 kg के ग्लाइडर से पूर्णतः प्रत्यास्थ आमने-सामने टक्कर करता है। टक्कर के बाद पहले ग्लाइडर का वेग v′₁ ज्ञात कीजिए (उसकी मूल दिशा में धनात्मक)।

m₁ = 1.5 kgm₂ = 3 kgv₁ = 11 m/sv₂ = 0

v′₁ = m/s

12.संवेग और टक्करेंकठिन

0.45 kg की एक गेंद 24 m/s से दीवार से टकराती है और 4 m/s से सीधे वापस लौटती है। संपर्क 50 ms तक रहता है। दीवार द्वारा गेंद को दिए गए आवेग का परिमाण J ज्ञात कीजिए।

m = 0.45 kgv_in = 24 m/sv_out = 4 m/sΔt = 50 ms

J = N·s

13.दृढ़-पिंड घूर्णनमध्यम

एक 2.5 kg गुटका एक घिरनी पर लिपटी हल्की डोरी से लटका है; घिरनी 5.5 kg द्रव्यमान और 0.5 m त्रिज्या की एकसमान ठोस डिस्क है जो एक घर्षणरहित क्षैतिज धुरे पर घूमती है। गुटके को विराम से छोड़ा जाता है। g = 9.81 m/s² लें। घिरनी का कोणीय त्वरण α ज्ञात कीजिए।

m = 2.5 kgM = 5.5 kgR = 0.5 mg = 9.81 m/s²

α = rad/s²

14.दृढ़-पिंड घूर्णनकठिन

एक ठोस बेलन विराम से शुरू होकर क्षैतिज से 30° पर झुकी ढलान पर बिना फिसले नीचे लुढ़कता है। g = 9.81 m/s² लें। ढलान के साथ 9 m लुढ़कने के बाद इसकी चाल v ज्ञात कीजिए।

θ = 30°s = 9 mI = ½·m·r²g = 9.81 m/s²

v = m/s

15.गियर और गियर ट्रेनमध्यम

दो समांतर शाफ़्ट 54 mm दूर हैं। इन्हें 1.5 mm मॉड्यूल और 3 : 1 चाल अपचयन वाले स्पर गियरों की एक जोड़ी से जोड़ना है। गियर में कितने दाँत N₂ होने चाहिए?

a = 54 mmm = 1.5 mmi = 3

N₂ =

16.गियर और गियर ट्रेनकठिन

एक संयुक्त गियर ट्रेन में निवेश शाफ़्ट पर गियर A (32 दाँत) 1440 rpm पर घूमता है और गियर B (48 दाँत) को चलाता है। गियर C (24 दाँत) B के ही शाफ़्ट पर लगा है और निर्गम शाफ़्ट पर गियर D को चलाता है। निर्गम को 921.6 rpm पर घूमना है। गियर D में कितने दाँत N_D होने चाहिए?

n_in = 1440 rpmA = 32B = 48C = 24n_out = 921.6 rpm

N_D =

17.स्प्रिंग और लोलकमध्यम

एक सरल लोलक की लंबाई 2.6 m है। g = 9.81 m/s² लें। छोटे दोलनों के लिए उसका आवर्तकाल T ज्ञात कीजिए।

L = 2.6 mg = 9.81 m/s²

T = s

18.स्प्रिंग और लोलककठिन

k = 480 N/m वाले एक बिना खिंचे ऊर्ध्वाधर स्प्रिंग के निचले सिरे पर एक 2.3 kg द्रव्यमान जोड़कर विराम से छोड़ा जाता है। g = 9.81 m/s² लें। स्प्रिंग का अधिकतम खिंचाव x_max cm में ज्ञात कीजिए।

m = 2.3 kgk = 480 N/mg = 9.81 m/s²

x_max = cm

19.यांत्रिक कंपनमध्यम

एक 100 kg द्रव्यमान 200 kN/m दृढ़ता वाले स्प्रिंग और 890 N·s/m अवमंदन गुणांक वाले श्यान अवमंदक पर टिका है। अवमंदन अनुपात ζ ज्ञात कीजिए।

m = 100 kgk = 200 kN/mc = 890 N·s/m

ζ =

20.यांत्रिक कंपनकठिन

एक 100 kg द्रव्यमान सिरे-से-सिरे जुड़े (श्रेणी में) दो स्प्रिंगों से लटका है: ऊपरी स्प्रिंग k₁ = 15 kN/m और निचला k₂ = 50 kN/m है। अवमंदन और स्प्रिंगों के द्रव्यमान की उपेक्षा करें। ऊर्ध्वाधर कंपन की प्राकृतिक आवृत्ति f_n Hz में ज्ञात कीजिए।

m = 100 kgk₁ = 15 kN/mk₂ = 50 kN/m

f_n = Hz

3विलयन

1.शुद्ध गतिकी

उत्तर: d = 34.61 m

Motion with constant acceleration: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² and v² = v₀² + 2·a·s. Pick the equation that contains the three things you know and the one you want, and keep the signs consistent with one positive direction.

इकाइयाँ

v₀ = 50/3.6 = 13.89 m/s

प्रतिक्रिया दूरी

d₁ = v₀·t_r = 13.89·1.5 = 20.83 m

ब्रेकिंग दूरी

d₂ = v₀²/(2a) = 13.89²/(2·7) = 13.78 m

कुल

d = 20.83 + 13.78 = 34.61 m

उत्तर

d = 34.61 m

2.शुद्ध गतिकी

उत्तर: d = 92.03 m

समय के दो भाग

½·9.81·t₁² = 343·(4.6 − t₁)

4.905·t₁² + 343·t₁ − 1578 = 0

गिरने का समय

केवल धनात्मक मूल ही भौतिक रूप से सार्थक है।

t₁ = (−343 + √(343² + 4·4.905·1578))/(2·4.905) = 4.332 s

गहराई

d = ½·9.81·4.332² = 92.03 m

उत्तर

d = 92.03 m

3.न्यूटन के नियम

उत्तर: a = 4.459 m/s²

Newton’s second law: the net force on a body equals its mass times its acceleration, ΣF = m·a. Draw a free-body diagram, choose a positive direction along the motion, and add every force in that direction: applied forces, friction μ·N against the motion, and the components of gravity.

त्वरण

नेट चालक बल भारों का अंतर है; यह कुल द्रव्यमान को चलाता है।

a = (8 − 3)·9.81/(8 + 3) = 4.459 m/s²

उत्तर

a = 4.459 m/s²

4.न्यूटन के नियम

उत्तर: T = 59.33 N

डोरी के साथ बल

m₂·g = 83.39 N

m₁·g·sin θ = 37.83 N

μ·m₁·g·cos θ = 4.509 N

निकाय का त्वरण

a = (83.39 − 37.83 − 4.509)/14.5 = 2.83 m/s²

लटकते द्रव्यमान से तनाव

m₂·g − T = m₂·a → T = 8.5·(9.81 − 2.83) = 59.33 N

उत्तर

T = 59.33 N

5.प्रक्षेप्य गति

उत्तर: H = 38.76 m

प्रक्षेप्य गति: वायु प्रतिरोध के बिना x = v_xt और y = h + v_yt − ½gt²। दोनों दिशाएँ स्वतंत्र हैं, सिवाय इसके कि उनका समय एक ही है।

प्रक्षेपण वेग को विभाजित करें

क्षैतिज वेग स्थिर रहता है; ऊर्ध्वाधर गति का नीचे की ओर स्थिर त्वरण g = 9.81 m/s² है।

v_x = v₀·cos θ = 36·cos 50° = 23.14 m/s

v_y = v₀·sin θ = 36·sin 50° = 27.58 m/s

उच्चतम बिंदु

शीर्ष पर ऊर्ध्वाधर वेग शून्य होता है: v_y² = 2gH।

H = v_y²/(2g) = 27.58²/(2·9.81) = 38.76 m

उत्तर

H = 38.76 m

6.प्रक्षेप्य गति

उत्तर: x = 85.98 m

प्रक्षेपण वेग को विभाजित करें

क्षैतिज वेग स्थिर रहता है; ऊर्ध्वाधर गति का नीचे की ओर स्थिर त्वरण g = 9.81 m/s² है।

v_x = v₀·cos θ = 21·cos 30° = 18.19 m/s

v_y = v₀·sin θ = 21·sin 30° = 10.5 m/s

उड़ान का समय

y(t) = h + v_y·t − ½gt² = 0 को धनात्मक मूल के लिए हल करें।

0 = 60 + 10.5·t − 4.905·t²

t = (v_y + √(v_y² + 2gh))/g = (10.5 + √(110.2 + 1177))/9.81 = 4.728 s

क्षैतिज दूरी

x = v_x·t = 18.19·4.728 = 85.98 m

उत्तर

x = 85.98 m

7.वृत्तीय गति

उत्तर: v_max = 17.16 m/s

एकसमान वृत्तीय गति: r त्रिज्या के वृत्त पर v चाल से चलती वस्तु केंद्र की ओर a = v²/r से त्वरित होती है, इसलिए उसे भीतर की ओर नेट बल F = m·v²/r चाहिए। यह बल किसी वास्तविक स्रोत से आता है: घर्षण, तनाव, गुरुत्व या अभिलंब बल।

घर्षण अभिकेंद्र बल प्रदान करता है

m·v²/r = μ·m·g

v = √(μ·g·r) = √(0.4·9.81·75) = 17.16 m/s

उत्तर

v_max = 17.16 m/s (61.76 km/h)

8.वृत्तीय गति

उत्तर: T = 18.39 N

निम्नतम बिंदु पर बल

केंद्र की ओर (ऊपर) धनात्मक है।

T − m·g = m·v²/r

T = 0.6·9.81 + 0.6·5²/1.2 = 5.886 + 12.5 = 18.39 N

उत्तर

T = 18.39 N

9.कार्य और ऊर्जा

उत्तर: W_f = 55.49 J

कार्य–ऊर्जा सिद्धांत: गतिज ऊर्जा में परिवर्तन सभी बलों द्वारा किए गए कार्य के बराबर है। गुरुत्व और स्प्रिंग को स्थितिज ऊर्जा (mgh और ½kx²) के रूप में लिखने से यह एक संतुलन बन जाता है: प्रारंभिक ऊर्जा = अंतिम ऊर्जा + घर्षण में खोई ऊर्जा (μN·d)।

घर्षण बल

N = mg·cos θ = 49.05·0.7071 = 34.68 N

F = μN = 0.1·34.68 = 3.468 N

घर्षण के विरुद्ध कार्य

W_f = F·d = 3.468·16 = 55.49 J

उत्तर

W_f = 55.49 J

10.कार्य और ऊर्जा

उत्तर: x = 51.94 cm

खुरदरी पट्टी के बाद शेष ऊर्जा

रैम्प चिकना है, इसलिए केवल पट्टी ऊर्जा हटाती है।

mgh − μmgL = 98.1·(3.5 − 0.25·3) = 269.8 J

अधिकतम संपीडन

½kx² = 269.8 → x = √(2·269.8/2000) = 0.5194 m = 51.94 cm

उत्तर

x = 51.94 cm

11.संवेग और टक्करें

उत्तर: v′₁ = −3.667 m/s

संवेग संरक्षण: जब टक्कर के दौरान कोई बाह्य बल कार्य नहीं करता, तो पहले का कुल संवेग Σm·v बाद के कुल संवेग के बराबर होता है। वेगों की दिशा होती है, इसलिए एक धनात्मक दिशा चुनें और विपरीत दिशा के वेगों को ऋण चिह्न दें। प्रत्यास्थ टक्कर में गतिज ऊर्जा भी संरक्षित रहती है; पूर्णतः अप्रत्यास्थ टक्कर में पिंड आपस में चिपक जाते हैं।

विरामावस्था वाले लक्ष्य से प्रत्यास्थ टक्कर

संवेग और ऊर्जा संरक्षण को साथ हल करने पर ये दो परिणाम मिलते हैं।

v′₁ = (1.5 − 3)/(1.5 + 3)·11 = −3.667 m/s

v′₂ = 2·1.5/(1.5 + 3)·11 = 7.333 m/s

उत्तर

v′₁ = −3.667 m/s

ऋण चिह्न का अर्थ है कि पहला ग्लाइडर पीछे लौटता है।

12.संवेग और टक्करें

उत्तर: J = 12.6 N·s

संवेग में परिवर्तन

J = m·Δv = 0.45·(4 + 24) = 12.6 N·s

उत्तर

J = 12.6 N·s

13.दृढ़-पिंड घूर्णन

उत्तर: α = 9.343 rad/s²

Rotation about a fixed axis: the sum of the moments about the axis equals I·α (ΣM = I·α), just as ΣF = m·a for translation. In energy form, a torque T turning through an angle θ (in radians) does work T·θ, which changes the kinetic energy ½·I·ω²; gravity adds or removes m·g·Δh of the centre of mass. Power is P = T·ω.

गुटका और घिरनी

गुटका: m·g − T = m·a

घिरनी: T·R = I·α = ½·M·R²·(a/R) → T = ½·M·a

त्वरण

a = m·g/(m + M/2) = 2.5·9.81/(2.5 + 2.75) = 4.671 m/s²

कोणीय त्वरण

α = a/R = 4.671/0.5 = 9.343 rad/s²

उत्तर

α = 9.343 rad/s²

14.दृढ़-पिंड घूर्णन

उत्तर: v = 7.672 m/s

Rolling and angular momentum: a body rolling without slipping has v = ω·r, so its kinetic energy is ½·m·v² + ½·I·ω² = ½·m·v²·(1 + I/(m·r²)). Down a slope that gives a = g·sin θ/(1 + I/(m·r²)). When no external moment acts about an axis, the angular momentum about that axis stays constant, I₁·ω₁ = I₂·ω₂, even if kinetic energy is lost.

गिरी हुई ऊँचाई

h = s·sin θ = 9·sin 30° = 4.5 m

लुढ़कने के साथ ऊर्जा संतुलन

बिना फिसले लुढ़कना: ω = v/r, और संपर्क बिंदु पर घर्षण कोई कार्य नहीं करता।

m·g·h = ½·m·v²·(1 + 0.5)

v = √(2·9.81·4.5/1.5) = 7.672 m/s

उत्तर

v = 7.672 m/s

15.गियर और गियर ट्रेन

उत्तर: N₂ = 54

Gear geometry: the module m sets the tooth size. A gear with N teeth has a pitch diameter d = m·N, two meshing gears have the same module, and their centre distance is a = (d₁ + d₂)/2 = m·(N₁ + N₂)/2. The pitch-line speed is v = π·d·n/60, and the tangential tooth force follows from the torque: F_t = 2T/d.

दाँतों की कुल संख्या

N₁ + N₂ = 2a/m = 2·54/1.5 = 72

अनुपात से बाँटें

N₁ = 72/(1 + 3) = 18

N₂ = 3·18 = 54

उत्तर

N₂ = 54

16.गियर और गियर ट्रेन

उत्तर: N_D = 25

Gear trains: meshing gears have the same speed at the teeth, so n₁·N₁ = n₂·N₂: the gear with fewer teeth turns faster. Gears on one shaft turn at the same speed. Power is passed on (minus losses), so torque goes up when speed goes down: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, and P = T·ω with ω = 2π·n/60.

मध्यवर्ती शाफ़्ट की चाल

n_B = n_C = 1440·32/48 = 960 rpm

गियर D के दाँत

N_D = C·n_C/n_out = 24·960/921.6 = 25

उत्तर

N_D = 25

17.स्प्रिंग और लोलक

उत्तर: T = 3.235 s

सरल आवर्त गति: k कठोरता वाले स्प्रिंग पर द्रव्यमान m कोणीय आवृत्ति ω = √(k/m) और आवर्तकाल T = 2π/ω = 2π·√(m/k) से दोलन करता है। L लंबाई वाले सरल लोलक के लिए T = 2π·√(L/g)। आयाम A के साथ अधिकतम चाल A·ω, अधिकतम त्वरण A·ω² और ऊर्जा ½·k·A² होती है।

लोलक का आवर्तकाल

T = 2π·√(2.6/9.81) = 3.235 s

उत्तर

T = 3.235 s

18.स्प्रिंग और लोलक

उत्तर: x_max = 9.401 cm

Simple harmonic motion: a mass m on a spring of stiffness k oscillates with angular frequency ω = √(k/m) and period T = 2π/ω = 2π·√(m/k). A simple pendulum of length L has T = 2π·√(L/g). With amplitude A, the largest speed is A·ω, the largest acceleration A·ω² and the energy ½·k·A².

संतुलन और आयाम

x₀ = m·g/k = 2.3·9.81/480 = 0.04701 m = A

निम्नतम बिंदु

x_max = 2A = 0.09401 m = 9.401 cm

उत्तर

x_max = 9.401 cm

19.यांत्रिक कंपन

उत्तर: ζ = 0.09951

द्रव्यमान–स्प्रिंग तंत्र का मुक्त कंपन: अनवमंदित प्राकृतिक आवृत्ति rad/s में ω_n = √(k/m) है, और Hz में f_n = ω_n/(2π)। एक श्यान अवमंदक c अवमंदन अनुपात ζ = c/c_c देता है, जहाँ क्रांतिक अवमंदन c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n। अल्प-अवमंदित तंत्र (ζ < 1) ω_d = ω_n·√(1 − ζ²) पर दोलन करता है। समांतर में स्प्रिंग जुड़ते हैं, k = k₁ + k₂; श्रेणी में स्प्रिंग व्युत्क्रम के रूप में जुड़ते हैं, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂।

क्रांतिक अवमंदन

c_c = 2·√(k·m) = 2·√(200000·100) = 8944 N·s/m

अवमंदन अनुपात

ζ = c/c_c = 890/8944 = 0.09951

उत्तर

ζ = 0.09951

ζ < 1, इसलिए तंत्र अल्प-अवमंदित है और क्षीण होते हुए दोलन करता है।

20.यांत्रिक कंपन

उत्तर: f_n = 1.71 Hz

तुल्य दृढ़ता

श्रेणी में स्प्रिंग समान बल साझा करते हैं और उनके विक्षेप जुड़ते हैं, इसलिए वे व्युत्क्रम के रूप में मिलते हैं: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂।

1/k_eq = 1/15 + 1/50 → k_eq = 15·50/(15 + 50) = 11.54 kN/m

प्राकृतिक आवृत्ति

ω_n = √(11538/100) = 10.74 rad/s

f_n = 10.74/(2π) = 1.71 Hz

उत्तर

f_n = 1.71 Hz

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