गतिकी: क्रैम पैक

सूत्र-पत्रक, हर विषय के मुख्य विधि-चरण और 20 अभ्यास प्रश्न, पूरे हल पीछे दिए गए हैं।

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1सूत्र और विधियाँ

शुद्ध गतिकी

वेग: v = v₀ + a·t
विस्थापन: s = v₀·t + ½·a·t²
समय के बिना: v² = v₀² + 2·a·s
इकाइयाँ: 1 m/s = 3.6 km/h

विधि

जो ज्ञात है उसे सूचीबद्ध करें: v₀, v, a, t और s, इकाइयों सहित।
वह समीकरण चुनें जिसमें आपकी तीन ज्ञात राशियाँ और अज्ञात हो।
एक धनात्मक दिशा चुनें और विपरीत राशियों को ऋण चिह्न दें।
हल करें और जाँचें कि उत्तर भौतिक रूप से उचित है।

न्यूटन के नियम

द्वितीय नियम: ΣF = m·a
भार: W = m·g
गतिज घर्षण: F_f = μ·N
ढलान पर: ढलान के अनुदिश: m·g·sin θ, अभिलंब: m·g·cos θ

विधि

पिंड पर हर बल के साथ मुक्त-पिंड आरेख बनाएँ।
गति के अनुदिश एक धनात्मक दिशा चुनें।
बलों को गति के अनुदिश और उसके लंबवत घटकों में विभाजित करें (ढलान पर: अनुदिश m·g·sin θ, ढलान में m·g·cos θ)।
गति के अनुदिश ΣF = m·a लगाएँ; घर्षण गति के विरुद्ध μ·N है।

प्रक्षेप्य गति

घटक: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
स्थिति: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
अधिकतम ऊँचाई: H = h + v_y²/(2g)
परास (समतल भूमि): R = v₀²·sin 2θ/g

विधि

प्रक्षेपण वेग को घटकों में विभाजित करें: v_x = v₀·cos θ और v_y = v₀·sin θ।
क्षैतिज गति की चाल नियत होती है; ऊर्ध्वाधर गति का त्वरण −g होता है।
ऊर्ध्वाधर गति से उड़ान का समय ज्ञात करें।
परास ज्ञात करने के लिए उस समय का क्षैतिज गति में उपयोग करें।

वृत्तीय गति

अभिकेंद्र त्वरण: a = v²/r = ω²·r
अभिकेंद्र बल: F = m·v²/r
कोणीय चाल: ω = v/r = 2π/T
समतल मोड़, घर्षण: v_max = √(μ·g·r)

कार्य और ऊर्जा

गतिज ऊर्जा: E_k = ½mv²
स्थितिज ऊर्जा: E_p = mgh
ऊर्जा संतुलन: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
घर्षण का कार्य: W = μ·N·d
शक्ति: P = W/t

संवेग और टक्करें

संवेग: p = m·v
संरक्षण: Σm·v (before) = Σm·v (after)
पूर्णतः अप्रत्यास्थ: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
आवेग: J = F·Δt = m·Δv

विधि

एक धनात्मक दिशा चुनें और हर वेग को उसका चिह्न दें।
पहले का कुल संवेग लिखें: Σm·v।
पूर्णतः अप्रत्यास्थ टक्कर में पिंड बाद में साथ चलते हैं; प्रत्यास्थ टक्कर में गतिज ऊर्जा भी संरक्षित रहती है।
पहले के संवेग को बाद के संवेग के बराबर रखें और हल करें।

दृढ़-पिंड घूर्णन

G के परितः जड़त्व आघूर्ण: छड़ mL²/12, डिस्क ½mR², वलय mR², ठोस गोला (2/5)mR², खोखला गोला (2/3)mR²
समांतर अक्ष प्रमेय: I = I_G + m·d²
परिभ्रमण त्रिज्या: I = m·k²
सिरे के परितः छड़: I = mL²/3
गति का समीकरण: ΣM = I·α
rad/s में चाल: ω = 2π·n/60
गतिज ऊर्जा: E = ½·I·ω²
कार्य और शक्ति: W = T·θ, P = T·ω
बिना फिसले लुढ़कना: v = ω·r, E = ½mv²(1 + I/(mr²)), a = g·sin θ/(1 + I/(mr²))
कोणीय संवेग: L = I·ω, I₁ω₁ = I₂ω₂
धुरी के परितः टक्कर: m·v·d = I·ω

विधि

अक्ष चुनें: एक स्थिर धुरी, या लुढ़कते पिंडों के लिए द्रव्यमान केंद्र।
मानक परिणामों से उस अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण ज्ञात करें, खिसकी हुई अक्ष के लिए I = I_G + m·d² का उपयोग करते हुए।
विधि चुनें: त्वरणों और बलों के लिए ΣM = I·α, चालों के लिए ऊर्जा (½·I·ω² + ½·m·v² + m·g·h), टक्करों और अचानक परिवर्तनों के लिए कोणीय संवेग।
रैखिक और कोणीय गति को v = ω·r और a = α·r से जोड़ें, और rpm को rad/s में बदलें।

गियर और गियर ट्रेन

परस्पर जुड़े गियर: n₁·N₁ = n₂·N₂
बलाघूर्ण: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
शक्ति: P = T·ω, ω = 2π·n/60
संयुक्त गियर ट्रेन: कुल अनुपात = चरण अनुपातों का गुणनफल

स्प्रिंग और लोलक

स्प्रिंग पर द्रव्यमान: T = 2π·√(m/k)
लोलक: T = 2π·√(L/g)
कोणीय आवृत्ति: ω = √(k/m) = 2π/T
अधिकतम चाल और त्वरण: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
ऊर्जा: E = ½·k·A²

यांत्रिक कंपन

प्राकृतिक आवृत्ति: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
स्थैतिक विक्षेप से: ω_n = √(g/δ_st)
क्रांतिक अवमंदन: c_c = 2√(km) = 2mω_n
अवमंदन अनुपात: ζ = c/c_c
अवमंदित आवृत्ति: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
लघुगणकीय ह्रास: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
समांतर में स्प्रिंग: k = k₁ + k₂
श्रेणी में स्प्रिंग: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2अभ्यास प्रश्न

1.शुद्ध गतिकीमध्यम

108 km/h से चल रही एक चालक एक बाधा देखती है। उसका प्रतिक्रिया समय 0.5 s है, जिसके बाद कार 6 m/s² के स्थिर मंदन से ब्रेक लगाती है। बाधा देखने के क्षण से कुल रुकने की दूरी d ज्ञात कीजिए।

v₀ = 108 km/ht_r = 0.5 sa = −6 m/s²

d = m

2.शुद्ध गतिकीकठिन

ज़मीन से 40 m ऊँची छत के किनारे से एक गेंद 9 m/s से सीधे ऊपर फेंकी जाती है। वायु प्रतिरोध नगण्य मानें और g = 9.81 m/s² लें। ज़मीन से अधिकतम ऊँचाई h_max ज्ञात कीजिए।

v₀ = 9 m/sh₀ = 40 mg = 9.81 m/s²

h_max = m

3.न्यूटन के नियममध्यम

एक डिब्बा 6 m/s की प्रारंभिक चाल से समतल फ़र्श पर फिसलता है और 9.2 m के बाद रुक जाता है। g = 9.81 m/s² लें। गतिज घर्षण गुणांक μ ज्ञात कीजिए।

v₀ = 6 m/sd = 9.2 mg = 9.81 m/s²

μ =

4.न्यूटन के नियमकठिन

समतल फ़र्श पर दो गुटके एक हल्की क्षैतिज डोरी से जुड़े हैं। 140 N का एक क्षैतिज बल आगे वाले 5 kg गुटके को खींचता है; 3 kg गुटका पीछे घसीटा जाता है। दोनों गुटकों के लिए गतिज घर्षण गुणांक 0.3 है। g = 9.81 m/s² लें। जोड़ने वाली डोरी में तनाव T ज्ञात कीजिए।

m₁ = 3 kgm₂ = 5 kgF = 140 Nμ = 0.3g = 9.81 m/s²

T = N

5.प्रक्षेप्य गतिमध्यम

समतल ज़मीन से एक गेंद को 20 m/s से क्षैतिज से 50° ऊपर 24 m दूर एक दीवार की ओर किक मारी जाती है। वायु प्रतिरोध को नगण्य मानें और g = 9.81 m/s² लें। गेंद किस ऊँचाई y पर दीवार से गुज़रती है?

v₀ = 20 m/sθ = 50°x = 24 mg = 9.81 m/s²

y = m

6.प्रक्षेप्य गतिकठिन

एक गेंद 25 m ऊँची चट्टान के शीर्ष से क्षैतिज से 50° ऊपर फेंकी जाती है। वायु प्रतिरोध नगण्य मानें। गेंद के ज़मीन से टकराने से पहले तय की गई क्षैतिज दूरी x ज्ञात कीजिए।

v₀ = 31 m/sθ = 50°h = 25 mg = 9.81 m/s²

x = m

7.वृत्तीय गतिमध्यम

एक कार 95 m त्रिज्या वाला समतल मोड़ लेती है। टायरों और सड़क के बीच स्थैतिक घर्षण गुणांक 0.4 है। g = 9.81 m/s² लें। वह अधिकतम चाल v_max ज्ञात कीजिए जिस पर कार बिना फिसले मोड़ ले सकती है।

r = 95 mμ_s = 0.4g = 9.81 m/s²

v_max = m/s

8.वृत्तीय गतिकठिन

0.7 m लंबी डोरी से बँधी 0.4 kg की एक गेंद ऊर्ध्वाधर वृत्त में घुमाई जाती है। निम्नतम बिंदु पर वह 7 m/s से चलती है। g = 9.81 m/s² लें। निम्नतम बिंदु पर डोरी में तनाव T ज्ञात कीजिए।

m = 0.4 kgr = 0.7 mv = 7 m/sg = 9.81 m/s²

T = N

9.कार्य और ऊर्जामध्यम

एक गुटका क्षैतिज से 40° पर झुकी ढलान पर विराम से फिसलता है। गतिज घर्षण गुणांक 0.15 है। ढलान के साथ 18 m फिसलने के बाद उसकी चाल v ज्ञात कीजिए।

θ = 40°μ = 0.15d = 18 mg = 9.81 m/s²

v = m/s

10.कार्य और ऊर्जाकठिन

2 kg का एक गुटका चिकने रैम्प पर 1.5 m ऊँचाई से विराम से छोड़ा जाता है। नीचे वह 4 m लंबी खुरदरी क्षैतिज पट्टी (μ = 0.15) पार करता है और फिर चिकनी सतह पर एक स्प्रिंग (k = 1500 N/m) से टकराता है। स्प्रिंग का अधिकतम संपीडन x ज्ञात कीजिए।

m = 2 kgh = 1.5 mL = 4 mμ = 0.15k = 1500 N/mg = 9.81 m/s²

x = cm

11.संवेग और टक्करेंमध्यम

एक 5 g गोली हल्की डोरियों पर लटके 1 kg लकड़ी के गुटके में क्षैतिज रूप से दागी जाती है और उसके अंदर रह जाती है। गुटका प्रारंभ से 22 cm ऊँचा होने तक ऊपर झूलता है। g = 9.81 m/s² लें। टक्कर से पहले गोली की चाल v ज्ञात कीजिए।

m = 5 gM = 1 kgh = 22 cmg = 9.81 m/s²

v = m/s

12.संवेग और टक्करेंकठिन

एक चौराहे पर 11 m/s से पूर्व की ओर जा रही एक 900 kg कार 23 m/s से उत्तर की ओर जा रही एक 1800 kg कार से टकराती है। कारें आपस में जुड़ जाती हैं। टक्कर के ठीक बाद मलबे की चाल v′ ज्ञात कीजिए।

m₁ = 900 kgv₁ = 11 m/s (E)m₂ = 1800 kgv₂ = 23 m/s (N)

v′ = m/s

13.दृढ़-पिंड घूर्णनमध्यम

2.5 kg द्रव्यमान और 1.6 m लंबाई वाली एक एकसमान पतली छड़ एक सिरे पर पिन से जुड़ी है और क्षैतिज स्थिति में विराम से छोड़ी जाती है। घर्षण को नगण्य मानें और g = 9.81 m/s² लें। ऊर्ध्वाधर स्थिति से गुज़रते समय छड़ का कोणीय वेग ω ज्ञात कीजिए।

m = 2.5 kgL = 1.6 mg = 9.81 m/s²

ω = rad/s

14.दृढ़-पिंड घूर्णनकठिन

3 kg द्रव्यमान और 1.9 m लंबाई वाली एक एकसमान पतली छड़ अपने ऊपरी सिरे पर एक घर्षणरहित धुरी से विराम में लटकी है। 460 m/s से क्षैतिज चलती एक 30 g गोली धुरी से 0.81 m नीचे छड़ से टकराकर उसमें धँस जाती है। टक्कर के ठीक बाद छड़ का कोणीय वेग ω ज्ञात कीजिए।

M = 3 kgL = 1.9 mm = 30 gv = 460 m/sd = 0.81 m

ω = rad/s

15.गियर और गियर ट्रेनमध्यम

960 rpm पर चल रही एक 2.2 kW मोटर 30 दाँतों वाले पिनियन को चलाती है, जो 40 दाँतों वाले गियर से जुड़ा है। हानियों को नगण्य मानें। गियर शाफ़्ट पर निर्गत बलाघूर्ण T₂ ज्ञात कीजिए।

P = 2.2 kWn₁ = 960 rpmN₁ = 30N₂ = 40η = 100%

T₂ = N·m

16.गियर और गियर ट्रेनकठिन

एक ग्रहीय गियर सेट में सन गियर के 30 दाँत हैं और हर प्लैनेट गियर के 12 दाँत हैं। रिंग गियर स्थिर रखा गया है और सन को 900 rpm पर चलाया जाता है। प्लैनेट कैरियर की चाल n_c ज्ञात कीजिए।

N_s = 30N_p = 12n_s = 900 rpm

n_c = rpm

17.स्प्रिंग और लोलकमध्यम

एक सरल लोलक की लंबाई 1.1 m है। g = 9.81 m/s² लें। छोटे दोलनों के लिए उसका आवर्तकाल T ज्ञात कीजिए।

L = 1.1 mg = 9.81 m/s²

T = s

18.स्प्रिंग और लोलककठिन

एक पिंड 1.2 s आवर्तकाल और 9 cm आयाम के साथ सरल आवर्त गति में दोलन करता है। अपने अधिकतम 9 cm विस्थापन से 7.2 cm विस्थापन तक जाने में इसे न्यूनतम कितना समय t लगता है?

T = 1.2 sA = 9 cmx = 7.2 cm

t = s

19.यांत्रिक कंपनमध्यम

एक अवमंदित द्रव्यमान–स्प्रिंग तंत्र के मुक्त-कंपन परीक्षण में 15 mm के विस्थापन शिखर के 2 चक्र बाद 7 mm का शिखर आता है। अवमंदन अनुपात ζ ज्ञात कीजिए।

x₀ = 15 mmx₂ = 7 mmn = 2

ζ =

20.यांत्रिक कंपनकठिन

एक 20 kg द्रव्यमान सिरे-से-सिरे जुड़े (श्रेणी में) दो स्प्रिंगों से लटका है: ऊपरी स्प्रिंग k₁ = 12 kN/m और निचला k₂ = 20 kN/m है। अवमंदन और स्प्रिंगों के द्रव्यमान की उपेक्षा करें। ऊर्ध्वाधर कंपन की प्राकृतिक आवृत्ति f_n Hz में ज्ञात कीजिए।

m = 20 kgk₁ = 12 kN/mk₂ = 20 kN/m

f_n = Hz

3विलयन

1.शुद्ध गतिकी

उत्तर: d = 90 m

Motion with constant acceleration: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² and v² = v₀² + 2·a·s. Pick the equation that contains the three things you know and the one you want, and keep the signs consistent with one positive direction.

इकाइयाँ

v₀ = 108/3.6 = 30 m/s

प्रतिक्रिया दूरी

d₁ = v₀·t_r = 30·0.5 = 15 m

ब्रेकिंग दूरी

d₂ = v₀²/(2a) = 30²/(2·6) = 75 m

कुल

d = 15 + 75 = 90 m

उत्तर

d = 90 m

2.शुद्ध गतिकी

उत्तर: h_max = 44.13 m

नियत त्वरण वाली गति: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² और v² = v₀² + 2·a·s। वह समीकरण चुनें जिसमें आपकी तीन ज्ञात राशियाँ और एक वांछित राशि हो, और एक धनात्मक दिशा के अनुसार चिह्न एकसमान रखें।

छत के ऊपर उठान

0 = v₀² − 2·g·Δh → Δh = 9²/(2·9.81) = 4.128 m

ज़मीन से ऊँचाई

h_max = 40 + 4.128 = 44.13 m

उत्तर

h_max = 44.13 m

3.न्यूटन के नियम

उत्तर: μ = 0.1994

Newton’s second law: the net force on a body equals its mass times its acceleration, ΣF = m·a. Draw a free-body diagram, choose a positive direction along the motion, and add every force in that direction: applied forces, friction μ·N against the motion, and the components of gravity.

मंदन

a = v₀²/(2d) = 6²/(2·9.2) = 1.957 m/s²

घर्षण गुणांक

μ·m·g = m·a → μ = a/g = 1.957/9.81 = 0.1994

उत्तर

μ = 0.1994

4.न्यूटन के नियम

उत्तर: T = 52.5 N

पूरा तंत्र

a = (F − μ·(m₁ + m₂)·g)/(m₁ + m₂) = (140 − 23.54)/8 = 14.56 m/s²

केवल पिछला गुटका

T = m₁·(a + μ·g) = 3·(14.56 + 2.943) = 52.5 N

उत्तर

T = 52.5 N

दोनों गुटकों पर समान μ होने से घर्षण हट जाता है: T = F·m₁/(m₁ + m₂)।

5.प्रक्षेप्य गति

उत्तर: y = 11.51 m

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

दीवार तक समय

v_x = 20·cos 50° = 12.86 m/s

t = x/v_x = 24/12.86 = 1.867 s

उस समय ऊँचाई

y = 15.32·1.867 − ½·9.81·1.867² = 11.51 m

उत्तर

y = 11.51 m

दीवार पर गेंद पहले से नीचे आ रही है।

6.प्रक्षेप्य गति

उत्तर: x = 114.2 m

प्रक्षेप्य गति: वायु प्रतिरोध के बिना x = v_xt और y = h + v_yt − ½gt²। दोनों दिशाएँ स्वतंत्र हैं, सिवाय इसके कि उनका समय एक ही है।

प्रक्षेपण वेग को विभाजित करें

क्षैतिज वेग स्थिर रहता है; ऊर्ध्वाधर गति का नीचे की ओर स्थिर त्वरण g = 9.81 m/s² है।

v_x = v₀·cos θ = 31·cos 50° = 19.93 m/s

v_y = v₀·sin θ = 31·sin 50° = 23.75 m/s

उड़ान का समय

y(t) = h + v_y·t − ½gt² = 0 को धनात्मक मूल के लिए हल करें।

0 = 25 + 23.75·t − 4.905·t²

t = (v_y + √(v_y² + 2gh))/g = (23.75 + √(563.9 + 490.5))/9.81 = 5.731 s

क्षैतिज दूरी

x = v_x·t = 19.93·5.731 = 114.2 m

उत्तर

x = 114.2 m

7.वृत्तीय गति

उत्तर: v_max = 19.31 m/s

एकसमान वृत्तीय गति: r त्रिज्या के वृत्त पर v चाल से चलती वस्तु केंद्र की ओर a = v²/r से त्वरित होती है, इसलिए उसे भीतर की ओर नेट बल F = m·v²/r चाहिए। यह बल किसी वास्तविक स्रोत से आता है: घर्षण, तनाव, गुरुत्व या अभिलंब बल।

घर्षण अभिकेंद्र बल प्रदान करता है

m·v²/r = μ·m·g

v = √(μ·g·r) = √(0.4·9.81·95) = 19.31 m/s

उत्तर

v_max = 19.31 m/s (69.51 km/h)

8.वृत्तीय गति

उत्तर: T = 31.92 N

निम्नतम बिंदु पर बल

केंद्र की ओर (ऊपर) धनात्मक है।

T − m·g = m·v²/r

T = 0.4·9.81 + 0.4·7²/0.7 = 3.924 + 28 = 31.92 N

उत्तर

T = 31.92 N

9.कार्य और ऊर्जा

उत्तर: v = 13.65 m/s

कार्य–ऊर्जा सिद्धांत: गतिज ऊर्जा में परिवर्तन सभी बलों द्वारा किए गए कार्य के बराबर है। गुरुत्व और स्प्रिंग को स्थितिज ऊर्जा (mgh और ½kx²) के रूप में लिखने से यह एक संतुलन बन जाता है: प्रारंभिक ऊर्जा = अंतिम ऊर्जा + घर्षण में खोई ऊर्जा (μN·d)।

ढलान के साथ ऊर्जा संतुलन

गुटका d·sin θ ऊँचाई गिरता है जबकि घर्षण μmg·cos θ·d हटाता है। द्रव्यमान कट जाता है।

½v² = g·d·(sin θ − μ·cos θ)

v = √(2·9.81·18·(0.6428 − 0.15·0.766)) = 13.65 m/s

उत्तर

v = 13.65 m/s

10.कार्य और ऊर्जा

उत्तर: x = 15.34 cm

खुरदरी पट्टी के बाद शेष ऊर्जा

रैम्प चिकना है, इसलिए केवल पट्टी ऊर्जा हटाती है।

mgh − μmgL = 19.62·(1.5 − 0.15·4) = 17.66 J

अधिकतम संपीडन

½kx² = 17.66 → x = √(2·17.66/1500) = 0.1534 m = 15.34 cm

उत्तर

x = 15.34 cm

11.संवेग और टक्करें

उत्तर: v = 417.6 m/s

Conservation of momentum: when no external force acts during a collision, the total momentum Σm·v before equals the total after. Velocities have a direction, so pick a positive direction and give velocities the other way a minus sign. In an elastic collision kinetic energy is conserved too; in a perfectly inelastic one the bodies stick together.

टक्कर के बाद झूलना

V = √(2·g·h) = √(2·9.81·0.22) = 2.078 m/s

टक्कर

m·v = (m + M)·V → v = (0.005 + 1)·2.078/0.005 = 417.6 m/s

उत्तर

v = 417.6 m/s

12.संवेग और टक्करें

उत्तर: v′ = 15.77 m/s

संवेग घटक

p_x = 900·11 = 9900 kg·m/s

p_y = 1800·23 = 41400 kg·m/s

मलबे की चाल

v′ = √(p_x² + p_y²)/(m₁ + m₂) = 42567/2700 = 15.77 m/s

उत्तर

v′ = 15.77 m/s

13.दृढ़-पिंड घूर्णन

उत्तर: ω = 4.289 rad/s

Rotation about a fixed axis: the sum of the moments about the axis equals I·α (ΣM = I·α), just as ΣF = m·a for translation. In energy form, a torque T turning through an angle θ (in radians) does work T·θ, which changes the kinetic energy ½·I·ω²; gravity adds or removes m·g·Δh of the centre of mass. Power is P = T·ω.

स्थितिज ऊर्जा की हानि

m·g·L/2 = 2.5·9.81·0.8 = 19.62 J

पिन के परितः जड़त्व आघूर्ण

I_O = m·L²/3 = 2.5·1.6²/3 = 2.133 kg·m²

ऊर्जा संतुलन

½·I_O·ω² = 19.62 → ω = √(2·19.62/2.133) = 4.289 rad/s

उत्तर

ω = 4.289 rad/s

14.दृढ़-पिंड घूर्णन

उत्तर: ω = 3.08 rad/s

Rolling and angular momentum: a body rolling without slipping has v = ω·r, so its kinetic energy is ½·m·v² + ½·I·ω² = ½·m·v²·(1 + I/(m·r²)). Down a slope that gives a = g·sin θ/(1 + I/(m·r²)). When no external moment acts about an axis, the angular momentum about that axis stays constant, I₁·ω₁ = I₂·ω₂, even if kinetic energy is lost.

टक्कर के बाद जड़त्व आघूर्ण

I = M·L²/3 + m·d² = 3·1.9²/3 + 0.03·0.81² = 3.63 kg·m²

धुरी के परितः कोणीय संवेग

धुरी बल धुरी से होकर जाता है, इसलिए टक्कर के दौरान वहाँ उसका कोई आघूर्ण नहीं है।

m·v·d = I·ω → ω = 0.03·460·0.81/3.63 = 3.08 rad/s

उत्तर

ω = 3.08 rad/s

15.गियर और गियर ट्रेन

उत्तर: T₂ = 29.18 N·m

गियर ट्रेन: परस्पर जुड़े गियरों के दाँतों पर चाल समान होती है, इसलिए n₁·N₁ = n₂·N₂: कम दाँतों वाला गियर तेज़ घूमता है। एक ही शाफ़्ट पर लगे गियर समान चाल से घूमते हैं। शक्ति आगे पहुँचती है (हानियों को घटाकर), इसलिए चाल घटने पर बलाघूर्ण बढ़ता है: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, और P = T·ω, जहाँ ω = 2π·n/60।

मोटर बलाघूर्ण

ω₁ = 2π·960/60 = 100.5 rad/s

T₁ = P/ω₁ = 2200/100.5 = 21.88 N·m

निर्गत बलाघूर्ण

T₂ = 21.88·40/30·1 = 29.18 N·m

उत्तर

T₂ = 29.18 N·m

16.गियर और गियर ट्रेन

उत्तर: n_c = 321.4 rpm

ग्रहीय गियर सेट: सन, रिंग और कैरियर की चालें विलिस समीकरण (n_s − n_c)/(n_r − n_c) = −N_r/N_s से जुड़ी हैं: कैरियर से देखने पर सेट एक साधारण गियर ट्रेन है जिसमें प्लैनेट आइडलर हैं। एक सदस्य को स्थिर रखने से सेट एकल-अनुपात अपचायक बन जाता है।

रिंग गियर के दाँत

N_r = N_s + 2·N_p = 30 + 2·12 = 54

रिंग स्थिर होने पर विलिस समीकरण

n_r = 0 रखें और कैरियर की चाल के लिए हल करें।

(900 − n_c)/(0 − n_c) = −54/30

n_c = n_s·N_s/(N_s + N_r) = 900·30/84 = 321.4 rpm

उत्तर

n_c = 321.4 rpm

कैरियर सन की ही दिशा में घूमता है।

17.स्प्रिंग और लोलक

उत्तर: T = 2.104 s

सरल आवर्त गति: k कठोरता वाले स्प्रिंग पर द्रव्यमान m कोणीय आवृत्ति ω = √(k/m) और आवर्तकाल T = 2π/ω = 2π·√(m/k) से दोलन करता है। L लंबाई वाले सरल लोलक के लिए T = 2π·√(L/g)। आयाम A के साथ अधिकतम चाल A·ω, अधिकतम त्वरण A·ω² और ऊर्जा ½·k·A² होती है।

लोलक का आवर्तकाल

T = 2π·√(1.1/9.81) = 2.104 s

उत्तर

T = 2.104 s

18.स्प्रिंग और लोलक

उत्तर: t = 0.1229 s

Simple harmonic motion: a mass m on a spring of stiffness k oscillates with angular frequency ω = √(k/m) and period T = 2π/ω = 2π·√(m/k). A simple pendulum of length L has T = 2π·√(L/g). With amplitude A, the largest speed is A·ω, the largest acceleration A·ω² and the energy ½·k·A².

कोणीय आवृत्ति

ω = 2π/T = 2π/1.2 = 5.236 rad/s

समय के लिए हल करें

0.8 = cos(ω·t) → ω·t = arccos(0.8) = 0.6435 rad

t = 0.6435/5.236 = 0.1229 s

उत्तर

t = 0.1229 s

19.यांत्रिक कंपन

उत्तर: ζ = 0.06054

द्रव्यमान–स्प्रिंग तंत्र का मुक्त कंपन: अनवमंदित प्राकृतिक आवृत्ति rad/s में ω_n = √(k/m) है, और Hz में f_n = ω_n/(2π)। एक श्यान अवमंदक c अवमंदन अनुपात ζ = c/c_c देता है, जहाँ क्रांतिक अवमंदन c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n। अल्प-अवमंदित तंत्र (ζ < 1) ω_d = ω_n·√(1 − ζ²) पर दोलन करता है। समांतर में स्प्रिंग जुड़ते हैं, k = k₁ + k₂; श्रेणी में स्प्रिंग व्युत्क्रम के रूप में जुड़ते हैं, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂।

लघुगणकीय ह्रास

δ = (1/2)·ln(15/7) = 0.3811

अवमंदन अनुपात

ζ = δ/√(4π² + δ²) = 0.3811/√(39.48 + 0.1452) = 0.06054

उत्तर

ζ = 0.06054

20.यांत्रिक कंपन

उत्तर: f_n = 3.082 Hz

तुल्य दृढ़ता

श्रेणी में स्प्रिंग समान बल साझा करते हैं और उनके विक्षेप जुड़ते हैं, इसलिए वे व्युत्क्रम के रूप में मिलते हैं: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂।

1/k_eq = 1/12 + 1/20 → k_eq = 12·20/(12 + 20) = 7.5 kN/m

प्राकृतिक आवृत्ति

ω_n = √(7500/20) = 19.36 rad/s

f_n = 19.36/(2π) = 3.082 Hz

उत्तर

f_n = 3.082 Hz

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