गतिकी: क्रैम पैक

सूत्र-पत्रक, हर विषय के मुख्य विधि-चरण और 20 अभ्यास प्रश्न, पूरे हल पीछे दिए गए हैं।

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1सूत्र और विधियाँ

शुद्ध गतिकी

वेग: v = v₀ + a·t
विस्थापन: s = v₀·t + ½·a·t²
समय के बिना: v² = v₀² + 2·a·s
इकाइयाँ: 1 m/s = 3.6 km/h

विधि

जो ज्ञात है उसे सूचीबद्ध करें: v₀, v, a, t और s, इकाइयों सहित।
वह समीकरण चुनें जिसमें आपकी तीन ज्ञात राशियाँ और अज्ञात हो।
एक धनात्मक दिशा चुनें और विपरीत राशियों को ऋण चिह्न दें।
हल करें और जाँचें कि उत्तर भौतिक रूप से उचित है।

न्यूटन के नियम

द्वितीय नियम: ΣF = m·a
भार: W = m·g
गतिज घर्षण: F_f = μ·N
ढलान पर: ढलान के अनुदिश: m·g·sin θ, अभिलंब: m·g·cos θ

विधि

पिंड पर हर बल के साथ मुक्त-पिंड आरेख बनाएँ।
गति के अनुदिश एक धनात्मक दिशा चुनें।
बलों को गति के अनुदिश और उसके लंबवत घटकों में विभाजित करें (ढलान पर: अनुदिश m·g·sin θ, ढलान में m·g·cos θ)।
गति के अनुदिश ΣF = m·a लगाएँ; घर्षण गति के विरुद्ध μ·N है।

प्रक्षेप्य गति

घटक: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
स्थिति: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
अधिकतम ऊँचाई: H = h + v_y²/(2g)
परास (समतल भूमि): R = v₀²·sin 2θ/g

विधि

प्रक्षेपण वेग को घटकों में विभाजित करें: v_x = v₀·cos θ और v_y = v₀·sin θ।
क्षैतिज गति की चाल नियत होती है; ऊर्ध्वाधर गति का त्वरण −g होता है।
ऊर्ध्वाधर गति से उड़ान का समय ज्ञात करें।
परास ज्ञात करने के लिए उस समय का क्षैतिज गति में उपयोग करें।

वृत्तीय गति

अभिकेंद्र त्वरण: a = v²/r = ω²·r
अभिकेंद्र बल: F = m·v²/r
कोणीय चाल: ω = v/r = 2π/T
समतल मोड़, घर्षण: v_max = √(μ·g·r)

कार्य और ऊर्जा

गतिज ऊर्जा: E_k = ½mv²
स्थितिज ऊर्जा: E_p = mgh
ऊर्जा संतुलन: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
घर्षण का कार्य: W = μ·N·d
शक्ति: P = W/t

संवेग और टक्करें

संवेग: p = m·v
संरक्षण: Σm·v (before) = Σm·v (after)
पूर्णतः अप्रत्यास्थ: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
आवेग: J = F·Δt = m·Δv

विधि

एक धनात्मक दिशा चुनें और हर वेग को उसका चिह्न दें।
पहले का कुल संवेग लिखें: Σm·v।
पूर्णतः अप्रत्यास्थ टक्कर में पिंड बाद में साथ चलते हैं; प्रत्यास्थ टक्कर में गतिज ऊर्जा भी संरक्षित रहती है।
पहले के संवेग को बाद के संवेग के बराबर रखें और हल करें।

दृढ़-पिंड घूर्णन

G के परितः जड़त्व आघूर्ण: छड़ mL²/12, डिस्क ½mR², वलय mR², ठोस गोला (2/5)mR², खोखला गोला (2/3)mR²
समांतर अक्ष प्रमेय: I = I_G + m·d²
परिभ्रमण त्रिज्या: I = m·k²
सिरे के परितः छड़: I = mL²/3
गति का समीकरण: ΣM = I·α
rad/s में चाल: ω = 2π·n/60
गतिज ऊर्जा: E = ½·I·ω²
कार्य और शक्ति: W = T·θ, P = T·ω
बिना फिसले लुढ़कना: v = ω·r, E = ½mv²(1 + I/(mr²)), a = g·sin θ/(1 + I/(mr²))
कोणीय संवेग: L = I·ω, I₁ω₁ = I₂ω₂
धुरी के परितः टक्कर: m·v·d = I·ω

विधि

अक्ष चुनें: एक स्थिर धुरी, या लुढ़कते पिंडों के लिए द्रव्यमान केंद्र।
मानक परिणामों से उस अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण ज्ञात करें, खिसकी हुई अक्ष के लिए I = I_G + m·d² का उपयोग करते हुए।
विधि चुनें: त्वरणों और बलों के लिए ΣM = I·α, चालों के लिए ऊर्जा (½·I·ω² + ½·m·v² + m·g·h), टक्करों और अचानक परिवर्तनों के लिए कोणीय संवेग।
रैखिक और कोणीय गति को v = ω·r और a = α·r से जोड़ें, और rpm को rad/s में बदलें।

गियर और गियर ट्रेन

परस्पर जुड़े गियर: n₁·N₁ = n₂·N₂
बलाघूर्ण: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
शक्ति: P = T·ω, ω = 2π·n/60
संयुक्त गियर ट्रेन: कुल अनुपात = चरण अनुपातों का गुणनफल

स्प्रिंग और लोलक

स्प्रिंग पर द्रव्यमान: T = 2π·√(m/k)
लोलक: T = 2π·√(L/g)
कोणीय आवृत्ति: ω = √(k/m) = 2π/T
अधिकतम चाल और त्वरण: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
ऊर्जा: E = ½·k·A²

यांत्रिक कंपन

प्राकृतिक आवृत्ति: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
स्थैतिक विक्षेप से: ω_n = √(g/δ_st)
क्रांतिक अवमंदन: c_c = 2√(km) = 2mω_n
अवमंदन अनुपात: ζ = c/c_c
अवमंदित आवृत्ति: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
लघुगणकीय ह्रास: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
समांतर में स्प्रिंग: k = k₁ + k₂
श्रेणी में स्प्रिंग: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2अभ्यास प्रश्न

1.शुद्ध गतिकीमध्यम

72 km/h से चल रही एक कार रुकने तक 3.5 m/s² के नियत मंदन से ब्रेक लगाती है। ब्रेकिंग दूरी s ज्ञात कीजिए।

v₀ = 72 km/ha = −3.5 m/s²v = 0

s = m

2.शुद्ध गतिकीकठिन

ज़मीन से 5 m ऊँची छत के किनारे से एक गेंद 8 m/s से सीधे ऊपर फेंकी जाती है। वायु प्रतिरोध नगण्य मानें और g = 9.81 m/s² लें। फेंकने के कितनी देर बाद वह ज़मीन से टकराती है? t ज्ञात कीजिए।

v₀ = 8 m/sh₀ = 5 mg = 9.81 m/s²

t = s

3.न्यूटन के नियममध्यम

एक डिब्बा 5.5 m/s की प्रारंभिक चाल से समतल फ़र्श पर फिसलता है और 6.2 m के बाद रुक जाता है। g = 9.81 m/s² लें। गतिज घर्षण गुणांक μ ज्ञात कीजिए।

v₀ = 5.5 m/sd = 6.2 mg = 9.81 m/s²

μ =

4.न्यूटन के नियमकठिन

30° पर झुके रैंप पर एक 1 kg गुटका रैंप के शीर्ष पर एक घर्षणरहित घिरनी के ऊपर से हल्की डोरी द्वारा एक लटकते 7.5 kg द्रव्यमान से जुड़ा है। लटकता द्रव्यमान नीचे चलता है। गुटके और रैंप के बीच गतिज घर्षण गुणांक 0.1 है। g = 9.81 m/s² लें। निकाय का त्वरण a ज्ञात कीजिए।

m₁ = 1 kgm₂ = 7.5 kgθ = 30°μ = 0.1g = 9.81 m/s²

a = m/s²

5.प्रक्षेप्य गतिमध्यम

समतल ज़मीन से एक गेंद क्षैतिज से 55° ऊपर प्रक्षेपित की जाती है और 115 m दूर गिरती है। वायु प्रतिरोध को नगण्य मानें और g = 9.81 m/s² लें। प्रक्षेपण चाल v₀ ज्ञात कीजिए।

θ = 55°R = 115 mg = 9.81 m/s²

v₀ = m/s

6.प्रक्षेप्य गतिकठिन

ज़मीन के स्तर से एक गेंद 31 m/s से क्षैतिज से 50° ऊपर फेंकी जाती है। यह नीचे आते समय 6 m ऊँची इमारत की समतल छत पर गिरती है। वायु प्रतिरोध को नगण्य मानें और g = 9.81 m/s² लें। प्रक्षेपण बिंदु से गिरने के स्थान तक क्षैतिज दूरी x ज्ञात कीजिए।

v₀ = 31 m/sθ = 50°h_roof = 6 mg = 9.81 m/s²

x = m

7.वृत्तीय गतिमध्यम

एक सड़क इंजीनियर चाहता है कि कारें घर्षण पर निर्भर हुए बिना 400 m त्रिज्या का मोड़ 70 km/h पर पार करें। g = 9.81 m/s² लें। ढलान कोण θ ज्ञात कीजिए।

r = 400 mv = 70 km/hg = 9.81 m/s²

θ = °

8.वृत्तीय गतिकठिन

260 m त्रिज्या का एक मोड़ 25° पर ढलवाँ है, और टायरों तथा सड़क के बीच स्थैतिक घर्षण गुणांक 0.2 है। g = 9.81 m/s² लें। वह अधिकतम चाल v_max ज्ञात कीजिए जिस पर कोई कार ऊपर और बाहर फिसले बिना मोड़ पार कर सकती है।

r = 260 mθ = 25°μ_s = 0.2g = 9.81 m/s²

v_max = m/s

9.कार्य और ऊर्जामध्यम

एक खिलौना प्रक्षेपक में 400 N/m कठोरता वाला ऊर्ध्वाधर स्प्रिंग है। उस पर 0.25 kg गेंद रखी जाती है और स्प्रिंग को 5 cm संपीडित करके छोड़ा जाता है। वायु प्रतिरोध और स्प्रिंग के द्रव्यमान को नगण्य मानते हुए वह ऊँचाई h ज्ञात कीजिए जिस तक गेंद उठती है, स्प्रिंग संपीडित होने पर उसकी स्थिति से मापकर।

m = 0.25 kgk = 400 N/mx = 5 cmg = 9.81 m/s²

h = m

10.कार्य और ऊर्जाकठिन

2.5 kg का एक गुटका चिकने रैम्प पर 1.5 m ऊँचाई से विराम से छोड़ा जाता है। नीचे वह 4.5 m लंबी खुरदरी क्षैतिज पट्टी (μ = 0.1) पार करता है और फिर चिकनी सतह पर एक स्प्रिंग (k = 2500 N/m) से टकराता है। स्प्रिंग का अधिकतम संपीडन x ज्ञात कीजिए।

m = 2.5 kgh = 1.5 mL = 4.5 mμ = 0.1k = 2500 N/mg = 9.81 m/s²

x = cm

11.संवेग और टक्करेंमध्यम

3 m/s से चल रहा 1.5 kg का एक ग्लाइडर घर्षणरहित पटरी पर विरामावस्था में रखे 2.5 kg के ग्लाइडर से पूर्णतः प्रत्यास्थ आमने-सामने टक्कर करता है। टक्कर के बाद दूसरे ग्लाइडर का वेग v′₂ ज्ञात कीजिए।

m₁ = 1.5 kgm₂ = 2.5 kgv₁ = 3 m/sv₂ = 0

v′₂ = m/s

12.संवेग और टक्करेंकठिन

एक चौराहे पर 15 m/s से पूर्व की ओर जा रही एक 1600 kg कार 18 m/s से उत्तर की ओर जा रही एक 1800 kg कार से टकराती है। कारें आपस में जुड़ जाती हैं। टक्कर के ठीक बाद मलबे की दिशा θ, पूर्व से उत्तर की ओर मापकर, ज्ञात कीजिए।

m₁ = 1600 kgv₁ = 15 m/s (E)m₂ = 1800 kgv₂ = 18 m/s (N)

θ = °

13.दृढ़-पिंड घूर्णनमध्यम

एक शाफ़्ट 1500 rpm पर 36 kW संचारित करता है। शाफ़्ट में बलाघूर्ण T ज्ञात कीजिए।

P = 36 kWn = 1500 rpm

T = N·m

14.दृढ़-पिंड घूर्णनकठिन

एक खोखला गोला विराम से शुरू होकर क्षैतिज से 10° पर झुकी ढलान पर बिना फिसले नीचे लुढ़कता है। g = 9.81 m/s² लें। इसकी त्रिज्या 0.3 m है। ढलान के साथ 8 m लुढ़कने के बाद इसका कोणीय वेग ω ज्ञात कीजिए।

θ = 10°s = 8 mI = (2/3)·m·r²g = 9.81 m/s²r = 0.3 m

ω = rad/s

15.गियर और गियर ट्रेनमध्यम

150 mm की घिरनी 720 rpm पर पट्टे से 450 mm की घिरनी को 4 % फिसलन के साथ चलाती है। चालित घिरनी की गति n₂ ज्ञात कीजिए।

n₁ = 720 rpmd₁ = 150 mmd₂ = 450 mms = 4 %

n₂ = rpm

16.गियर और गियर ट्रेनकठिन

एक संयुक्त गियर ट्रेन में निवेश शाफ़्ट पर गियर A (16 दाँत) 2880 rpm पर घूमता है और गियर B (80 दाँत) को चलाता है। गियर C (16 दाँत) B के ही शाफ़्ट पर लगा है और निर्गम शाफ़्ट पर गियर D को चलाता है। निर्गम को 307.2 rpm पर घूमना है। गियर D में कितने दाँत N_D होने चाहिए?

n_in = 2880 rpmA = 16B = 80C = 16n_out = 307.2 rpm

N_D =

17.स्प्रिंग और लोलकमध्यम

k = 470 N/m वाले स्प्रिंग पर एक 1.8 kg द्रव्यमान घर्षणरहित सतह पर 17 cm आयाम से दोलन करता है। संतुलन से 16 cm पर होने पर उसकी चाल v ज्ञात कीजिए।

m = 1.8 kgk = 470 N/mA = 17 cmx = 16 cm

v = m/s

18.स्प्रिंग और लोलककठिन

k = 250 N/m वाले स्प्रिंग पर एक द्रव्यमान घर्षणरहित सतह पर 12 cm आयाम से दोलन करता है। संतुलन से 7 cm पर होने पर उसकी गतिज ऊर्जा K ज्ञात कीजिए।

k = 250 N/mA = 12 cmx = 7 cm

K = J

19.यांत्रिक कंपनमध्यम

एक अवमंदित द्रव्यमान–स्प्रिंग तंत्र के मुक्त-कंपन परीक्षण में 25 mm के विस्थापन शिखर के 3 चक्र बाद 3.8 mm का शिखर आता है। अवमंदन अनुपात ζ ज्ञात कीजिए।

x₀ = 25 mmx₃ = 3.8 mmn = 3

ζ =

20.यांत्रिक कंपनकठिन

एक 10 kg द्रव्यमान सिरे-से-सिरे जुड़े (श्रेणी में) दो स्प्रिंगों से लटका है: ऊपरी स्प्रिंग k₁ = 100 kN/m और निचला k₂ = 12 kN/m है। स्प्रिंग तंत्र की तुल्य दृढ़ता k_eq kN/m में ज्ञात कीजिए।

m = 10 kgk₁ = 100 kN/mk₂ = 12 kN/m

k_eq = kN/m

3विलयन

1.शुद्ध गतिकी

उत्तर: s = 57.14 m

नियत त्वरण वाली गति: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² और v² = v₀² + 2·a·s। वह समीकरण चुनें जिसमें आपकी तीन ज्ञात राशियाँ और एक वांछित राशि हो, और एक धनात्मक दिशा के अनुसार चिह्न एकसमान रखें।

इकाइयाँ

v₀ = 72/3.6 = 20 m/s

ब्रेकिंग दूरी

0 = v₀² − 2·a·s → s = v₀²/(2a) = 20²/(2·3.5) = 57.14 m

उत्तर

s = 57.14 m

2.शुद्ध गतिकी

उत्तर: t = 2.113 s

गति का समीकरण

ऊपर धनात्मक है और ज़मीन प्रारंभिक बिंदु से h₀ नीचे है।

−5 = 8·t − ½·9.81·t²

4.905·t² − 8·t − 5 = 0

द्विघात समीकरण हल करें

केवल धनात्मक मूल ही भौतिक रूप से सार्थक है।

t = (8 + √(8² + 2·9.81·5))/9.81 = 2.113 s

उत्तर

t = 2.113 s

3.न्यूटन के नियम

उत्तर: μ = 0.2487

Newton’s second law: the net force on a body equals its mass times its acceleration, ΣF = m·a. Draw a free-body diagram, choose a positive direction along the motion, and add every force in that direction: applied forces, friction μ·N against the motion, and the components of gravity.

मंदन

a = v₀²/(2d) = 5.5²/(2·6.2) = 2.44 m/s²

घर्षण गुणांक

μ·m·g = m·a → μ = a/g = 2.44/9.81 = 0.2487

उत्तर

μ = 0.2487

4.न्यूटन के नियम

उत्तर: a = 7.979 m/s²

डोरी के साथ बल

m₂·g = 73.58 N

m₁·g·sin θ = 4.905 N

μ·m₁·g·cos θ = 0.8496 N

निकाय का त्वरण

a = (73.58 − 4.905 − 0.8496)/8.5 = 7.979 m/s²

उत्तर

a = 7.979 m/s²

5.प्रक्षेप्य गति

उत्तर: v₀ = 34.65 m/s

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

परास सूत्र को v₀ के लिए हल करें

v₀ = √(g·R/sin 2θ) = √(9.81·115/sin 110°) = 34.65 m/s

उत्तर

v₀ = 34.65 m/s

6.प्रक्षेप्य गति

उत्तर: x = 91.14 m

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

प्रक्षेपण वेग को विभाजित करें

v_x = 19.93 m/s, v_y = 23.75 m/s

छत पर गिरने का समय

बड़ा मूल: गेंद नीचे आ रही है।

6 = 23.75·t − 4.905·t²

t = (23.75 + √(23.75² − 2·9.81·6))/9.81 = 4.574 s

क्षैतिज दूरी

x = v_x·t = 19.93·4.574 = 91.14 m

उत्तर

x = 91.14 m

7.वृत्तीय गति

उत्तर: θ = 5.504 °

Uniform circular motion: an object moving at speed v on a circle of radius r accelerates towards the centre with a = v²/r, so it needs a net inward force F = m·v²/r. That force is supplied by something real: friction, tension, gravity or a normal force.

इकाइयाँ

v = 70/3.6 = 19.44 m/s

ढलान कोण

tan θ = v²/(r·g) = 19.44²/(400·9.81) = 0.09635

θ = 5.504°

उत्तर

θ = 5.504°

8.वृत्तीय गति

उत्तर: v_max = 43.29 m/s

बल संतुलन

घर्षण ढलान के नीचे की ओर है।

N·(sin θ + μ·cos θ) = m·v²/r

N·(cos θ − μ·sin θ) = m·g

चाल

v = √(260·9.81·0.6039/0.8218) = 43.29 m/s

उत्तर

v_max = 43.29 m/s

(155.9 km/h)

9.कार्य और ऊर्जा

उत्तर: h = 0.2039 m

कार्य–ऊर्जा सिद्धांत: गतिज ऊर्जा में परिवर्तन सभी बलों द्वारा किए गए कार्य के बराबर है। गुरुत्व और स्प्रिंग को स्थितिज ऊर्जा (mgh और ½kx²) के रूप में लिखने से यह एक संतुलन बन जाता है: प्रारंभिक ऊर्जा = अंतिम ऊर्जा + घर्षण में खोई ऊर्जा (μN·d)।

स्प्रिंग ऊर्जा

x = 5 cm = 0.05 m

½kx² = ½·400·0.05² = 0.5 J

ऊँचाई

m·g = 0.25·9.81 = 2.453 N

h = ½kx²/(mg) = 0.5/2.453 = 0.2039 m

उत्तर

h = 0.2039 m

10.कार्य और ऊर्जा

उत्तर: x = 14.35 cm

खुरदरी पट्टी के बाद शेष ऊर्जा

रैम्प चिकना है, इसलिए केवल पट्टी ऊर्जा हटाती है।

mgh − μmgL = 24.53·(1.5 − 0.1·4.5) = 25.75 J

अधिकतम संपीडन

½kx² = 25.75 → x = √(2·25.75/2500) = 0.1435 m = 14.35 cm

उत्तर

x = 14.35 cm

11.संवेग और टक्करें

उत्तर: v′₂ = 2.25 m/s

संवेग संरक्षण: जब टक्कर के दौरान कोई बाह्य बल कार्य नहीं करता, तो पहले का कुल संवेग Σm·v बाद के कुल संवेग के बराबर होता है। वेगों की दिशा होती है, इसलिए एक धनात्मक दिशा चुनें और विपरीत दिशा के वेगों को ऋण चिह्न दें। प्रत्यास्थ टक्कर में गतिज ऊर्जा भी संरक्षित रहती है; पूर्णतः अप्रत्यास्थ टक्कर में पिंड आपस में चिपक जाते हैं।

विरामावस्था वाले लक्ष्य से प्रत्यास्थ टक्कर

संवेग और ऊर्जा संरक्षण को साथ हल करने पर ये दो परिणाम मिलते हैं।

v′₁ = (1.5 − 2.5)/(1.5 + 2.5)·3 = −0.75 m/s

v′₂ = 2·1.5/(1.5 + 2.5)·3 = 2.25 m/s

उत्तर

v′₂ = 2.25 m/s

12.संवेग और टक्करें

उत्तर: θ = 53.47 °

Conservation of momentum: when no external force acts during a collision, the total momentum Σm·v before equals the total after. Velocities have a direction, so pick a positive direction and give velocities the other way a minus sign. In an elastic collision kinetic energy is conserved too; in a perfectly inelastic one the bodies stick together.

संवेग घटक

p_x = 1600·15 = 24000 kg·m/s

p_y = 1800·18 = 32400 kg·m/s

दिशा

tan θ = p_y/p_x = 1.35 → θ = 53.47°

उत्तर

θ = 53.47°

13.दृढ़-पिंड घूर्णन

उत्तर: T = 229.2 N·m

Rotation about a fixed axis: the sum of the moments about the axis equals I·α (ΣM = I·α), just as ΣF = m·a for translation. In energy form, a torque T turning through an angle θ (in radians) does work T·θ, which changes the kinetic energy ½·I·ω²; gravity adds or removes m·g·Δh of the centre of mass. Power is P = T·ω.

कोणीय वेग

ω = 2π·1500/60 = 157.1 rad/s

बलाघूर्ण

T = P/ω = 36000/157.1 = 229.2 N·m

उत्तर

T = 229.2 N·m

14.दृढ़-पिंड घूर्णन

उत्तर: ω = 13.48 rad/s

Rolling and angular momentum: a body rolling without slipping has v = ω·r, so its kinetic energy is ½·m·v² + ½·I·ω² = ½·m·v²·(1 + I/(m·r²)). Down a slope that gives a = g·sin θ/(1 + I/(m·r²)). When no external moment acts about an axis, the angular momentum about that axis stays constant, I₁·ω₁ = I₂·ω₂, even if kinetic energy is lost.

गिरी हुई ऊँचाई

h = s·sin θ = 8·sin 10° = 1.389 m

लुढ़कने के साथ ऊर्जा संतुलन

बिना फिसले लुढ़कना: ω = v/r, और संपर्क बिंदु पर घर्षण कोई कार्य नहीं करता।

m·g·h = ½·m·v²·(1 + 0.6667)

v = √(2·9.81·1.389/1.667) = 4.044 m/s

ω = v/r = 4.044/0.3 = 13.48 rad/s

उत्तर

ω = 13.48 rad/s

15.गियर और गियर ट्रेन

उत्तर: n₂ = 230.4 rpm

पट्टा चालन: फिसलन के बिना दोनों घिरनियों की कोर की चाल समान होती है v = π·d·n/60, इसलिए n₁·d₁ = n₂·d₂ और गति अनुपात d₂/d₁ है। फिसलन s चालित घिरनी को थोड़ा धीमा कर देती है: n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s)। संचरित शक्ति P = (T₁ − T₂)·v है, जहाँ T₁ कसी हुई ओर का तनाव और T₂ ढीली ओर का। घर्षण तनावों के अनुपात को सीमित करता है: T₁/T₂ = e^μθ, जहाँ θ छोटी घिरनी पर लपेट कोण रेडियन में है; खुले पट्टे के लिए θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C)), जहाँ C केंद्र दूरी है।

फिसलन के बिना गति

720·150/450 = 240 rpm

फिसलन सहित

n₂ = 240·0.96 = 230.4 rpm

उत्तर

n₂ = 230.4 rpm

16.गियर और गियर ट्रेन

उत्तर: N_D = 30

Gear trains: meshing gears have the same speed at the teeth, so n₁·N₁ = n₂·N₂: the gear with fewer teeth turns faster. Gears on one shaft turn at the same speed. Power is passed on (minus losses), so torque goes up when speed goes down: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, and P = T·ω with ω = 2π·n/60.

मध्यवर्ती शाफ़्ट की चाल

n_B = n_C = 2880·16/80 = 576 rpm

गियर D के दाँत

N_D = C·n_C/n_out = 16·576/307.2 = 30

उत्तर

N_D = 30

17.स्प्रिंग और लोलक

उत्तर: v = 0.9283 m/s

Simple harmonic motion: a mass m on a spring of stiffness k oscillates with angular frequency ω = √(k/m) and period T = 2π/ω = 2π·√(m/k). A simple pendulum of length L has T = 2π·√(L/g). With amplitude A, the largest speed is A·ω, the largest acceleration A·ω² and the energy ½·k·A².

कोणीय आवृत्ति

ω = √(470/1.8) = 16.16 rad/s

x पर चाल

v = ω·√(A² − x²) = 16.16·√(0.17² − 0.16²) = 0.9283 m/s

उत्तर

v = 0.9283 m/s

18.स्प्रिंग और लोलक

उत्तर: K = 1.187 J

कुल ऊर्जा

E = ½·k·A² = ½·250·0.12² = 1.8 J

x पर स्प्रिंग ऊर्जा

U = ½·k·x² = ½·250·0.07² = 0.6125 J

गतिज ऊर्जा

K = 1.8 − 0.6125 = 1.187 J

उत्तर

K = 1.187 J

19.यांत्रिक कंपन

उत्तर: ζ = 0.09945

द्रव्यमान–स्प्रिंग तंत्र का मुक्त कंपन: अनवमंदित प्राकृतिक आवृत्ति rad/s में ω_n = √(k/m) है, और Hz में f_n = ω_n/(2π)। एक श्यान अवमंदक c अवमंदन अनुपात ζ = c/c_c देता है, जहाँ क्रांतिक अवमंदन c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n। अल्प-अवमंदित तंत्र (ζ < 1) ω_d = ω_n·√(1 − ζ²) पर दोलन करता है। समांतर में स्प्रिंग जुड़ते हैं, k = k₁ + k₂; श्रेणी में स्प्रिंग व्युत्क्रम के रूप में जुड़ते हैं, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂।

लघुगणकीय ह्रास

δ = (1/3)·ln(25/3.8) = 0.628

अवमंदन अनुपात

ζ = δ/√(4π² + δ²) = 0.628/√(39.48 + 0.3943) = 0.09945

उत्तर

ζ = 0.09945

20.यांत्रिक कंपन

उत्तर: k_eq = 10.71 kN/m

तुल्य दृढ़ता

श्रेणी में स्प्रिंग समान बल साझा करते हैं और उनके विक्षेप जुड़ते हैं, इसलिए वे व्युत्क्रम के रूप में मिलते हैं: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂।

1/k_eq = 1/100 + 1/12 → k_eq = 100·12/(100 + 12) = 10.71 kN/m

उत्तर

k_eq = 10.71 kN/m

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